《表度说》中的圭表测量原理与方法——兼论明末传教士的北极高度测量

孙 榕，邓可卉

（东华大学 人文学院，上海 201620）

1 《表度说》的作者及体例

熊三拔（SabatinodeUrsis，1575—1620），字有纲，意大利人，他于1597年入耶稣会，1606年来华，起初主要担任利玛窦（Matteo Ricci，1552—1610）的助手。1611年，熊三拔同庞迪我一起协助徐光启修订了《几何原本》译文前六卷[1]。同年，徐光启曾请熊三拔作《简平仪说》。《表度说》是由意大利传教士熊三拔口授，周子愚、卓尔康笔录所完成的。这是第一部详细介绍西方天文学中表的测量理论与技术的书。《简平仪说》《表度说》和熊三拔的另一部译作《泰西水法》均被收入《四库全书》，也被李之藻收入《天学初函》，可见熊三拔对引进西方天文学的贡献是举足轻重的。1616年，随着首次耶稣会士在华受挫——“南京教案”的发生，熊三拔被逐出京师，押至澳门，结束了他的十年（1606—1616）的传教生涯，1620年，他病逝于澳门。

《表度说》成书于明万历甲寅年（1614），书中主要探讨立表测影的革新之法，这种方法起自土圭，便捷之处在于可以随意立表。全书主要分为两部分：圭表测影的理论基础和实际操作。其中，理论部分以“太阳绕地球运转的速度是均等的”“地球在宇宙的中心”“地球和太阳相比，大小相当于一个点”“地球为球体”“可立表于地面，表端之处均为地心”5个论题展开的。实际操作部分分6类概述了西方圭表实测操作原理以及所用的具体方法：测太阳地平高度、测每日午正初刻（12时）及太阳地平高度的最大值、测南北极出入地度分、测节气定日期、根据物体影长来推算物体高度、制造柱晷等[2]。本文主要探究《表度说》实际测量所运用的原理、涉及的天文学知识和具体操作方法。

2 分表、立表的方法

据文渊阁《四库全书》本《表度说》所载，在立表取影时必先确定表长，随后以此表为准，量取实测得到的影长。12平分表长，则表度为12度，即为1度。每度再60平分为1分，则一个表总共720分（图1）。

首先是表的取直问题。具体做法是：以该表为圆心作圆（半径可任取），三等分所作的圆周，并且在三等分点上各立一表[3]（图2），用规先量取丙表底端到乙处的长度，记作“L1”,在依次量取丁、戊表底端到乙处的长度，分别记作“L2”、“L3”，若L1=L2=L3，则表与水平面垂直。

图1 分表之法

图2 立表之法

3 圭表测量原理及方法

3.1 测量太阳的地平高度

3.1.1 原理

直影，即立表与水平地面垂直时所得到的表影（图3）；倒影，即立表与水平地面平行时所得到的表影（图4）。直影、倒影在90°内的变化及相互关系，《表度说》原文已提：“日轨出地平，从一度至九十度渐升……日上，直景消，倒景长，日下，倒景消，直景长，皆至午正而复”，“试如日高二度，直景得长，倒景得短，日高八十九度，倒景得长，直景得短，则日高二度之直景，八十八度之倒景，其长同也……二景一消一长，相反相对，无有不合”[4]807。用数学公式说明其意，图5、6中线段AB为表，BC、BC＇分别为直影、倒影，α为该地的太阳高度角（取0°≤α≤90°）。则直影长度、倒影长度可分别表示为：

由 式（1）（2）可 知 ，当 太 阳 从 日 出 到 正 午 ，（0°≤α≤90°）增大，BC减小（直景消），BC＇增大（倒影长）。再由三角函数关系可知

由式（2）（3）可知，当直影、倒影的太阳高度角互余时，两影长相等。

图3 直影[4]816

图4 倒影[4]816

图5 直影简图

图6 倒影简图

直影和倒影的变化及相互关系也和实际测量结果一一对应，实测结果见《表度说》中的表格（表1）。表格中从左至右，首先将直影从0°～89°按照每隔1度递增，取一太阳地平高度值（共90列）写在表格最上一行；倒影则从89°～0°按照每隔1°递减，取一太阳地平高度值写在表格最下一行。其次，表格的左、右列为直影在1°之内的分值取值，从上至下，最右侧直影分值每隔10′递增，从0′～60′（共7行）；最左侧倒影分值从60′～0′每隔10′递减。

