线性代数方法在高等数学解题中的应用

桑旦多吉

摘 要：“线性代数”和“高等数学”是学生必学的基础课程，一般来说，线性代数是高校中一门非常重要的基础课，虽然两门课在授课安排上并无密切关联，但线性代数的解题方法能够对高等数学中的试题进行很好的解析。本文主要阐述了线性代数方法在高等数学解题中的应用。

关键词：线性代数；高等数学；应用

一、二次型理论的应用

线性代数中二次型理论是重点内容，求二次函数的极值问题，运用二次型理论解决二次函数极值问题。

定理：二次型f=x Ax在‖x‖=1时的最大值与最小值分别为矩阵 A 的最大特征值与最小特征值。

例1：求f（x，y，z）=5x2+5y2+5z2+

4xy-8xz-4yz，在实单位球面：x2+y2+z2=

1的大小极值，并且在大小极值状态下x，y，z的值？

解：由已知得，λ1（x2+y2+z2）≤

f（x，y，z）≤λ3（x2+y2+z2），其中λ1，λ3是二次型f（x，y，z）对应的矩阵A的大小特征极值。

二次型的矩阵是：

5→2→-4

A=[ 2→1→-2 ] （1）

-4→-2→5

由|A-λE|=（λ-1）（λ2-10λ+1）

得A的特征值λ1=5-2√6，λ2= 1，λ3=5+2√6

λ1=5-2√6对应的单位特征向量是：P1=— ，λ3=5+2√6

的单位特征对应向量是：P3= — （2）

在（x，y，z）=—（-1，2+ √6，1）时，最小值为：f（x，y，z）=

5-2√6；

在（x，y，z）=—（-1，2- √6，1）时，最大值为：f（x，y，z）=

5-2√6；

二、线性方程组知识的应用

例2：设：f（x）在[a，+∞）上n阶可导，limf（x）和limf（n）（x）存在，求：limf（k）（x）=0 （k=1，2，...n）。

证明：设limf（x）=A，limf（n）（x）=

B，根据Taylor公式可得：

f（x+k）=f（x）+kf '（x）+—

f ''（x）+ …+—f（n-1）（x）+—f（n）（ζk） （3）

x<ζk则limf（n）（ζk）=limf（n）（x）=B

根据函数极限得出：f（n）（ζk）=B+αk，其中limαk=0 （K=1，2，....n）

把该式引入到上式得出关于f '（x），

f ''（x），…，f（n-1）（x），B的一个线性方程式：

f '（x）+—f ''（x）+…+— f（n-1）（x）+—B=f（x+1）-f（x）-

—α1

2f '（x）+—f ''（x）+…+— f（n-1）（x）+—B=f（x+2）-f（x）-

—α2

…

…

nf '（x）+—f ''（x）+…+— f（n-1）（x）+—B=f（x+n）-f（x）-

—αn （4）

得出系数行列式：

1→—→…—→—

2→—→…—→—

…→…→…→…

n→—→…—→— （5）

1→1→…1→1

2→22→…2n-1→2n

…→…→…→…

n→n2→…nn-1→nn （6）

从方程组（4）中通过f （x），f '（x），…f （n-1）（x），B解出 ，可得一个 f（x+k）- f（x）-—αk （K=1，2，...，n）的线性组合lim[f（x+k）-f（x）-— αk ]= A-A+0=0，B=0

即limf（k）（x）=0（k=1，2，…n） （7）

三、正交变换的应用

根据几何知识二次方程：

a11x2+a22x2+a33x3+2a12x1x2+2a13x1x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0

如果对空间二次曲面进行表现，需要确定曲面的类型，需要用到直角坐标消除交叉项，由于正交变换能够夹角和长度进行保持，因此最大的有点就是保持图形的不变。

例3：把二次曲面方程：3x2+5y2+ 5z2+4xy-4xz-10yz=1来作为标准方程， 对该方程表示的曲面进行明确指出。

解：记f（x，y，z）=3x2+5y2+5z2+ 4xy-4xz-10yz

二次型的矩阵为：

3→2→-2

A=[ 2→5→-5 ] （8）

-2→5→5

求|A-λE|=（-λ）（λ-2）（λ-11）

得出A的特征值：λ1=0，λ2=2，λ3=11，

各个特征值对应的单位特征向量是：

P1=—[ ]，P2=—[ ]，P3=

—[ ]

正交变换：

0→ — → —

[ ]= — → — → — [ ]

— → — → —

在这种情况下，二次曲面方程化为标准方程2v2+11w2=1它表示椭圆柱面，且该方程表示的几何图形与原方程一模一样。

参考文献：

[1]李 霞.代数方法在高等数学中的几个简单应用[J].科技视界，2012（17）.

[2]关秀翠，周建华.线性代数与解析几何的第一堂课[J].教育教学论坛，2012（39）：76—78.

[3]王宣欣.线性代数教学方法应用实例[J].高等函授学报（自然科学版），2010（03）：37—38.

（作者单位：西藏大学农牧学院公共教学部数学教研室）