Morlet复小波变换的开关电流电路共极点实现

童耀南　何怡刚　尹柏强　于文新　龙英

摘 要： 提出了一种时频域混合共极点逼近的开关电流电路Morlet复小波变换方法.将Morlet复小波构成部件高斯包络进行分解，设计了高斯包络时域逼近优化模型，模型可采用常规优化算法求解.利用正弦和余弦信号的周期性，及其与指数信号的乘积在频率域具有相同极点的特性，简化了Morlet复小波函数的拉普拉斯变换，实现了实部和虚部的共极点有理逼近.基于双线性变换积分器设计了一种开关电流复二阶节基本电路，继而综合了Morlet复小波变换基本电路.通过调节基本电路的开关时钟频率可实现其它不同尺度的小波变换功能.对比分析表明，本文方法的逼近效果和系统稳定性均明显优于现有的Padé变换法和Maclaurin级数法；与现有方法相比，本文设计的复小波变换电路具有结构简单、功耗低和体积小等优点.仿真结果表明了方法的有效性.

关键词： 开关电流电路； Morlet复小波；小波变换；带通滤波器；逼近算法

中图分类号：TN713 文献标识码：A

小波变换是分析非平稳信号强有力的工具，已有广泛的工程应用[1-2].小波变换通常采用数字方式实现，但其运算量大，且需要进行模数转换，不适合功耗要求严格的应用场合.近年来，为满足实时性和低功耗场合的要求，人们开始致力于小波变换模拟电路实现的研究[3-13].其中文献[3]提出了基于开关电容电路的连续小波变换方法，但开关电容是一种电压模技术，需要线性浮置电容，与标准数字CMOS工艺不兼容.为克服开关电容的缺陷，开关电流技术[14-15]应运而生.开关电流是一种新型的模拟电流数据采样技术，具有高速度、低电压、低功耗的优点.文献[4-5]最早提出开关电流电路实现小波变换的理论与方法.开关电流小波变换电路有两种主流的设计方法，一种是频域设计法，另一种是时域设计法，均包括两个关键的步骤，一是小波函数（或构成部件）的有理逼近，即用一个频域有理滤波器函数代替难以电路实现的小波函数；二是小波滤波器电路设计.对于频域设计法，这两个步骤都在频率域进行.例如文献[5]和[10]分别采用Padé逼近法和Maclaurin级数法进行小波函数的频域逼近，再针对逼近的小波滤波器传递函数进行电路设计.小波函数逼近实质上寻找一个冲激响应与待逼近小波函数波形尽可能相似的滤波器.Padé逼近法基本思想是先采用泰勒级数将小波复频域函数展开成多项式形式，再根据逼近有理式的阶数要求保留适量的低阶项，舍弃其它高阶项，从而获得小波复频域函数的近似多项式，最后采用Padé变换将这个近似多项式转化为有理式，从而获得逼近的小波滤波器传递函数.与Padé逼近法不同的是，Maclaurin级数法利用了信号时频变换的时移特性，分别针对小波函数的分子和分母进行泰勒级数展开，方法更为简单.频域设计法之外，另一种是时域设计法，即基于小波函数的时域特点进行小波变换电路设计，方法直接明了，但电路较为复杂.例如文献[12]提出了Morlet实小波变换的开关电流电路模拟实现方法，采用Padé法在频域进行高斯包络的有理逼近，再基于Morlet小波时域结构和特点进行电路设计，需要用到正弦信号发生器、乘法器、高斯函数发生器和积分器等部件.综上所述，现有开关电流小波变换方法存在以下不足，一是时域设计法导致电路结构复杂，二是频域逼近效果不理想且不能自然保证电路的稳定性，三是现有方法多关注于实小波变换的实现，少有研究复小波变换的模拟实现，然而复小波变换比实小波变换能提供更多的细节信息.

针对现有方法的不足，本文提出一种时频混合共极点逼近的开关电流电路Morlet复小波变换方法.首先，基于Morlet复小波函数的特点，对高斯包络单独进行时域分解，并利用正弦信号的周期性，设计出一种时域逼近优化模型，可采用现有优化算法进行逼近优化问题求解.其后，对逼近的时域复小波进行拉普拉斯变换，获得其实部和虚部传递函数，且实部和虚部具有相同的极点.然后，设计一种单输入双输出的开关电流共极点复二阶节基本电路，继而综合Morlet复小波变换电路.最后，通过电路仿真验证方法的有效性.