3.1.2 操作方法

在建立了太阳地平高度与直影、倒影长短关系的表格后，立表与水平地面垂直，所得的影（直影）长，用该表量取，得几度几分，随后检索表格中该度分值所对应的太阳地平高度即可。

表1 表之直影、倒影度分而测得的太阳地平高度表[4]818-822

3.2 测量每日午正初刻时太阳最大地平高度及确定午酉子卯四向

3.2.1 原理

《表度说》“第一题”中，证明了地球（及地球上所有物体）的影子一天内移动的速度和太阳绕行的速度均匀且相等，在证明过程中原文提到：“周天三百六十度，分为四圈分，每分九十度，所谓周天象限也。”原文又载：“日轮自卯向午，每刻行三度四十五分（八刻为一时），每时平行三十度，至午，得三时；自午向酉亦如之，故一周得十二时，终古如此。”[4]809-810根据实测，太阳每个时辰运行的周天度数为30°，每刻运行的周天度数为3°45′，而太阳一天之内东升西落运行一周（360°），故一天有十二时辰。太阳从地平升起到中午12点整时，作逐渐靠近子午线的运动，12点之后至日落，做逐渐靠近地平线的运动，所以，一日之内太阳最大地平高度为午正初刻。

3.2.2 操作方法

（1）测量每日午正时刻：若立表取直影，从日出到午正，影长逐渐变短直至快要消失；从午正到日落，影长逐渐变长直至无穷。所以，午正初刻的直影影长是一个临界值，即在停止变短（将要变长）的时刻，原文用“表景消极长初”[4]824来表述。

（2）测量每日太阳的最大地平高度：午正初刻对应的即是太阳的最大地平高度，用h⊙表示。在午正前数刻，每过一刻或者半刻，立表取影，记下影长值，该数值越来越小。继续依照一刻或半刻的时间间隔记录影长，若该数值越来越大，则表示太阳过了午正，将要落下地平。在之前的数据中，取最短影长（即午正初刻的影长），检索表1中对应的太阳地平高度值，便是当日太阳的最高地平高度。

（3）确定午酉子卯四个方向：连接午正初刻的影末到表所在的位置（连接AO），即本地的子午方向，向子午线作垂线，便得卯酉方向（图7）。这里《表度说》顺带解决了测量方向的问题，这个问题在这里是孤立的，但是却呼应了传统天文学中圭表测影的功能[5]。

图7 确定午酉子卯四个方向图

3.3 测量某地南北极高度

3.3.1 原理

《表度说》原文中，在“随地测节气定日”一节之后，附有“每节气本所及离赤道度分图”[4]826-827（表2）即给出了每个节气的距纬①在邓可卉《比较视野下的中国天文学史》一书中，提到所谓的“各节气距纬”即各个节气太阳的赤纬。——这些值有可能是测量所得，也有可能是根据球面三角正弦定理计算而得，不难看出，每个节气的距纬是固定的。前文已提，h⊙表示某日午正初刻太阳的地平高度。用δ⊙表示这一天太阳的赤纬，计算某日赤道的地平高度H，有

“+”、“－”号取决于当日太阳运行到赤道南或北，日在赤道南，则公式中取“+”号，在北，则取“－”号。用H＇表示赤道距离天顶的高度，则H和H＇的关系为

表2 各节气距纬[4]826-827

同时，H＇即是该点的地理纬度，它等于该点的北极高度。

3.3.2 操作方法

首先，测量某节气日午正初刻的表影长，根据所得的影长从表1检索此时的太阳地平高度值h⊙；其次，检索表2中该节气日对应的太阳赤纬值δ⊙，依照公式h⊙±δ⊙=H选取适当的“加”“减”运算，得到赤道的地平高度H；最后，用90°减去赤道的地平高度H，得到赤道到天顶的度数H＇，即此时该地北极的地平高度值（图8）。

图8 各节气距纬图

3.4 测某节气日中影长及已知影长定节气

3.4.1 原理

即是上文中所提“每节气得十五日有奇”。如图8，按照上述原文作“各节气在黄道上的排布图”，某节气距纬为 δ⊙，根据球面三角正弦定理，在球面三角形可得

sinδ⊙=sin15°·sin23°35＇（定值）。

又有，二至到二分均为90°，每90°内均分六个节气，则的取值从0°～90°每隔15°取一个值，则距纬δ⊙的值因取值相同而相等。所以可得，春分、秋分δ⊙相等；冬至、夏至δ⊙相等；其余每4个距离二分（或二至）相等间距的节气日，δ⊙相等，这与原文所表述一致，“诸节气距赤道南北远近，毎相反相对者，度分皆同，故得六距度，即得二十四距度”[4]825。

