基于B－L气动模型的旋转水平风机叶片经典颤振稳定性分析

李迺璐，穆安乐，Balas M J

(1.扬州大学水利与能源动力工程学院，江苏扬州225127;2.西安理工大学机械与精密仪器工程学院，西安710048 3.美国安柏瑞德航空航天大学航空学院，美国32114)

基于B－L气动模型的旋转水平风机叶片经典颤振稳定性分析

李迺璐1，穆安乐2，Balas M J3

(1.扬州大学水利与能源动力工程学院，江苏扬州225127;2.西安理工大学机械与精密仪器工程学院，西安710048 3.美国安柏瑞德航空航天大学航空学院，美国32114)

研究旋转水平轴风力机叶片周期时变气弹系统的经典颤振稳定性特性。叶片结构采用具有挥舞和扭转耦合的典型界面振动模型，引入Beddoes－Leishman气动模型为旋转叶片提供低攻角处周期时变的非定常气动力;为了研究颤振边界，利用标量风速和挥舞/扭转固有频率比对所建立的旋转叶片气弹模型进行变型。在此基础上，通过时域响应曲线分析旋转叶片挥舞自由度和扭转自由度气弹稳定性特性，分析了标量速度，叶片刚度，挥舞/扭转固有频率比和结构阻尼的影响，揭示了旋转叶片经典颤振边界的变化规律且其准确性得到验证。

旋转风机叶片;经典颤振;气弹模型;稳定性

近年来世界各国对绿色能源的需求导致大型风机的装机容量不断上升。随着机型的增大，风力机叶片展向长度也随之加大。目前兆瓦级的叶片尺寸都＞30 m，因此在惯性力、弹性力和复杂气动负载力耦合作用下，叶片会出现颤振现象。经典颤振问题是研究大型风力机叶片安全稳定运行的一个重要问题。水平风力机叶片的经典颤振发生在叶片运行低攻角状态的势流中，为气流流动基本附着无明显分离情况下，风机叶片扭转自由度和挥舞自由度产生的自激振荡［1］。由于颤振分析研究涉及叶片结构，叶片周围复杂非定常气动力以及叶片流固耦合等一系列复杂困难的问题，大部分经典颤振研究都集中于叶片定常气动力的颤振分析研究［2－4］。目前引入非定常气动力的叶片经典颤振研究也局限于叶片气弹系统在静态点的颤振特性研究。任勇生等［5］针对非时变叶片气弹系统，采用特征法画出根轨迹曲线来分析叶片颤振稳定性，Kallesoe［6］也采用特征值和特征向量来分析静态攻角下的叶片气弹特性。而目前针对旋转风力机叶片的研究又大多集中于复杂叶片结构方程式的求解和线性化［7－9］，或是基于风洞实验的叶片气动力特性。

因此本文基于标量化的挥舞/扭转振动界面，引入Beddoes－Leishman非定常气动模型为旋转叶片在低攻角处提供周期时变非定常势流气动力，研究旋转风机叶片动态时变气弹系统的经典颤振稳定性特性。该研究分析了标量风速，挥舞扭转固有频率比，叶片刚度和结构阻尼对旋转叶片气弹稳定性的影响，揭示了旋转动态叶片经典颤振边界的变化规律。

1 周期时变气动力方程

1.1 Beddoes-Leishman气动模型

Beddoes－Lesihman(B－L)模型不仅可以描述叶片的气动失速特性，还可以描述叶片在势流中的气动特性。在本文中此模型用来计算旋转叶片在势流中的周期时变非定常气动力。B－L气动力模型方程如下［10］:

式中:x1，x2，x3，x4为四个气动模型状态量，前两个方程式(x1，x2)为动态势流特性，后两个方程式(x3，x4)为动态气流分离特性。αE为有效攻角，fst为静态气流分离点。α0为静态升力系数为零时的攻角，b1，b2，A1，A2分别为时间迟延和幅值常量。Tu，Tp，Tf为时间常量，由此为基础非定常气动力系数可表示为:

1.2 周期时变势流气动力模拟

在对NACA0012叶片进行风洞实验得到静态气动系数实验数据的基础上，定义势流中低攻角为幅值变化［2o，8o］的正弦曲线，利用Beddoes－Lesihman模型计算出旋转叶片周期时变的非定常气动力。本文利用Matlab/Simulink进行仿真和模拟(见图1)。图1(a)显示了动态气动升力的时域响应，可以发现随着攻角的周期性变化，气动负载升力也为周期性变化曲线;图1 (b)显示了动态气动升力与攻角的关系。图1中虚线为静态气动升力风洞实验数据，实线为动态非定常气动升力，攻角周期性变化范围在线性区域内，表示叶片旋转持续工作在势流中，此时完全没有分离流的影响。计算出的动态升力系数偏离静态值较小，基本呈线性变化，符合势流中的旋转叶片气动特性并可用于经典颤振研究。

图1 旋转叶片非定常气动升力Fig.1 Unsteady aerodynamic lift of the rotating blade

2 旋转叶片气弹方程

图1所示旋转叶片的振动运动包括挥舞和扭转，分别由挥舞弯曲位移h和扭转偏移角度θ来表示。b为叶片截面的半弦长，重心与弹性轴的距离为xθb，叶片的振动受制于弯曲力Qh和扭转力Qθ(见图2)。

图2 叶片截面结构模型Fig.2 The structuralmodel of the blade section

两自由度挥舞－扭转耦合的结构模型运行方程可表示为［12］:

式中:m为叶片截面的质量，Iθ为关于弹性轴的质量矩，Ch，Cθ为结构阻尼系数，Kh，Kθ为挥舞，扭转弹簧常量。弯曲力Qh和扭转力Qθ表示为:

式中:ρ为空气密度，V为相对风速，Cl，θ，Cm，θ为旋转叶片的气动升力和气动力矩系数。定义无纲量挥舞弯曲位移为h=h/b，标量风速V*=V/(bωθ)，Ch=2ζhωhm，Cθ=2ζθωθIθ，Kh=ωh2m，Kθ=ωθ2Iθ，其中ζh，ζθ为挥舞和扭转的临界阻尼系数，ωh，ωθ为解耦的旋转叶片挥舞和扭转固有频率，定义rθ2=Iθ/mb2，结构式(3)，式(4)可表示为:

式中:M为马赫数，μ=m/πρb2，ωh/ωθ为旋转叶片挥舞/扭转固有频率比，Cl，θ，Cm，θ为B－L模型计算的旋转叶片非定常气动力。由于非定常气动力为周期时变函数，此旋转叶片的气弹方程为周期时变系统。

3 数值分析

数值计算的主要参数基于旋转叶片翼型NACA0012［12］，m=12.387 kgm－1，b=0.135 m，xθ= 0.246 6，ρ=1.225 kg/m3，M=0.3。根据建立的旋转叶片气弹系统方程，本文研究标量速度，结构阻尼，叶片刚度，固有频率比等对旋转叶片经典颤振稳定性特性的影响，以及对颤振边界的特性进行分析。

3.1 颤振速度判定

首先不考虑结构阻尼的情况下，研究在不同的无纲量风速V*下叶片截面挥舞和扭转自由度的气弹稳定性特性。给定参数ωh/ωθ=0.2，无纲量旋转叶片扭转固有频率ωθ=1，ζh=ζθ=0。通过不断增加V*值，直到挥舞响应和扭转响应中至少有一个开始出现不稳定震荡即判断对应的V*值为颤振速度。图3显示了给定不同V*值的旋转叶片截面气弹系统的时域响应。结果显示V*在［1，7］区域内旋转叶片的扭转自由度是处于临界稳定的，挥舞颤振发生在V*=7.1，此时扭转响应曲线开始出现不稳定震荡;而此时旋转叶片的挥舞自由度并没有出现明显的不稳定震荡现象。这说明扭转振动相对挥舞振动随风速的变化更敏感，此模型参数下的旋转叶片经典颤振速度为V*=7.1。当V*=9大于颤振速度时，挥舞和扭转响应曲线的不稳定震荡更加严重。Bruining［13］中采用半经验模型为叶片提供气动负载，与此结构模型参数类似，处于低攻角的静态叶片在V*=4时保持稳定，在V*=8时气弹不稳定。因此，判定的颤振速度V*值是符合叶片经典颤振气弹特性的，其准确性得到验证。

