让数学错题集成为高效学习的助力剂

李宽珍

一、问题的提出

错题集是指学生在数学学习过程中，将做过的作业、试卷、习题中的错题进行整理、分析、判断的专用本.通过错题集可以抓住问题的关键，找出其中的薄弱环节，解决零散、疏漏等问题，使得学习重点突出，更加有针对性，进而对学生的学习进一步起到反馈、矫正、评价、提高的作用.然而，从学生在数学学习过程中使用错题集的现状来看，我们发现，一些学生的错题集的整理存在误区，他们的错题集虽然整理得全面，但是不会充分利用错题集来进行学习反思，没有发挥错题集的强大功能.为了掌握高中学生对错题集使用的真实情况，笔者进行详细调查研究，并对学生利用错题集进行反思的现状进行分析，力图找到利用错题集促进学生高效学习的途径.

二、整理数学错题集的可行性和必要性

在数学教学中，由于学生知识、经验的不足、思维方法的片面，学生对教学内容的理解往往出现偏差，有时甚至错误百出.对于错题的订正，大多数学生都是课堂上似乎听懂了老师讲的内容，但课后做题时又感到思路不清，思维方法和解题策略模糊.学生在课堂上学到的知识只是暂时记忆，以至于所学的知识杂乱无章，导致解决问题时不能从大脑中随时提取需要的信息.而课后错题集的整理可以加强理解，弥补上课短时记忆的空缺，也可以让学生通过对错题的管理，意识到整理错题集的重要性，从而形成“要我做”到“我要做”的转变.

整理错题集还能促使课堂听课注意力更加集中.学生上课时把老师讲的重点、数学思想方法、解题中的难点等记录下来，课后及时整理，提高学习效率.

三、整理数学错题集的误区和对策分析

在数学教学中，笔者遗憾地发现学生大多不会做数学错题集，学生做错题集的过程机械呆板，缺乏灵活性.很多时候仅仅抄个答案，分析少，无暇顾及对方法的归纳、总结，整理错题集的过程并没有参与思考和体会，只是做了文字、方法的“搬运工”，这种机械式的整理错题集的过程未能深入理解，无形中却加深了对原题的记忆，容易对形似质异的题型产生思维定式，不仅不能熟能生巧，反而是“熟能生笨”.

因此，笔者指出学生在数学错题集中的不当做法，以引导学生，让数学错题集成为数学高效学习的助力剂.

（一）避免“碎片化”，而应系统、全面地做错题集

错题集应该是系统、清晰、完整的，不能随心所欲，想到哪里做到哪里.还有一些学生认为错题集跟试卷、讲义结合起来省事，直接把答案写在试卷上，或将试卷上的错题剪下来贴在错题集上.如果能计划安排好，这样的错题集确实能节省时间，提高课堂学习效率.但这样的弊端是感觉凌乱，特别是当教师补充或扩展的内容多时，或者自己有一定的感悟想写下来时，就会因为空间不够用而影响规范性、完整性，致使错题集整理得乱七八糟，另外试卷的剪切也会影响试卷本身的完整呈现.因此，错题集的整理必须要有系统性、规范性，这样才能把一个问题记录清楚，使得问题得以系统化地解决.如下面是一学生记录的基本不等式中常见的几种错误方法，记录就很有系统性.

案例1 已知a，b∈R+，且a+2b=1，求+的最小值.

错解一：由a，b∈R+，得a+≥2，2b+≥2=2，两式相加得a+2b（+）≥2+2，∴+≥2+1，故+的最小值为2+1.

错解二：由a+2b=1，得+=（a+2b）（+）≥2·=4，故+的最小值为4.

错解三：由a+2b=1，得a=1-2b>0，∴+=+=，而（1-2b）=·2b（1-2b）≤（）2=，等号成立的条件是2b=1-2b，解得b=，∴+≥=6，故+的最小值为6.

通过整理错题集，将上面案例的错误解法进行比较、分析，让学生真正理解运用公式a+b≥2时等号成立需要的条件，也就是利用基本不等式求最值容易出错的地方.

（二）避免“面面俱到”，而应提纲挈领式地整理错题集

很多学生的数学错题集整个就是“板书实录”.这些学生往往是缺乏学习的主动性和积极性，课堂上不能紧紧跟着老师的讲解而思考和内化相关知识. 他们以为老师讲的没有听懂，只要课后认真看笔记也能弥补课堂学习的缺憾.其实，这样往往会忽视老师课堂上的一些精彩分析和师生互动的重要信息，特别是数学思想和解题策略及技巧.

笔者通常会要求学生在课堂上以听讲结合思考为主，跟紧老师的思路并提纲挈领地把难点、易错点记下来，自己已经掌握的可以不记或略记，关键是记下题目的梗概、自己的疑问、对错题的理解、感悟，以便以后翻阅时能重点反思，进而总结思维过程，揭示解题规律.