要得到某节气日中影长，这与3.3节的运算互逆：已知某地北极的地平高度H'，即赤道离天顶的高度也为H＇，可得赤道的地平高度H为

根据图8可知该节气的距纬（即太阳的赤纬）值δ⊙，若此时太阳运行在赤道以北，则加上δ⊙（若在赤道以南，则减去δ⊙），则太阳的地平高度为

最后根据表1可得该节气午正影长。

3.4.2 操作方法

已知待测地点的北极高度为H＇，得到太阳的地平高度值h⊙。最后检索表1，可知对应的该节气午正时刻直影长（BC）。

《表度说》给出了不同地方的北极高度以及该地在春分、秋分，冬至、夏至4节气对应的影长。同时还绘制了北京、南京、广东3地的二分、二至午正时刻影长图，其中纵轴十二平分，对应表的度数，横轴表示影长。

3.5 依据表影长、物体影长得到物体高度

3.5.1 原理

利用相似三角形对应边成比例，如图9，设FO为待测物体的高度，BE为表高（12度）；AF、CE为太阳与地平面成45°角时的两条平行光线，OA和BC、OD和BD、OI和HI分别是当太阳与地平面成ϕ角（ϕ=45°，0°＜ϕ＜45°，45°＜ϕ＜90°）时待测物体的高和表影长，由图9可知，这三种情况分别对应影长＞物高，影长＜物高，影长=物高。

图9 测算物体高度图

在太阳高度角ϕ取不同值时，有对应的相似三角形（图9）。如设太阳高度角ϕ 角（0°＜ϕ＜45°），因为Rt△FOD和Rt△EBD有共角∠FDO，可证△FOD∽△EBD，则有

又因为FA//EC，则∠AFD=∠CED，△FAD∽△ECD，所以

同理，利用另外两大对相似三角形FOA和EBC、FOI和GHI的关系，可以分别证明

3.5.2 操作方法

（1）当太阳高度角ϕ=45°时，物高=影长，即直接量取物体的影长便得物高。

（2）当太阳高度角0°＜ϕ＜45°时，如图9，AD段在原文中称之为“余景”，即此时的物影长减去太阳高度角为45°时的物影长的差。BD是在已知ϕ角值时，从表1检索得到的表影长，OD可测量得到，CD作差求得CD=BD-BC=BD-12（其中表为12度），根据上述相似关系可以求得AD。所以

（3）当太阳高度角 45°＜ϕ＜90°时，物高＞影长，同理，根据上述相似关系则有：

其中OI可通过测量得到，HI为已知ϕ角时从表1检索得到的表影长，IC'=HC'-HI=12-HI（其中表为12度）。

3.6 制造柱晷

3.6.1 原理

所谓柱晷，其晷体为圆柱体的一种日晷，其高度、底面积大小取之适当即可。其表针长度任意，十二平分表长为十二度，每度六十平分，若表针较短，可以每度六平分（图10）。表针与晷体垂直，在柱晷晷面上画刻度线，读取针端影位即可获得当时的时刻与节气。

（1）柱晷作节气线法。太阳在黄道上不同的位置，确定了不同的节气①王广超在《明清之际圭表测影考》一文中认为，《表度说》中的节气是按照太阳所处黄道位置确定的，所以与定气有关。。每两个相邻的节气，大致相差15天，反映在黄道上，据冬至距离相等的两个节气太阳的位置连线，平行且等间距。首先，将柱晷的上下底面圆周对应平分为十三分，并作标记；其次，把上下底面的这些标记两两相连，保证这些线段与柱体平行且相等（图11）；最后，任取其中的一条线段为“冬至”，依次标注其余的节气。这十三条节气线中，冬至、夏至各为一条，其余的十一条线两两距纬相等者，占一条节气线，如原文所载：“即任取一线为冬至，次右二曰小寒、大雪，右三曰大寒、小雪，右四曰立春、立冬，右五曰雨水、霜降，右六曰惊蛰、寒露，右七曰春分、秋分，右八曰清明、白露，右九曰谷雨、处暑，右十曰立夏、立秋，右十一曰小满、大暑，右十二曰芒种、小暑，右十三曰夏至。”