图3 挥舞/扭转颤振时域响应曲线Fig.3 Time－domain responses of flapwise and torsional deflection

3.2 叶片刚度影响

考虑叶片刚度的影响，保持标量风速V*=9和挥舞扭转固有频率比ωh/ωθ=0.2不变，增加旋转叶片挥舞固有频率和扭转固有频率。图4显示了不同叶片刚度下的旋转叶片颤振响应曲线。图中虚线表示参数ωθ=1，ωh=0.2(刚度较小)对应的响应曲线，实线表示参数ωθ=2，ωh=0.4(刚度较大)对应的响应曲线。由图4可见，当固有频率增大时，挥舞自由度的不稳定震荡变为稳定震荡，扭转自由度的不稳定震荡幅值明显减小，提高了旋转叶片的稳定性;随着固有频率的增加，挥舞震荡幅值相较扭转震荡幅值减少的更明显。由此可知，刚度较大的旋转叶片稳定性更好并且挥舞颤振可以得到更为有效的抑制。

图4 不同叶片刚度下的颤振响应曲线Fig.4 Vibration responses based on different blade stiffness

3.3 叶片阻尼影响

保持其他参数不变，不同叶片阻尼因素对应的旋转叶片挥舞/扭转弯曲响应曲线(见图5)。随着结构阻尼的增加，颤振响应可以从临界稳定达到渐进稳定，当结构阻尼进一步增加时，颤振幅值也随着减小，同时达到稳定的时间也大大缩短。由此可见，结构阻尼可以明显改善旋转叶片经典颤振的气弹稳定性。

3.4 挥舞/扭转固有频率比影响

考虑叶片挥舞和扭转固有频率比的影响，保持其他参数不变，增加旋转叶片的挥舞和扭转固有频率之比，通过不同固有频率比下的系统时域响应曲线分析来确定其颤振速度。图6显示了固有频率比ωh/ωθ在［0.5，1.5］区域内旋转叶片的挥舞和扭转响应曲线。由图可见，随着ωh/ωθ的增加，挥舞自由度和扭转自由度由临界稳定变为不稳定震荡最后又回到稳定震荡，说明ωh/ωθ的变化对于挥舞自由度和扭转自由度都有较大的影响。同时扭转自由度在ωh/ωθωh/ωθ值为［1，1.5］区域内时域响应由发散震荡变为衰减震荡，说明在这个区间内固有频率比的变化对扭转自由度有着非常大的影响。结果表明，挥舞/扭转固有频率比的变化对于挥舞/扭转自由度稳定性影响都比较大，同时扭转自由度更为敏感。

图5 不同叶片阻尼下的颤振响应曲线Fig.5 Vibration responses based on different blade damping

图6 不同固有频率比下的颤振响应Fig.6 Vibration responses based on different ratio between flapwise and torsional natural frequencies