1 Morlet复小波滤波器共极点逼近原理

SymboleB@ f（t）ψ*（t-ba）dt，a≠0.（1）

式中：*表示共轭，a和b分别是尺度和位移因子，均为连续变量，因此式（1）被称为连续小波变换.若a=2j（j∈Z），上述小波变换称为二进制小波变换，工程应用通常采用二进制小波变换.根据模拟滤波器理论可知，在尺度a时的小波变换可以看成是输入信号通过冲激响应为ψa（-t）的滤波器后的输出.因此，模拟小波变换可通过构造冲激响应为小波基函数及其膨胀函数的滤波器组来实现.就开关电流小波变换而言，由于不同尺度下的小波膨胀函数可通过调节基本小波滤波器的开关时钟频率来实现[15]，故采用开关电流电路实现小波变换的关键在于基本小波滤波器（尺度a=1）的设计.

Morlet复小波基（尺度a=1）时域表达式为：

ψ（t）=π-1/4ejω0te-t2/2=

π-1/4[cos （ω0t）+jsin （ω0t）]e-t2/2， ω0≥5.（2）

式中：ω0是中心频率，在ω0=5和7两种情况下，时域波形如图1所示.可见，Morlet复小波是高斯包络下的单频率复正弦函数，且对于不同的中心频率ω0，其实部和虚部的高斯包络相同.Morlet复小波时域支撑区约为-3～3.

时间（a） ω0=5

时间（b） ω0=7

根据小波变换的滤波器实现原理，应该对（2）式进行共轭和翻转操作.此外，Morlet复小波是双边信号，与滤波器电路的因果性要求不符，因此还应对（2）式进行右移处理.处理后的Morlet复小波基函数为：

（t）=ψ*（t0-t）=

π-1/4{cos [ω0（t-t0）]+jsin [ω0（t-t0）]}e-（t-t0）2/2. （3）

式中t0表示时移量，时移量的选择是截断误差[8]与滤波器阶数的零和博弈.如果选择较小的t0则会产生较大的截断误差（即零时刻以前的小波波形因滤波器因果性而忽略），然而较大的t0需要较高的滤波器阶数才能有效逼近小波函数. 根据Morlet复小波的时域支撑区分布，时移量t0通常在2.5～3的范围内选择，以达到截断误差与电路规模的折中.

理论上，式（3）可以通过单独构建两个冲激响应波形分别与其实部和虚部相似的基本滤波器来实现，但这种双滤波器方法会导致电路面积与功耗均较大.为简化电路结构，特对式（3）进行共极点有理式逼近.由于Morlet复小波是高斯包络下的单频率复正弦函数，通过对高斯包络进行指数函数和三角函数的线性组合近似逼近，再将各组成部分与正弦和余弦相乘，并进行拉普拉斯变换， 即可获得Morlet复小波滤波器的逼近函数.根据同频率正弦信号和余弦信号与指数信号的乘积在频域具有相同极点的基本原理，逼近的Morlet复小波滤波器实部和虚部具有相同的极点.

先对高斯包络进行指数函数和三角函数的线性组合近似分解：

e-（t-t0）2/2≈aebt+

∑ni=1cieσitsin （ωit）+dieσitcos （ωit）.（4）

式中：a，b，ci，di，σi和ωi为待求的参数.

考虑正弦与余弦信号的周期性特点，即如果满足t0=m·2π/ω0，m∈Z，则有

cos （ω0（t-t0））=cos （ω0t），

sin （ω0（t-t0））=sin （ω0t）.（5）

将式（4）和（5）代入式（3），获得时域近似的Morlet复小波表达式，然后分别对其实部和虚部进行拉普拉斯变换（忽略式中常数π-1/4项），得到实部和虚部的频域有理式逼近.

