弹性边界约束田字型耦合板的振动特性研究

张安付，盛美萍，马建刚

(西北工业大学航海学院，西安710072)

弹性边界约束田字型耦合板的振动特性研究

张安付，盛美萍，马建刚

(西北工业大学航海学院，西安710072)

以平面内田字型耦合薄板结构为研究对象，提出了一种计算弹性约束边界条件耦合板振动响应的解析方法。利用耦合部位的平衡条件和连续性条件，建立了耦合板结构的边界耦合方程。使用改进的傅里叶级数作为每个子板的弯曲位移函数，从而使得微分形式的边界耦合方程和各子板的运动方程离散为简单的线性方程组。ANSYS有限元软件仿真验证了建立的理论模型的正确性。利用该理论模型，分析了边界约束刚度的附带阻尼对耦合板结构振动响应的影响，结果表明:在横向约束刚度较软的情况下，横向约束刚度附带的边界阻尼可以明显削弱低阶共振响应。在求得结构位移的基础上，进一步给出了耦合板结构功率流的表达式，并对耦合板结构内的振动功率流传递特性进行了仿真研究，结果表明:增大边界约束刚度能有效阻碍功率流在边界处的流动;当外激励频率为低阶共振频率时，功率流更容易从受激板流向与受激板相同材质的接受板。

田字型耦合板;功率流;弹性约束边界;边界阻尼

实际工程中，存在大量的耦合板结构，如桥梁结构、船体舱室结构、房屋墙体结构等。针对耦合板结构的振动特性已有研究者做过大量的研究，例如，对于L型板，一些文献对其进行过统计能量分析［1－2］，能量流分析［3］，导纳功率流分析［4］。更深入的研究如Du［5］和薛开［6］分别研究了具有弹性连接耦合边界的L型耦合板振动特性;史冬岩［7］和Chen［8］分别研究了T型和盒型耦合板振动特性以及功率流特性，但是由于其耦合板的耦合边界为弹性连接，边界处的位移量一般不连续。在实际工程中，还存在结构间刚性连接同时边界带有基础弹性约束的耦合板结构，如高架桥桥面、安装在弹性实肋板上的潜艇外壳，这种类型的耦合板耦合边界处位移量一般连续，处理方式与上述文献不同。目前，这类耦合板的研究大多针对于多跨桥梁结构，其耦合布局往往呈一字型，如Song等［9］研究了简支边界两跨板的振动和气动弹性特性;Johansson等［10］在梁振动方程基础上运用模态叠加方法给出了耦合边处具有弹性约束刚度的板桥结构振动问题的精确解。多跨板桥型结构的其他研究方法还有如有限元法［11］，导纳法［12］等。

然而，对于其它非一字布局的刚性连接耦合板，涉及到的文献较少。田字型板是工程中大量存在的平面内耦合板结构的一种精简模型，对田字型板振动特性研究有助于更为深入地掌握耦合板结构的振动传递规律。本文以平面内耦合板中的田字型板为研究对象，提出一种求解耦合边处具有弹性刚度约束、田字型布局耦合板振动特性的解析方法。根据耦合边界处力、弯矩平衡以及位移、转角连续性条件，建立耦合边界方程，采用改进的傅里叶级数作为位移表达式，将耦合板结构的边界方程和运动方程转换为线性方程组，并求解得到耦合板上各个子板的位移分布。进一步分析耦合边界约束刚度附带阻尼对耦合板振动特性的影响。最后分析田字型耦合板中功率流的传递特性。

1 理论研究

图1为四块刚性连接在一起呈田字型布局的耦合板结构示意图，其中每块板的厚度和材料可以任意定义。耦合板结构的四周边界和中间连接边界存在来自于刚性基础的弹性约束，分为横向弹性约束和扭转弹性约束。

对于图1所示的耦合板结构，可以将其拆分为四个子板结构，每个子板结构拥有独立的直角坐标系，各子板独立坐标系如图2所示。依次给四块子板进行编号，并根据板编号，依次为每块子板的四条边界编号。根据边界编号，可以对所有边界的横向弹性约束刚度和扭转弹性约束刚度进行命名，例如对于第一块子板，命名横向约束刚度为k11、k12、k13和k14，量纲为N/m2，旋转约束刚度为K11、K12、K13和K14，量纲为N/m/rad，对于其它子板，可以此类推。

在每个相邻子板的连接处、耦合板结构外围边界处，根据力、弯矩平衡条件，以及位移、转角连续性条件可以得到如下32个边界耦合方程，其中每个耦合方程右边的第二项均为耦合项，这些耦合项可以根据各板的连接情况确定，如板1与板2、板3相连接，则在板1的边界方程中，存在来自板2和板3的边界力和边界弯矩。