（2）柱晷作时刻线法。太阳的周日视运动与赤道平行[8]，即便是对于同一个地点，不同时刻的表影长也有所不同[9]。在每个节气日的白昼（以及白昼与夜晚的临界）13个时刻②这13个时刻分别为：卯正、辰初、辰正、巳初、巳正、午初、午正、未初、未正、申初、申正、酉初、酉正。，分别记录对应的表影长，如图12所示。再将各节气日在以上13个时刻对应的表影长用该表作尺（表长不足影长时，通过挪动表来累计）在晷体上量取、刻录。最后把同一时刻的点用平滑的曲线相连，得到时刻线（图11）。

图10 表针[4]832

图11 柱晷晷体[4]832

以在“北极出地四十度”（即H'=40°）的地点，作柱晷上各节气午正时刻的时刻线为例。首先，在该地用柱晷上的表针（图10）测量二十四节气日，午正时刻的直影、倒影，并将这些数据记录在表格中（图12）。其次，把之前记录在表1中“午正”这一列各节气“倒影”影长值（BC'），即：夏至“ 40°31'”、芒种、小暑“39°15'”等一直到冬至这些倒影长值，一一对应晷体（图11）各节气线，用表针作尺，将它们依次刻录。最后，用曲线将晷体上各节气线表示“午正时刻”的点连接起来，这条曲线便是柱晷“午正时刻”时刻线。

3.6.2 操作方法

首先，安表时在柱晷之上边缘做一个槽，可使表体在其上滑动，槽的大小要保证在晷体之外的表长正好是12度。令表与晷体垂直，用时以晷与表各展转，就日而测之。

为了得知某节气日白昼的某一时刻，首先，将表针移动至该节气某日，并保持与晷体垂直。再者，将柱晷面对太阳，使表影与该节气线重合。最后，根据表影影末在节气线上所达到的时刻点，来确定此时的时刻（图12）。

图12 北极出地四十度地点各节气对应时刻的影长表[4]830-831

4 明末传教士的北极出地度测量

在《表度说》中有一张“北极出地度数及春秋分冬夏至表影度分”的表格[4]，其中给出了北京、南京、山东、山西、陕西、河南、浙江、江西、湖广、四川、广东、福建、广西、云南、贵州等15个省（市）的地理纬度。在庞迪我口译、孙元化笔授的《日晷图法》一书开篇，也罗列了与上述相同15个省（市）的地理纬度[10]。笔者认为两表中诸地的北极高度值，很有可能是熊三拔与庞迪我合作测算完成的，分析如下：

（1）庞、熊二人共同为明末改历工作做准备。1611年周子愚和礼部前后奏请皇帝命庞迪我、熊三拔翻译书籍、修正历法①《明神宗实录》周子愚奏疏：“大西洋归化庞迪我、熊三拔等，携有彼国历法，参互考证，固有典籍所已载者也，亦有典籍所未备者,当悉译以资采用。……天下之大,岂无一二知历之人伏在岩穴……不妨取来共相考订庶历法精详，有光前代，非熙朝盛事哉。”《明史·历志》：“翰林院检讨徐光启、南京工部员外郎李之藻亦皆精心历理，可与迪我、三拔等同译西洋法，俾云路等参订修改。”。在奏疏未被批准期间（1611—1613），庞迪我、熊三拔等传教士与徐光启、李之藻等官员一同筹备改历工作，约在1612年，庞迪我与孙元化共同完成《日晷图法》一书，熊三拔在1613年开始《表度说》的撰写[11]。在南京教案（1616）发生之前，庞、熊二人均在北京参与明末改历的筹备与实施工作，由此可见，二人在工作时间、地点及内容上均有交集，因此笔者认为庞、熊二人在此期间肯定有工作上的互补和意见的交流。

（2）《日晷图法》和《表度说》中涵盖15处相同地点的北极出地度的表格。关于明末北极出地度（地理纬度）的测量，前人表述不一，如费赖之和张铠认为，是庞迪我测量得到了自广州到北京诸城市的纬度值[12-13]，方豪认为是熊三拔测定了自广州至北京之纬度[14]。