Hreal（s）=L [cos （ω0（t-t0））e-（t-t0）2/2]≈

a（s-b）（s-b）2+ω20+

12∑ni=1di（s-σi）+ci（ωi+ω0）（s-σi）2+（ωi+ω0）2+

di（s-σi）+ci（ωi-ω0）（s-σi）2+（ωi-ω0）2； （6）

Himag（s）=L [sin （ω0（t-t0））e-（t-t0）2/2]≈

aω0（s-b）2+ω20+

12∑ni=1-ci（s-σi）+di（ωi+ω0）（s-σi）2+（ωi+ω0）2+

ci（s-σi）-di（ωi-ω0）（s-σi）2+（ωi-ω0）2. （7）

对比分析式（6）和（7）可知，实部和虚部的有理逼近式具有相同的分母项，即实现了Morlet复小波的共极点有理逼近.如果t0≠m·2π/ω0，m∈Z，上述共极点逼近方法仍然适用，只是式（6）和（7）的表达式较为复杂而已.

2 高斯包络时域逼近

上述共极点有理逼近的精度完全依赖于高斯包络的逼近，即式（4）中未知参数a，b，ci，di，σi和ωi的求解.为方便起见，将式（4）中未知参数定义为一向量：

r=[a，b，c0，c1，…，cn，d1，…，dn，σ1，…，σn，ω1，…，ωn]. （8）

将高斯包络的时域逼近式重写如下：

h（r，t）=aebt+

∑ni=1cieσitsin （ωit）+dieσitcos （ωit）. （9）

我们希望找到一个合适的参数向量r，使得h（r，t）与高斯包络波形尽可能地相似，因此设计如下时域逼近优化模型：

min e（r）=min ∫

SymboleB@ 0[h（r，t）-（t）]2dt；

s.t. b<0， σi<0， 1≤i≤n. （10）

式中：（t）=e-（t-t0）2/2为处理后的高斯包络，b<0， σi<0， （1≤i≤n）表示约束条件，保证所求逼近式的稳定性.模型（10）是一个典型的多维度非线性约束优化问题，解的维度和精度与参数n有着密切的联系.较小的n使得求解计算量小、优化问题的维度低，最终逼近的滤波器阶数低，实现电路的面积小，但滤波器函数逼近精度较低.反之，如果选择较大的n，则逼近精度高，但优化问题维度高，最终滤波器阶数较高，需要较大的电路来实现.实验表明，n=2是比较合适的选择，此时对于高斯包络是一个5阶有理函数逼近，最终逼近的基本复小波滤波器则是10阶函数.此外，由于padé变换和Maclaurin级数逼近是一种确定的频域函数转换方法，需要手工或编程推导变换结果，而本文方法只需要建模和运行优化算法即可获得结果，因此方法使用更为简便.

3 开关电流共极点复二阶节电路设计

根据式（6）和（7）， Morlet复小波变换电路实现的关键在于开关电流共极点复二阶节电路模块设计.为简便起见，将式（6）和（7）中单个二阶节的实部和虚部传递函数分别定义为：

Hr（s）=ior（s）i（s）=a1s+a0s2+b1s+b0； （11）

Hi（s）=ioi（s）i（s）=c1s+c0s2+b1s+b0. （12）

式中：i（s）表示二阶节的输入电流，ior（s）和ioi（s）分别表示实部和虚部的输出电流.式中分子和分母项的系数容易从式（6）和（7）推导. 根据系统信号流图理论，式（11）和（12）可通过两个共用的积分器s-1，两个共享的和4个独立的电流拷贝器来实现.

由于开关电流电路采样保持系统，需要对连续时间积分器s-1进行离散化，通常是采用双线性z变换方法，即s→（2/T）（z-1）/（z+1），T表示离散化采样周期.双线性z变换法的开关电流双输入双输出积分器电路[7]如图2所示，其中图2（a）为电路原理图，图2（b）为简化符号图.双线性积分器由同相无损积分器和反相无损积分器组合而成.图中晶体管M1，M2，M4和M5的宽长比（W/L）为1（归一化值），M3和M6的宽长比k=T/2. M2的栅极为正极性输出拷贝端，通过M4和M5反相之后，M5的栅极为负极性输出拷贝端.