板1上的边界方程

式中:k13=k21，k22=k44，k33=k41，k12=k34，K13=K21，K22=K44，K33=K41，K12=K34，θix=∂wi/∂x，θiy=∂wi/∂y (i=1，2，3，4)，为了引入边界约束刚度的附带阻尼，可以采用复数形式的边界刚度，如用k11(1+jη11)代替k11，用K11(1+jμ11)和代替K11。η，μ分别为横向约束刚度和扭转约束刚度的附带阻尼。其他约束刚度的附带阻尼，可以此类推获得。

图1 弹性约束边界田字型耦合板结构Fig.1 Four－Palace type coupled plates with elastic edge restraints

图2 耦合板结构的坐标系统和编号方式Fig.2 The coordinate system and numbering of coupled plates

本文边界方程的获得方法可以拓展到平面内其他耦合布局的耦合板结构，如平面内L型、T型、九宫格型等种类耦合板，只需根据各板之间的连接情况，修改各块板边界方程中的耦合项即可。

上述32个边界方程中Q，M为板边界截面的横向剪切力和弯矩，其表达式为

事实上，由于四块板结构均在板的边界处耦合，可将板之间的耦合关系都放在边界方程中，如式(1)～式(4)所示，四块板的运动方程中可不添加耦合项。四块子板的运动方程可以独立写出，各子板运动方程可写为

式(6)和式(7)中:Di、νi、ρi、hi、Fi分别为第i块板的弯曲刚度、泊松比、密度、厚度和受到的点力幅值。

由于每个板的边界为弹性约束，设位移函数为双重傅里叶余弦级数+增补函数的形式［13］，四块板的位移表达式表示如下

式中:ξ(x)，ξ(y)为自定义函数，λm=mπ/a，λn=nπ/ b，a，b为相应子板的尺寸，将位移表达式代入32个边界方程，通过积分，消去方程两端的位置项cos(λmx)和cos(λny)，即可得到与位置无关的边界方程为

将位移表达式代入四块子板的运动方程，同样，通过积分，消去方程两端的位置项cos(λmx)和cos(λny)，即可得到与位置无关的运动方程

联立式(9)和式(14)，消去p得到标准化的线性方程组

式中:K、M、H、Q、S、T和F均为已知矩阵。

求解式(15)和式(9)，得到未知系数集合a和p，代入位移表达式中，可以得到各个子板的位移分布，进而可得板内截面力、弯矩和功率流等量。四块板在各自的坐标系下x，y方向的振动功率流分量分别为［8］

通过板上(x，y)点处的总功率流大小为

虽然本文的研究对象只针对田字型板，但对于平面内其他耦合布局的耦合板，如L型、T型、九宫格型等布局，本文方法同样适用，具体操作方法如下:

若存在J块板，首先根据右手定则，在每块板上建立独立的直角坐标系，写出J块板在未耦合情况下的带有弹性约束刚度的J×8个边界方程，可参考文献［13］;

其次根据相邻板的连接关系，在J×8个边界方程的右边补充耦合项;

然后写出J块板运动方程，并将J块板的位移场函数表达成式(8)所示形式;

最后联立所有的边界方程和运动方程，代入位移表达式，即可得到矩阵形式的边界方程和运动方程，求解可获得各种平面内耦合板结构的模态特性和受外激励力下的位移响应。

2 仿真分析

2.1 计算方法验证

选取耦合板结构各子板材料和厚度参数如下:板1，钢，2 mm;板2，铝，2 mm;板3，铝，2 mm;板4，钢，3 mm。四块子板的长宽均为0.5 m×0.4 m，如图3所示。首先设置耦合板结构外围边界约束刚度值k和K均取1×1010N/m2(N/rad)，四块板耦合边的横向约束刚度值k同样为1×1010N/m2，旋转约束刚度的刚度值K为10 N/rad，记为第一种弹性约束方式。

图3 弹性约束方式下的田字型耦合板Fig.3 The coupled plates with elastic edges

在表1中给出了耦合板结构的前10阶固有频率。为了方便比较，由ANSYS软件计算得到的有限元结果也在表中列出。为检验本文计算方法的收敛性，给出了傅里叶级数的展开项数分别取M=N=3、4、5、10和15时，所求得的固有频率值，从表1中可以看出本文方法计算结果与有限元计算结果吻合良好，仅用少量截断项数即可获得足够精确的结果。

表1 第一种弹性边界约束下耦合板的前10阶固有频率Tab.1 The first 10 order natural frequencies of the coupled platesw ith the first elastic edges

