类比推理在高中数学教学中的应用

廖万生

[摘 要]数学是高中必修的基础课程之一，其旨在培养学生的逻辑思维以及推理创新能力，并为学生数学综合素质的发展奠定基础.类比推理是通过观察和分析提取两个研究事物的共同属性，并由此推出两者其他共性的过程.该推理方法已成为高中数学的重要推理方法之一，对学生学习数学具有关键的作用.

[关键词]类比推理 高中数学 教学实践

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2015）260035

类比推理是一种观察、分析、发现规律的研究过程，作为一种普适性较强的科学研究方法，它被应用于数学教学研究中.教师通过使用类比推理法联系具有一定相关性的数学定律，并通过其联系规律推理出既定定律的其他共性，从而达到研究目的.对此，高中数学教师可加强对类比推理法的教研力度，以提高学生的数学解题、研究能力.

一、在数学定律教学时使用类比推理

在高中数学课程中，类比推理法常在几何、代数等数学内容的教学中运用.在一定的条件下，相关的数学定理均可互相总结推出二级、三级定律，有助于从两种数学规律的共同性质推导出新的数学定律.因此，教师在高中数学定律教学中，可使用类比推理法帮助学生学习数学定律.

以人教版高中数学教材为例，在教学球的性质时，教师可帮助学生总结圆的性质并进行对比.在一定条件下，通过类比推理法可由A事物与B事物相同的性质一、二、三，推出B事物可能具有A事物具有的性质四.例如，教师在进行球方程的教学时，可借助圆的性质引导学生展开推理.如圆具有“周长C=2πr、面积S=πr2、圆心与非直径弦的重点连线垂直于弦”等性质，而球具有“表面积S=4πr2、体积V=43πr3、球心与不过球心的截面圆心的连线垂直于截面”等性质.通过类比，可引导学生由圆的方程“（x-x0）2+（y-y0）2=r2”推出球的方程“（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=r2”；通过诸如此类的类比推理法，可帮助学生推导出与原有知识相对称的新规律.

二、在帮助学生完成知识整合过程中应用类比推理

知识整合指通过将两种概念或定律进行比较，把握其区别与联系，加深记忆，从而提高应用能力的过程，是学生在学习过程中巩固知识的重要手段.一般来说，同类但概念相异的数学知识具有共通性.因此，在进行相关的数学教学时，教师可应用类比推理法帮助学生完成知识整合的过程.

以人教版高中数学教材为例，在实数与向量数的教学中，教师可首先分别介绍实数系与向量系各自的基本性质.如实数系具有“单位实数为1，零实数为0，数a的相反数为-a，实数a的绝对值为|a|”等基本性质.而向量系则具有“单位向量为e，零向量为0，向量的相反向量为-a，向量a的模为|a|”的基本性质.通过把握共同点，加深学生对向量基本性质的认识.其次，教师可进一步对比向量数以及实数的运算规律时，如在交换律中，实数系遵循“a+b=b+a”的规律.向量系同样遵循“a+b=b+a”的规律.但在结合律中，实数系遵循“（a×b）×c=a×（b×c）”的乘法结合规律，而向量系并不存在“（a×b）×c=a×（b×c）”的乘法结合律.通过类比法，使学生明确实数与向量的性质差异，通过知识整合达到帮助学生记忆与理解知识的目的.

三、在数学问题的解决过程中应用类比推理

在部分高中数学教学实践中，教师容易误入“题海战术”的误区.盲目地做题、讲解容易使学生陷入具体题目中，无法在解题过程中获取一般定律和解题思路.因此，教师可采用类比推理法进行数学教学实践，遵循“先方法，后内容，循序渐进”的教学方法，培养学生的数学类比推理能力以及分析水平.

以人教版高中数学教材为例，在利用类比推理法进行数学解题教学时，教师可通过逐步引导学生比较分析相关问题的区别与联系.如在解答题目“（1）已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab+1>a+b；（2）已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc+2>a+b+c”时，教师可向学生做以下解题引导：从题目上看，问题（1）的题目内容以及解题方法较为明显且简单，因此，可先进行问题（1）的解答，即“（1）ab+1-（a+b）=（a-1）（b-1）>0”；其次，教师应使学生先总结出该问题的一般性解题思路，即通过将不等式两边的数量关系进行重构，从而组成符合题目要求的形式.通过对问题（1）的一般解题规律的总结，教师可令学生以该规律为导向，对比问题（1）与问题（2），给予学生解题暗示，从而帮助其在类比推理的方法上获得问题（2）

的解题方法.可见，类比推理法在解决数学问题中具有较为显著的作用.从上述例子中不难看出，由于题目中的条件与结论具有一般性规律，因此可以使学生把握这一规律，并将其应用于更多相似题型的解题过程中.

综上所述，类比推理法在高中数学教学实践中的应用较为广泛，可帮助学生在进一步理解数学规律的基础上提高思考、解题的科学性和高效性，为其数学成绩的提高以及逻辑思维能力的培养提供发展的平台.教师必须充分把握类比推理法的特点，将其合理应用到高中数学教学实践中，从而促进高中数学“教”与“学”的可持续发展.

（责任编辑 黄桂坚）