例如，下面是一位学生对数列求和出现的错误采用提纲挈领式的错题集的整理.

案例2 求和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

错解一：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）an+1，

因此 （1-a）Sn=a+2a2+2a3+…+2an+（2n-1）an+1（最后一项应是减号）

错解二：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+…+2an+（2n-1）an+1，则（1-a）Sn=a+-（2n-1）an+1（中间是n-1项等比数列和，并不是n项等比数列和）.

错解三：没有对变量a分类讨论，分a=0，a=1，a≠0且a≠1三种情况来讨论.

学生在自主分析错误原因的过程中，对解决数列求和这类题的思路更加清晰.上面案例中的错解三告诉我们在使用等比数列求和公式时要注意对公比进行讨论；而错解一和错解二关键是运算技能的缺失.通过这样的自主纠错分析，逐步培养学生审读题目、辨析概念与重视运算技能的良好习惯.

（三）避免“量大质劣”，而应进行精细的题后反思

数学学习的关键是解题.数学解题，如果就题论题，不认真领悟其中蕴含的重要数学思想和方法，就容易陷入题海之中，事倍功半.然而，学生的错题集往往是纯粹的试题大全，缺乏问题所要考查的知识点的分析、数学思想方法的提炼及解题策略的整理等，没有自己的钻研体验，错题集变成习题集，最终收效甚微，会的还是会，不会的还是不会.endprint

做数学错题集要把重点放在错题价值的挖掘上，对错误的“障碍点”进行重点“敲打”，努力使崎岖曲折的道路变得平直顺畅，便于总结解题的一般规律. 总结发现知识和技能中的“盲点”或“误区”，及时克服和弥补. 回顾反思难点突破的过程，将有关的技能、技巧通过“上纲上线”，进一步与基本数学思想挂钩，并将它们组建成网络系统. 对错题由此及彼，举一反三，广泛联想，求新应变，使学生收到“解一题，会一类，熟一片”之功效. 思考错题是否有更好的解法，通过不断的探索求优，培养学生“简约”的能力.

在解题中出现的错误，用自己内化后的简短精炼的词语作为评析，把奇思妙想及时记录下来，这样，把错题集变成自己研究数学的心得，不断积累数学思想和解题方法，从而不断积累解题经验，这是学好数学的关键.

1.利用错题集反思可由个体反思向集体反思转变

利用错题集反思以个人为主. 但由于学生个体基础不同，每个人的错题集也各不相同，也可以与他人交流补充，相互借鉴. 这样可以跳出自身思考的局限和认识苑囿，吸取他人方法，扩大知识面，提升认知能力，培养数学思维的广阔性.

案例3 已知+=1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，若点P坐标为（，），且∠F1PF2=60°，求该椭圆方程.

此题不难，但一个学生却出现了下面的错误解法：设F1（-c，0），F2（c，0），在△F1PF2中用余弦定理，得到

cos60°=

==.

化简得16-2c2

=·. （1）

两边平方，得c2 =4或16.再由点在椭圆上，解出a2，b2的值.

错因分析：（1）式隐含了条件16-2c2 ≥0，所以c2 =16应该舍去.注意化简的过程要等价！同时这位同学还在错题集中增加了其他同学的解法.

其他同学解法（略）.

当然，该生的错解对其他同学也起到提醒鞭策的作用，通过集体反思，其他同学也可以把他的错误整理在自己的错题集上.

2.利用错题集反思可以通过制定反思作业，强化反思习惯

对于学生的错因分析，必须要有一定的深度，如果浅尝辄止，只会导致“理解表面跑，感悟走过场”.因此给学生布置反思作业，让学生将思考的内容书面化，将每一步的思考写在相应的解答后，能强化学生对错题的反思能力，养成良好的反思习惯.

案例4 已知双曲线C：2x2-y2=2.

（1）过定点P（1，2）的直线l与C有一个公共点、两个公共点、无公共点时，分别求直线l的斜率k的取值范围；

（2）是否存在过点P的双曲线的弦AB，使P恰为AB的中点？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，须说明道理；

（3）若设点Q（1，1），试判断以Q为中点的双曲线的弦是否存在？若存在，求出此弦所在直线的方程；若不存在，须说明道理.

此题的“含金量”很大，定点、直线、双曲线、曲线的各种位置关系、方程、分类讨论、中点弦、存在性的研究构成了一道靓丽的风景线，解答完后让学生进行回顾反思，可获得多方面的效益.为节省篇幅，将一名学生的反思内容扼要地写在相关解题步骤后面的【】中.