计算每块子板上200个点速度响应数据，并取平均值作为每块子板的平均振速。同样在ANSYS使用SHELL181建立与算例相同参数的耦合板结构有限元模型，边界约束与算例相同，进行谐响应分析，使用NSOL命令提取每块子板的振动速度，并求平均，得到每块子板平均振动速度的有限元方法结果。将理论模型计算结果与ANSYS软件结果对比(见图4)。从图4可知，本文计算值与ANSYS软件计算值一致性很好，从而证明了本文方法的有效性。

设置图3的田字型耦合板外围边界和耦合边的横向约束和旋转约束刚度值均为0.1 N/m2(N/rad)，记为第二种弹性边界约束方式。在表2中列出了第二种弹性边界约束下田字型耦合板结构的前10阶固有频率，ANSYS计算得到的有限元结果也在表中给出。相应的模态振型可以通过将矩阵(M+TH－1Q)－1(K+ SH－1Q)的特征向量代入到位移表达式中求得。耦合板的前三阶模态振型等位线(见图5)，同时图6也给出了ANSYS软件中模态振型，两者对比表明了本文方法和有限元方法结果一致性很好。

图4 第一种弹性边界约束下田字型耦合板平均振动速度Fig.4 The average velocity of each sub－plate with the first elastic edges

图5 第二种弹性边界约束下，本文方法的前三阶固有振型Fig.5 The first three ordermodal shapes form the presentmethod

图6 第二种弹性边界约束下，有限元方法的前三阶固有振型Fig.6 The first three ordermodal shapes form FEM

图7 第二种弹性边界约束方式下田字型耦合板平均振动速度Fig.7 The average velocity of each sub－plate with the second elastic edges

同样利用本文方法计算上述耦合板中每块子板的平均振动速度，并与ANSYS计算结果作对比，见图7。从图7所示的对比曲线可知，对于算例中的第二种弹性边界约束方式，本文计算值与ANSYS软件的有限元计算值一致性也同样很好，进一步证明了本文方法的有效性。

下面讨论本文方法与有限元方法的计算效率。以具有特别精细网格的有限元模型(刚度矩阵阶数达32 000)计算出的固有频率作为精确值，将本文方法计算出的图3耦合板在第一种弹性约束边界下第136、137和138阶固有频率(1 000 Hz附近)与精确值作对比见表3，可以发现，刚度矩阵阶数为400阶时，本文方法在1 000 Hz以内已经达到很高的精度。同样，利用有限元法，计算不同刚度矩阵阶数下相同耦合板的固有频率，如表4所示。对比表3、表4可知，利用有限元法，刚度矩阵维数需达到12 500阶，才能取得与本文方法相近的精度，而利用本文方法，刚度矩阵阶数只需400阶，两者相差30倍以上。在同一台PC机上，设置本文方法刚度矩阵为400阶，有限元方法刚度矩阵为12 500阶，考察本文方法比有限元方法精度略高情况下两种方法的计算时长，经测定，本文方法整个建模和求解时长为0.5 s，而有限元法的计算时长为14 s，相差70倍。由此可知，相比于有限元法，本文方法有较高的计算效率。

表3 本文方法－不同刚度矩阵阶数下固有频率(Hz)Tab.3 The natural frequencies from the present method w ith different stiffnessmatrix dimensions(Hz)

表4 有限元方法－不同刚度矩阵阶数下固有频率(Hz)Tab.4 The natural frequencies from the FEM w ith different stiffnessmatrix dimensions(Hz)

2.2 试件测试

开展田字型板的试验研究，加工试件，四块钢板的厚度从板1到板4分别为2 mm，3 mm，2 mm，3 mm，连接边焊接，测试系统(见图8)。

由于钢板满焊会使得板结构变形，因此试件采用点焊连接。使用阻抗头测量输入结构的输入点响应(见图9)，可见测试值与理论值的一致性较为良好，产生的误差是由于试件焊接时焊点不够密集，以及焊点间距不均匀，导致试件与理论模型存在差异。

2.3 边界阻尼参数分析

弹性约束刚度对薄板振动响应的影响，有学者做过具体的仿真分析。本文主要讨论边界约束刚度附带边界阻尼对耦合板振动的影响。所有边界处的横向约束刚度取值一致，记为k，其附带边界阻尼η也取值一致。K，μ亦然。

首先讨论横向约束刚度附带阻尼η对耦合板振动的影响。k分别取105N/m2、106N/m2、107N/m2和108N/m2，K取105N/rad，计算出整个耦合板的平均振动速度(见图10)。