3.5 颤振边界特性

为了研究不同固有频率比下旋转叶片的稳定性及旋转叶片经典颤振边界的特性，利用时域曲线稳定性分析ωh/ωθ=0.2，0.5，1.25，1.5，4.0时对应的旋转叶片的颤振临界速度V，临界叶片刚度ωθ和临界结构阻尼ζh，ζθ。颤振临界速度的计算分析基于参数ωθ=1，ζh=ζθ=0;临界刚度的计算分析基于参数V*=2，ζh= ζθ=0;临界阻尼的计算分析基于参数ωθ=1，V*=8。由表1可知，在固有频率比较低时，如［0.2，1.25］区域内，颤振速度随着固有频率比的增加而减小;而在固有频率比较高时，如［1.5，4］区域内，颤振速度随着固有频率比的增加而增加。在ωh/ωθ值为1.5时，具有最小的颤振速度为V=2.2。因此，旋转叶片经典颤振边界随着固有频率比的增加会先降低再升高，并且会在中间某个位置达到最小值。说明旋转叶片在挥舞和扭转固有频率比值较低或较高时的气弹稳定性较好，随着低固有频率比的增加和高固有频率比的减小，旋转叶片的气弹稳定性都会降低。此结论与Theodorsen［14］稳定边界的变化趋势一致，说明了所建模型的准确性。同时在风速较小并不考虑结构阻尼影响的情况下分析叶片临界刚度，当固有频率比＜1(扭转固有频率较高)时，随着扭转固有频率的减小，需要较高的刚度来保证叶片颤振扥稳定性;当固有频率比＞1(挥舞固有频率较高)时，较高的挥舞固有频率就可以保证稳定性而不需要较高的叶片刚度。最后，考虑风速较大时固定叶片刚度下的临界结构阻尼，阻尼边界受固有频率比的影响和刚度边界类似，但是阻尼边界值普遍较小，说明结构阻尼有很好的颤振抑制作用，特别当挥舞固有频率明显高于扭转固有频率时，结构阻尼取任意值都是稳定的。

表1 旋转叶片颤振边界Tab.1 Flutter speed of the rotating w ind turbine blade

4 结论

本文基于标量化的叶片截面结构模型和B－L气动模型，针对周期时变的旋转水平轴风力机叶片气弹系统进行了经典颤振稳定性分析研究。利用时域曲线分析颤振速度，其准确性进行了验证。结果表明，刚度较大的旋转叶片有较好的气弹稳定性;结构阻尼可以有效的抑制旋转叶片颤振的发生;挥舞扭转固有频率比对扭转自由度和挥舞自由度的稳定性影响都比较大。颤振边界的研究表明，旋转叶片在固有频率比较低和较高的时候有良好的气弹稳定性，在中间值域内气弹稳定性会变差;较高的扭转固有频率仍然需要一定的叶片刚度和结构阻尼来保证旋转叶片的颤振稳定性，而具有较高挥舞固有频率的叶片则对刚度和结构阻尼要求较低。

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Classical flutter stability of rotating horizontal w ind turbine blades based on B-L aeroelasticmodel

LINai－lu1，MU An－le2，BalasM J3
(1.School of Hydraulic，Energy and Power Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225127，China;
2.School of Mechanical and Precision Instrument Engineering，Xi'an Technology University，Xi'an 200215，China; 3.Aerospace Engineering，Embry－Riddle Aeronautical University，FL 32114，USA)

Classical flutter stability of a rotating horizontal axiswind turbine blade as a periodic，time－varying and aeroelastic system was studied.The structuralmodel of the bladewas a classic vibration system with 2－DOF(flapwise and torsional blade oscillation)，and periodic time－varying aerodynamic loads were offered with Beddoes－Leishman dynamic model at the low angle of attack.The normalized structural model was used to analyze the effects of normalized wind velocity，blade stiffness，ratio between flapwise and torsional natural frequencies and blade damping on the aeroelastic stability of the rotating blade.The flutter boundary was found to reveal the characteristics of classic flutter of the rotating blade.

rotating wind turbine blade;classic flutter;Beddoes－Leishman;stability

V211.47;TK8

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.030

江苏省高校自然科学研究面上项目(14KJB480006);教育部留学回国人员科研启动基金资助项目;扬州大学科技创新培育基金(2014CXJ028);国家自然科学基金(51075326);美国能源部项目(DESC0001261)

2014－07－25修改稿收到日期:2014－10－17

李迺璐女，博士，副教授，1985年生