首先指出，张铠在其《庞迪我与中国》一书中两次提到有关庞迪我测量地理纬度的说法，其一：“庞迪我和利玛窦……在从南京到北京的途中，庞迪我已用星盘对中国各大城市的纬度进行了实测”[13]，笔者认为这一段描述可能出现了舛误：据记载，利玛窦曾两次由南京抵达北京，第一次是从1598年6月至9月[15]，在此途中，利玛窦等人测算出了他们途经大城市的纬度值，而庞迪我是1599年抵达澳门，从时间上看他不可能参与利氏等人的此次测算工作；第二次是从1600年5月至1601年1月，此次抵京确有庞迪我陪同，但当利氏一行来到临清（1600年7月3日）后，行动一直受到马堂的牵制，在天津传教士们甚至被关押在寺庙中，直至1601年1月传教士们才终止了此次磨难[15]。因此笔者认为庞迪我在此期间不太可能开展地理纬度的测量工作。

其二：“庞迪我对中国从广州到北京一些大城市的纬度进行了核定”[13]，这一观点和费赖之称“迪我亦从事于测量自广州达北京诸重要城市之纬度”[12]一致。方豪给出“熊三拔测定了自广州至北京之纬度”的观点[14]。据许洁提供的信息，在庞氏《日晷图法》一书有专设“北极出地度数”一节，并在日晷制作中也涉及到“随地随日测北极出地度分、量太阳高于地平度分以测北极出地度分法”等内容[10]。笔者发现，在熊三拔所著的《简平仪说》中有提及地理纬度的计算方法；在其《表度说》前篇熊三拔在还以广东和京都（北京）的北极出地度，以及“每北行250里，北极出地度较原先高1度”[4]的实测情况来作为“地本圆体”具体例证，后篇专设“随地随日测南北极出入地几何度分”一节，给出详细的测算步骤。庞、熊二人这三本著作成书时间相近，且《日晷图法》和《表度说》中给出北极出地度的表格中，所罗列的地点名称和顺序一致，笔者认为这不是二人各自测算的巧合，很有可能是他们经过讨论确定所要测算的地点，并且基于相同的测算原理得到对应的纬度值。

另外，在阳玛诺的《天问略》一书中也载有此15地的地理纬度值[16]，并且笔者通过比对，它们与《表度说》中给出的15地的纬度值有11处相同①地理纬度值不同的四处地点为：北京、广东、云南、贵州。，笔者认为，这些地理纬度值有可能是阳玛诺参考了庞迪我和熊三拔的工作。阳玛诺在北京的时间为1612至1613年间，这期间李之藻曾上疏举荐阳玛诺与庞、熊二人参与改历工作，这期间三人有学问交流的可能[11]。再者，《天问略》原文中并没有给出关于关于地理纬度的测算方法，各地地理纬度值的不同是为了说明昼夜长短变化跟其有关。

5 结语

第一，《表度说》作为明末清初西学东渐的产物，不仅介绍了在西方宇宙模型假设下的圭表测量技术，而且把传统天文学所要解决的许多实际问题纳入一个新的理论框架，即在一系列的天文量值之间建立关系，这些关系包括：表的直影（BC）和倒影（BC'）之间的关系以及它们与太阳地平高度（h⊙）的关系；每日午正时刻最大太阳地平高度（h⊙）和各节气距纬值（δ⊙）的关系h⊙±δ⊙=H，及其与北极出地度（H'）的关系；将倒影（BC'）和各节气距纬δ⊙概念用在制造柱晷的时刻线和节气线刻画上。再者，它与传统圭表测量的最大区别是，它明确了天文学概念及其联系，以及测量与表格的对应关系，而且把这种思路进行整理，给出了便捷的测影方法，满足了中国人对天文学测量的实际需求。

第二，在1610—1615年间，中国传统的天文学和近代天文学以庞迪我等人参与修历为出发点得以接轨，并且在北京形成了一个东西方文化交流的高潮[13]。《表度说》在内容上联系了这一阶段的重要译著，前文已提，《简平仪说》《表度说》《日晷图法》中都有涉及关于北极出地度的测算说明；在《天问略》一卷中也有提及“与熊三拔所著《表度说》次第相承，浅深相系，盖互为表里之书”[17]，两著作中均以“地圆”理论为基础，以“定气”的方法划分24节气等内容均可说明它们是在一套系统里相继、连续地被出版，而并非作为某一本孤立的著作被传入。这有助于当时的中国学者在理解、运用的基础上更大范围的接受和吸纳西方天文学理论。

总之，《表度说》对探讨西方天文学圭表测量的理论基础和技术具有重要性，同时它在研究中西天文学交流及其对中国天文学的影响方面，也是一部重要的文献。

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