从图10可知，在软横向边界刚度条件下，η能极大地削弱低频处的振动响应，随着横向约束刚度增大，η的抑振效果逐渐向高频移动。

其次讨论旋转约束刚度附带阻尼μ对耦合板结构振动响应的影响。K分别取103N/rad、104N/rad、105N/rad和106N/rad，k取105N/m2，计算出整个耦合板的平均振动速度(见图11)。

从图11可知，在软旋转约束刚度的条件下，μ在较宽的频段内有一定的抑振效果，随着旋转约束刚度增大，μ的抑振效果逐渐消失。

图8 田字型板测试系统Fig.8 Thevibration test system of Four－Palace type coupled plates

图9 振动响应测试值与理论值对比Fig.9 Comparison of test results and results of the presentmethod

图10 横向约束刚度附带阻尼对田字型耦合板振动的影响Fig.10 The effect of the boundary damping of translational constraints on vibration response of coupled plates

图11 旋转约束刚度附带阻尼对田字型耦合板振动的影响Fig.11 The effect of the boundary damping of rotational constraints on vibration response of coupled plates

2.4 振动功率流传递特性分析

下面考察外部激励作用下，振动功率流在整个耦合板结构内的分布和传递情况。首先考虑四块子板尺寸均为0.5 m×0.4 m×3 mm的等厚度钢板，在板1的 (0.17 m，0.13 m)点施加外激励力。考虑两类边界刚度，一类是所有横向弹性边界刚度为105N/m2，旋转弹性边界刚度为105N/rad，另一类是将板3和板4之间的横向弹性边界刚度k33设置为107N/m2，旋转弹性边界刚度K33设置为106N/rad，其他边界刚度值与第一类相同。分别取外激励频率为前三阶共振频率，绘制结构的功率流流动图，如图12～图14所示，图中激励点的位置可以由功率流技术清楚地显示在耦合板面上。从图12～图14中(a)图和(b)图对比可以看出，当增大板3、4之间的边界约束刚度，如图12(b)～图14(b)图中的粗线所示，则基础对边界的约束作用增强，板3和板4之间功率流幅值明显减弱，耦合板功率流方向改变较大。

图12 激励频率为第一阶共振频率时两类结构功率流流动Fig.12 The power flow for the first resonance frequency as excitation frequency

再考虑不同材质子板的功率流传递特性，将第3块、第4块板换成铝板，第1块、第2块板为钢板不变，使用同样的方法计算耦合板的功率流分布和传递情况，取激励力频率为第一阶、第二和第五阶共振频率。从图15可知，当外激励频率较低时，功率流更容易从受激板流向与受激板相同材质的接受板，但随着外激励频率升高，功率流流动变得复杂，这种现象逐渐消失。

图13 激励频率为第二阶共振频率两类结构功率流流动Fig.13 The power flow for the second resonance frequency as excitation frequency

图14 激励频率为第三阶共振频率两类结构功率流流动Fig.14 The power flow for thethird resonance frequency as excitation frequency

图15 功率流在不同材质子板结构内的流动Fig.15 The power flow in coupled plateswith the differentmaterials

3 结论

本文提出了一种求解耦合边处具有弹性约束、田字型刚性连接耦合板振动特性的解析方法。根据耦合边界处力、弯矩平衡以及位移、转角连续性条件，建立耦合边界方程，采用改进的傅里叶级数作为位移表达式，代入耦合边界方程和各个板的振动方程，将其转换成简单的线性方程组，并求解得到田字型耦合板的模态参数和位移。使用ANSYS有限元软件验证了该方法的正确性，并通过比较发现本文方法相比于有限元方法有较高的计算效率。

利用本文的理论模型和方法分析了弹性约束刚度附带阻尼对耦合板振动响应的影响以及耦合板结构功率流传递特性，仿真表明:

(1)在软横向约束刚度条件下，横向约束刚度的附带阻尼能极大地削弱低频处的振动响应，随着横向约束刚度升高，其抑振效果逐渐向高频移动;

(2)在软旋转约束刚度的条件下，旋转约束刚度的附带阻尼在较宽的频段内有一定的抑振效果，随着旋转约束刚度升高，其抑振效果逐渐消失;

(3)增大基础对边界的约束，能阻碍功率流在边界附近的流动;

(4)当外激励频率为低阶共振频率时，功率流更容易从受激板流向与受激板相同材质的接受板。

［1］Lin Tian－ran，Tan A CC，Yan Cheng，etal.Vibration of L－shaped plates under a deterministic force or moment excitation:a case of statistical energy analysis application［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330:4780－4797.

