圆锥曲线中离心率取值范围的初探

李丹茹 毋晓迪 张君会 赵志稳

【摘要】范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等，笔者就这几种常见的方法，总结了如下几种考试时应对的策略.

【关键词】圆锥曲线；离心率；取值范围；策略

策略一：利用曲线的定义

在考试时解决圆锥曲线有关问题常常与定义紧密联系，有时候第二定义也会用上，往往会利用第二定义及焦半径公式列出方程.然后根据的范围将等式转化为不等式，从而求解.这种利用的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法.

例：双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

分析：

而双曲线的离心率 ， 故选C.

策略二：利用曲线的几何性质

考试时往往许多题用圆锥曲线的几何性质来解题.例如，在椭圆中，一般地， 时动点 点在椭圆内部； 时 点有4个在椭圆上； 时 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点.

例：已知 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

分析：由题， 的轨迹为以焦距为直径的圆，由 总在椭圆内部，知： ，又 ，所以 故选C.

策略三：利用三角函数有界性

根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数，再利用三角函数求最值.

例：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

分析：设 ， ，

当 点在右顶点处 ，

.

策略四：利用三角形三边关系

利用三角形的特征，和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式.

例：也可用三角形的三边关系求解，但注意取等条件.

如图，在 中

（后者在 与 重合时取等），

又 ，

则 且 ， .

策略五：利用二次函数的性质

当所求离心率转化为某参数的二次函数（或类二次函数）时，可以利用二次函数的性质确定离心率的范围。

例：设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

分析： .

，根据二次函数值域可得 .

参考文献：

[1]书苗，如何求圆锥曲线中的离心率问题[N]；学知报；2010.

[2]冯寅，利用圆锥曲线定义解题的四大特征[J]；2007年2期，25-27.