图2 开关电流双线性积分器

Fig.2 SI bilinear integrator

对于式（11）和（12），采用两个图2所示的积分器，并从其正负极性输出端分别拷贝电流进行前馈或反馈，由MOS管的宽长比实现传递函数各节的系数.据此原理，构建如图3所示的基本电路模块，这是一个单输入双输出的共极点复二阶节电路，i表示输入电流，ior和ioi分别表示实部和虚部输出电流.根据开关电流双线性积分器工作原理，电流拷贝MOS管的宽长比参数与采样周期T及式（11）和（12）的系数之间的关系为：

k=T/2， r1=ka1， r2=ka0，

r3=kc1， r4=kc0， r5=kb1， r6=kb0.（13）

在电路设计时，如果某个参数为负，则实现该参数的电流拷贝器应该从积分器的另一极性输出端进行取样.

图3 开关电流复二阶节电路

Fig.3 SI complex second order section circuit

4 设计实例

4.1 高斯包络逼近

根据Morlet复小波时域支撑区分布，通常在2.5～3之间选择t0.若采用5阶有理函数进行高斯包络逼近，即式（8）中的n=2，则式（10）是一个10维度的优化问题.当ω0=5时，可定m=2，t0=2·2π/ω0=2.513 3，从而按照式（6）和（7）来计算复小波逼近函数.类似地，若ω0=7，可定m=3，则t0=2.692 8；若ω0=9，定m=4，则t0=2.792 5，这样就可以利用正弦和余弦的周期性来简化计算.不失一般性，这里以ω0=5为例说明方法的具体实施流程.将相关参数代入模型（10），并采用混合粒子群算法[6] 进行求解，获得一组优化参数，见表1.

采用本文方法，以及Padé法[5，12]和Maclaurin级数法[10-11]逼近的5阶高斯包络在时域和频域的效果对比分别如图4和图5所示. 由图可知，通过本文方法能有效逼近高斯包络函数，且逼近效果优于现有的两种方法. 图中，Maclaurin级数逼近是经过极点平移处理后的结果，说明该方法不能自然保证逼近有理式的稳定性.事实上，Padé逼近法亦存在类似的稳定性问题，例如文献[13]基于Padé法构造了一个10阶的Morlet实小波函数，其中有6个极点是不稳定的.

4.2 基本复小波滤波器共极点逼近

将表1中的参数，以及ω0=5代入式（6）和（7），求得Morlet复小波基实部和虚部传递函数，分别为：

Hreal（s）=8.144s+7.783s2+1.911s+25.91+

-3.26s-58.68s2+2.157s+40.89+-3.26s+28.84s2+2.157s+14.83+

-0.776s+42.46s2+2.652s+45.24+-0.776s-23.49s2+2.652s+13.36； （16）

Himag（s）=40.72s2+1.911s+25.91+

8.752s-11.11s2+2.157s+40.89+-8.752s-21.49s2+2.157s+14.83+

-6.595s-13.86s2+2.652s+45.24+6.595s+6.101s2+2.652s+13.36 （17）

可见，逼近的实部和虚部函数均由5个基本二阶节并联组成，且具有相同的极点.至此，实现了Morlet复小波滤波器的时频域混合共极点有理逼近.

4.3 Morlet复小波变换开关电流电路实现

基于图3所示的开关电流复二阶节电路，可以综合出Morlet复小波传递函数式（16）和（17）.按照式（13）进行电路参数计算时，考虑Morlet复小波基频率支撑域在0～2 Hz范围内，依照奈奎斯特采样定理，定义采样周期T=0.05 s.计算获得5节电路的相关参数见表3.表中参数是MOS管宽长比归一化‘1的相对值，在晶体管级电路设计时需要根据对应的实际宽长比进行去归一化.

将表3中的参数分别代入图3所示的电路模块，即可设计出基本的Morlet复小波变换电路.分析可知， 电路由5个复二阶节模块并联组成，共包括64J基本偏置电流；需要精确调试39个MOS宽长比参数，其中有15个参数是相同的，即差异参数为24个；需要两相非重叠时钟； 最终电路规模是含40个开关（通常由单个MOS管实现）和113个MOS管（不含开关管）.