［2］Li Xian－hui.A scaling approach for high－frequency vibration analysis of line－coupled plates［J］.Journal of Sound and Vibration，2013，332:4054－4058.

［3］游进，李鸿光，孟光.耦合板结构随机能量有限元分析［J］.振动与冲击，2009，28(11):43－46.YOU Jin，LI Hong－guang，MENG Guang.Random energyfinite element analysis of coupled plate structures［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(11):43－46.

［4］Cuschieri JM，McCollum M D.In－plane and out－of－plane waves’power transmission through an L－plate junction using the mobility power flow approach［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1996，100(2):857－870.

［5］Du Jing－tao，LiW L，Liu Zhi－gang，et al.Free vibration of two elastically coupled rectangular plates with uniform elastic boundary restraints［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330:788－804.

［6］薛开，王久发，王威远，等.耦合板在任意边界条件下的自由振动分析［J］.振动与冲击，2013，32(22):178－182.

XUE Kai，WANG Jiu－fa，WANG Wei－yuan，et al.Free vibration analysis of coupled rectangular plates with general elasticboundary conditions［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(22):178－182.

［7］史冬岩，石先杰，王青山，等.T型耦合板结构振动特性研究［J］.振动与冲击，2014，33(4):185－198.

SHI Dong－yan，SHI Xian－jie，WANG Qing－shan，et al.Vibration analysis of a T－coupled plate structure［J］.Journal of Vibration and Vibration，2014，33(4):185－198.

［8］Chen Yue－hua，Jin Guo－yong，Zhu Ming－gang，et al.Vibration behaviors of a box－type structure built up by plates and energy transmission through the structure［J］.Journal of Sound and Vibration，2012，331:849－867.

［9］Song Zhi－guang，Li Feng－ming.Vibration and aeroelastic properties of ordered and disordered two－span panels in supersonic airflow［J］.International Journal of Mechanical Sciences.2014，81:65－72.

［10］Johansson C，Pacoste C，KaroumiR.Closed－form solution for themode superposition analysis of the vibration in multi－span beam bridges caused by concentrated moving loads［J］.Computers and Structures.2013，119:85－94.

［11］Eftekhari S A，Jafari A A.High accuracy mixed finite element－Ritz formulation for free vibration analysis of plates with general boundary conditions［J］.Applied Mathematics and Computation，2012，219:1312－1344.

［12］张安付，盛美萍，赵芝梅，等.基于傅里叶级数展开的多跨耦合板功率流研究［J］.振动与冲击，2013，32(14): 103－108.

ZHANG An－fu，SHENG Mei－ping，ZHAO Zhi－mei，et al.Power flow analysis of a multi－span coupled plate using Fourier series expansion［J］.Journal of Vibration and Shock，32(14):103－108.

［13］Li W L，ZHANG Xue－feng，DU Jing－tao，et al.An exact series solution for the transverse vibration of rectangular plates with general elastic boundary supports［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，321:254－269.

Vibration features of four-palace type coupled platesw ith elastic boundary restraints

ZHANG An－fu，SHENGMei－ping，MA Jian－gang
(School of Marine Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China)

Here，the vibration response of in－plane four－palace type coupled plates was studied.A method to calculate the vibration of coupled plates with elastic edges was proposed.Based on balance conditions and continuity conditions of coupling positions，the boundary coupled equations of four－palace type coupled plateswere established.The improved Fourier serieswere used to express the bending vibration displacement functions of these plates，and they were substituted into boundary coupled equations and equations ofmotion of these plates，then these differential equationswere converted into simpler linear algebraic equations，so the natural frequencies，modal shapes and displacements of coupled plateswere solved conveniently.The presented theoreticalmodel and method were verified with the finite element software ANSYS.Using the presented theoretical model，the effect of boundary damping of elastic constraints on the vibration response of coupled plateswas analyzed.The results showed that the boundary damping of lateral constraints can reduce lower order resonance responses significantly when the lateral constraints have smaller stiffness values.Using the obtained displacements of plates，the expressions of power flow for coupled plates were derived，and then the vibration power flow transfer characteristics of coupled plateswere simulated.The results showed that increasing restraint stiffness of edges can effecively hinder the power flow to flow along edges，and the power flow tends to flow into the accepted platewith the same material as that of the excited plate when the outernal excitation frequencies are the lower order resonance ones.

four－palace type coupled plates;power flow;elastic boundary restraints;boundary damping

O326;TB532

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.034

2014－07－21修改稿收到日期:2014－12－30

张安付男，博士，1986年生

盛美萍女，博士，教授，博士生导师，1970年生邮箱:smp@nwpu.edu.cn