（1）设直线l：y-2=k（x-1），【l的斜率一定存在吗？题设中有k，无碍，但能想到也是好事】代入双曲线方程，化得（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0. 【“2-k2”是个警戒点，要格外小心】当2-k2=0时，k=±；当Δ=0，得k=；当Δ>0时，得k<；又两条渐近线的斜率为±.【四点考虑，一个也不能少】配合图形，则得①当k=±，或k=，或k不存在时，l与C只有一个公共点；【虽然都是“只有一个公共点”，但有相切和不相切两种情况】②当k∈（-∞，-）∪（-，）∪（，）时，l与C有两个公共点；【没想到，k竟有三段取值范围！须对照图形一一考虑清楚，有时两点在双曲线的一支上，有时两点分居在双曲线的两支上；若没有图形的参与，则很难判断，可见数形结合思想的威力.若令直线l围绕P点旋转，则可看得更清析】. ③当k>时，l与C没有公共点.

（2）假设以P为中点的弦AB存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0的两根，则有=1，解得k=1，代入方程，验证知Δ>0，故存在满足条件的直线l：y=x+1.【为什么要验证Δ>0？求得的k=1是必要条件，还须研究其充分性】

（3）假设以Q为中点的弦AB存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有2[x1][2]-[y1][2]=2，2[x2][2]-[y2][2]=2，两式相减得2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）.【同构式在这里又发挥了特殊的作用】又x1+x2=2，y1+y2=2，则2（x1-x2）=y1-y2，AB的斜率为2，但此时直线l与C无公共点，所以假设不成立，即不存在满足条件的弦.【虽求得了斜率为2，但此时AB与C无公共点，AB为虚假的中点弦.瞻前顾后是思维广阔性的现实显示，但这可不是畏首畏尾哦！】

经常这样引导学生解题反思，让学生将对错题的反思形成一种习惯.事实上，每次解题时也可以引导学生思考这样的一些问题：①出题人考查的思路是什么？②从这道题的已知条件出发，我可以得到什么？进而推出什么？得出什么？③这道题会犯的错误是什么？产生错误的原因是什么？④我应该怎样做才能避免此类的错误？⑤这道题的收获是什么？⑥通过这道题，我应掌握的思维方式是什么？我可以得到的答题技巧是什么？等等.长期以往，就能培养数学思维的严密性、广阔性和深刻性.

（四）避免“一劳永逸”，而应不断更新、完善错题集

不少学生有错题集整理完就搁置一边的弊病.数学错题集是自己学习过程中错误的一种积累，应时而拿出来推敲，以便于温故知新和完善补充，及时克服记忆中的遗忘曲线.特别是当章节学习完成，如能再系统地回看一遍错题集并及时整理和补充，对知识的深化理解和思路的开阔是受益无穷的.只有通过不断的总结归纳，才能不断深化对数学概念、公式和重要的数学思想方法、解题策略的内化，让数学学习既轻松、有序又能把知识系统化、条理化，形成知识网络，便于记忆和理解.在此基础上，提高分析和推理及推陈出新的能力.因而建议做错题集要留空，不要一次性把错题集挤满，以便于进一步的反思、整理、补充.

案例5 已知方程x2+2mx-m+12=0的两根均大于2，求实数m的取值范围.

这道题是高中学生犯错频率较高的一道题，一位学生在错题集中不仅还原了错题的过程，还对其进行了题后分析和解答补充.

错解：由不等式组Δ=（2m）2+4（m-12）≥0，

x1+x2=-2m>4，

x1x2=-m+12>4，

解出m≤-4.

题后反思：

（1）错因分析：由题意知，方程两根x1>2，且x2>2，由此能推出x1+x2>4，且x1x2>4，但由“x1+x2>4，且x1x2>4”却不能推出“x1>2，且x2>2”，例如，当x1=5，x2=1时，满足x1+x2>4，且x1x2>4，但显然有x2<2，因而“x1>2，且x2>2”是“x1+x2>4，且x1x2>4”的充分不必要条件，原来是忽视了命题的等价性！

（2）正确解法（略）.

通过对这道题的整理，学生注意到要解决这类问题，需要弄清命题之间的关系，不等式不能乱用！

数学错题集是学生学习数学过程的一个重要环节，整理数学错题集还应注意的问题： 忌三分钟热度，要坚持不懈，持之以恒；忌拖拉，应每天及时总结和整理，做到今日事今日毕；忌断章取义，应将相应的错题、思维障碍等全面呈现，以便日后反思.通过错题集的整理，经常回顾所学内容，对知识结构及时梳理，对习题类化并由此推广，不断反复，学会总结和归类，使知识条理化、系统化、网络化，从而使记忆更扎实，理解更透彻.当然，对学生整理数学错题集的指导应力求做到课上与课下结合，转变思想与传授方法结合，教师指导与学生探求结合，统一指导与个别指导结合，促进学生掌握正确的适合自己的整理数学错题集的方法，让数学错题集成为数学高效学习的助力剂.endprint