4]和高斯包络发生器的最简方案，实现电路的相关参数见表4.共需要4个乘法器，其中2个分别完成实部和虚部电路的小波函数发生功能，另2个则分别完成实部和虚部输入信号与小波函数的乘积运算.此外，还需要3个积分器，根据小波变换原理，实部和虚部电路输出端需要2个积分器， 剩余的1个积分器通过复制振荡器输出信号并完成正弦至余弦的转换，作为实部电路的输入.基于上述方案实现Morlet复小波变换电路，由9个电路模块和78J基本偏置电流源组成.共有25个参数（其中差异参数16个）需要精确调试.电路需要4相时钟系统.最终实现电路含60个开关和166个MOS管（不含开关管）.

由此可见，与文献[12]相比，本文基于共极点滤波器方案设计的Morlet复小波变换电路具有结构简单、功耗低和体积小等优点.

kHz（对应小波基电路，尺度为a=1），采用开关电流电路仿真软件ASIZ[16]进行功能仿真，获得基本电路的冲激响应波形如图6所示.图中，连续的实线表示理想波形，锯齿状曲线表示电路仿真输出.分析可见，实部和虚部电路冲激响应的波峰分别出现在2.52 ms和2.82 ms，大小分别为1.003 mA和0.946 mA，时域支撑区约为0～5.9 ms.对比时移2.513个时间单位的Morlet复小波的理想情况：实部与虚部波峰位置分别出现是2.513和2.81，幅值大小分别是1和0.95，时域支撑区约为0～6.可见，所设计的复小波电路的冲激响应有效地逼近了Morlet复小波的理想波形.

根据开关电流电路的特性，通过调节上述基本复小波电路的开关时钟频率，可以获得其他不同尺度下的小波函数，从而可实现不同尺度的小波变换.若电路开关时钟频率按照二进制比例增加，电路冲激响应波形则相应地按照二进制比例压缩，即可实现二进制小波（即a=2j（j∈Z））.例如，以20 kHz为基础，针对上述电路分别设定开关时钟频率为40 kHz和80 kHz，则相应地实现了尺度为a=2-1和a=2-2的Morlet复小波变换功能，其冲激响应波形分别如图7（a）和（b）所示，时域支撑区分别处在（0，3 ms）和（0，1.5 ms）的范围内，分别是小波基时域宽度（0，6ms）的1/2和1/4.即时域支撑区宽度呈二进制规律压缩.

图8为该复小波电路的频域仿真结果.图中，a=1，a=0.5和a=0.25曲线分别表示相应尺度下的二进制复小波电路的频率响应.3种尺度下的中心频率分别约为0.78 kHz，1.58 kHz和3.12 kHz，通带宽度分别约为（0.6 kHz，30.96 kHz），（1.18 kHz，1.92 kHz）和（2.38 kHz，3.84 kHz），可见通带宽度基本按照二进制规律递增.对比分析图6～图8可知，随着尺度a的二进制递减，电路冲激响应的时域宽度按二进制规律压缩，而频域宽度则按二进制规律扩展.由此可见所设计的开关电流Morlet复小波电路仿真结果与小波时频特性相符.

5 结 论

本文提出了一种时频域混合共极点逼近的开关电流电路Morlet复小波变换方法.针对频域逼近方法的不足，将Morlet复小波构成部件（高斯包络）进行时域分解，并设计了高斯包络的时域逼近优化模型，采用优化算法求得了一组逼近参数.结合Morlet复小波函数特点，利用正弦与余弦信号的周期性，简化了时域逼近式的拉普拉斯变换.利用正弦信号及余弦信号与指数信号的乘积在频域具有相同极点的特性，实现了Morlet复小波实部和虚部的共极点逼近.基于双线性变换积分器设计了一种开关电流复二阶节基本电路，继而综合了基本Morlet复小波电路.通过调节电路开关时钟频率获得了不同尺度下的小波函数.对比分析表明，本文逼近方法能有效提高高斯包络的逼近精度，逼近效果明显优于现有的Padé逼近法和Maclaurin级数法，且能确保逼近式的稳定性. 与现有时域设计方法相比，本文方法具有电路结构简单、功耗低和体积小等优点.电路仿真结果表明，所设计的Morlet复小波变换电路具有逼近效果好、小波尺度可调谐的特点.根据本文研究，可进行晶体管级电路仿真和版图设计，最终制成复小波变换芯片.

参考文献

[1] 李涛，何怡刚，张宇. 基于提升小波的电能质量高效定位算法[J]. 仪器仪表学报， 2013， 34（2）： 281-288.

LI Tao， HE Yigang， ZHANG Yu. A high efficient location algorithm for power quality signals with lifting wavelet transform[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2013， 34（2）： 281-288. （In Chinese）

[2] 谢宏，谭阳红，何怡刚. 基于遗传小波神经网络的非线性动态自治网络故障诊断仿真算法[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2013， 40（1）： 65-69.

XIE Hong， TAN Yanghong， HE Yigang. A simulation algorithm of fault diagnosis based on generic algorithm wavelet neural networks for nonlinear dynmic autonomous networks[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences， 2013， 40（1）： 65-69. （In Chinese）

[3] LIN J， KI W H， EDWARDS T， et al. Analog VLSI implementations of auditory wavelet transforms using switchedcapacitor circuits[J]. IEEE Transactions on Circuits and SystemsI： Fundamental Theory and Applications， 1994， 41（9）： 572-583.

[4] 胡沁春， 何怡刚， 李宏民， 等. 基于开关电流的连续小波变换实现[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2005， 32（5）： 66-70.

HU Qinchun， HE Yigang， LI Hongmin，et al. Implementation of continuous wavelet transform based on switchedcurrent[J]. Journal of Hunan University：Natureal Sciences， 2005， 32（5）： 66-70. （In Chinese）

[5] 胡沁春，何怡刚，郭迪新，等.基于开关电流技术的小波变换的滤波器电路实现[J]. 物理学报， 2006， 55（2）： 641-647.

HU Qinchun， HE Yigang， GUO Dixin， et al. Analog implementation of wavelet transform based on switchedcurrent filter circuits[J]. Acta Physica Sinica， 2006， 55（2）： 641-647. （In Chinese）

[6] LI Hongmin， HE Yigang， SUN Yichang. Detection of cardiac signal characteristic point using logdomain wavelet transform circuits[J]. Circuits Systems and Signal Processing， 2008， 27（5）： 683-698.

[7] ZHAO Wenshan， HE Yigang. Realization of wavelet transtransform using switchedcurrent filters[J]. Analog Integrated Circuits and Signal Processing， 2012， 71（3）： 571-581.

[8] KAREL J M H， HADDAD S A P， HISENI S， et al. Implementing wavelets in continuoustime analog circuits with dynamic range optimization[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I： Regular Papers， 2012， 59（2）： 229 - 242.

[9] LI Mu， HE Yigang， LONG Ying. Analog VLSI implementation of wavelet transform using switchedcurrent circuits[J]. Analog Integrated Circuits and Signal Processing， 2012， 71（2）： 283-291.

[10]ZHAO Wenshan， SUN Yichang， HE Yigang. Minimum component high frequency gmc wavelet filters based on maclaurin series and multiple loop feedback[J]. Electronics Letters， 2010， 46（1）： 34-35.

[11]CASSON A J， YATES D C， PATEL S， et al. An analogue bandpass filter realisation of the continuous wavelet transform[C]//Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society，2007： 1850-1854.

[12]胡沁春， 黄立宏， 何怡刚， 等. Morlet小波变换的开关电流模拟实现[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2009， 36（2）：58-61.

HU Qinchun， HUANG Lihong， HE Yigang， et al. Analog implementation of morlet wavelet transform using switchedcurrent circuits[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences， 2009， 36（2）： 58-61. （In Chinese）

[13]HADDAD S A P， BAGGA S， SERDIJN W A. Logdomain wavelet bases[J]. IEEE Transactions on Circuits and SystemsI：Regular Papers， 2005， 52（10）： 2023-2032.

[14]HUGHES J B， MACBETH I C， PATTULLO D M. Switched current filters[C]//IEE proceedings. Part G. Electronic Circuits and Systems，1990， 137（2）： 156-162.

[15]TOUMAZOU C， HUGHES J B， BATTERSBY N C. Switched Currents： An analogue technique for digital technology[M]. Stevenage， UK： IET， 1993.

[16]DE QUEIROZ A C M， PINHEIRO P R M，CALDBA L P. Nodal analysis of switchedcurrent filters[J]. IEEE Transactions on Circuits and SystemsII Analog and Digital Signal Processing， 1993， 40（1）： 10-18.