基于隶属度函数模糊弹塑性本构模型的研究

王喜刚，扶名福

(1.南昌大学工程力学研究所，南昌330031;2.辽宁科技学院资源与土木工程学院，辽宁本溪117004)

基于隶属度函数模糊弹塑性本构模型的研究

王喜刚1，2，扶名福1

(1.南昌大学工程力学研究所，南昌330031;2.辽宁科技学院资源与土木工程学院，辽宁本溪117004)

为了解决循环加卸载问题，将隶属度函数和模糊截集引入到塑性屈服函数中，并采用米塞斯屈服准则，将屈服函数模糊化，推导得到了模糊弹塑性本构模型。随着隶属度值的变化，该模型的弹塑性界面能连续过渡，且表达式简单，加卸载路径明了;利用该模型对钢桥面板在循环荷载作用下进行了分析，并通过有限单元法得到了数值解。通过分析发现，模糊弹塑性模型通过隶属度的演化能代替硬化规律，能很好地反映循环加卸载过程，是解决循环加卸载作用下弹塑性连续过渡的一种有效途径。

隶属度函数;米塞斯;弹塑性;钢桥面板;有限单元法

在经典塑性理论中，循环加卸载问题一直是一个比较棘手的问题，即便是比较简单的塑性模型，并且在小变形情况下，问题的解答也是很麻烦的。主要原因在于完成一次循环过程需要多个数学表达式，循环加卸载路径不明确，并且要进行复杂的计算。在经典塑性理论中，弹性状态到塑性状态的过渡是不连续的，是非常突然的，在采用有限元法等计算机程序算法时出现间断。而实际的受力物体在荷载的作用下弹塑性状态应该是连续过渡的，弹性状态到塑性状态的过渡是没有间断的，所以整个受力物体没有绝对的弹性或塑性，而只能表现出不同程度的弹塑性。经典塑性理论是无法解释这些现象的。

国内外学者解决该问题的方法大体可以分为两大类，①采用没有屈服面的本构理论，Bodner等［1］基于位错力学提出了一个弹黏塑性统一模型，这一模型假设不存在屈服条件，不指定加载和卸载条件，可以在加载和卸载的任何时刻使用相同的公式，可以反应加卸载过程。Valanis［2］提出了没有屈服面的内时理论，认为塑性和黏塑性材料内任一点的现实应力状态，是该点邻域内整个变形和温度历史的泛函，内时理论由内变量表征材料内部结构的不可逆变化。其在较复杂的非均匀应力应变场的计算和实际应用方面有很大的发展前景。②采用有屈服面的弹塑性本构理论，Zadeh详细地介绍了模糊数学的概念，并且在相关领域取得了很好的效果;Yao在结构可靠性分析中引用了模糊数学理论;Klisinski［3］提出的把模糊数学应用到塑性力学理论;扶名福等［4－6］建立并论证了模糊弹黏塑性本构模型及其解的唯一性和存在性，对静力学中弹塑性的连续过渡问题进行了研究。

模糊弹塑性理论能很好地描述循环加卸载和弹塑性的连续过渡问题，应用模糊集和模糊截集研究塑性力学问题可以给出比其他模型更加有效的数学和力学解释。在前人研究基础上，以经典弹塑性理论为基础，把模糊集和模糊截集引入到考虑应变率效应的本构模型中，推导得到了更加一般形式的考虑应变率效应的弹黏塑性本构模型，该模型能很好地解释受力物体弹塑性的连续过渡，并能保证物质导数的连续性，使得该模型在计算中不出现间断。模糊弹塑性理论循环加载数学表达式简单，加卸载路径明了，计算简单。尤其是在循环荷载作用下模型更加灵活和有效，能有效解决循环荷载往复加卸载过程中的弹塑性响应问题。

1 模糊屈服函数

屈服条件(f=0)是材料从弹性进入塑性的判断准则，设传统屈服面内的区域为一个模糊集C，这个模糊集代表了屈服面内的弹性区域，设弹性区域构成论域∑。

设C是屈服面内弹性区域∑的一个模糊子集，则对于任意的应力张量σ∈∑，总有一个隶属函数μC(σ)∈［0，1］，我们称μC(σ)为σ对C的隶属程度，其映射关系为:

称μC为模糊集C的隶属度函数，它表示了材料应力状态弹性行为的隶属程度，μC在整个应力范围内为一连续函数，在模糊域上任意σ总有一与其相关的隶属函数μC(σ)∈［0，1］当σ落在屈服面以内(f＜0)时，μC(σ)∈［0，1］，μC(σ)的大小表明了该应力状态隶属于弹性区域的程度;当σ落在屈服面以上或者屈服面以外(f=0)时，此时μC(σ)∈［0，1］，说明该应力点隶属于弹性区域的程度为零，即此时应力状态进入了塑性区域。

设传统屈服函数的屈服极限为K，则模糊屈服极限函数可表示为:

相应的屈服函数f*=f*(σ，K*)称为模糊屈服函数。当μC(σ)=λ时，λ为隶属度函数的某一个具体数值，比如可以是0.2等。相应的模糊屈服函数为:

C对应的模糊屈服面)和f=0(隶属度μC(σ)=1对应的模糊屈服面)两个曲面之间的一个曲面;f=0就是我们通常认为的屈服面，此时σ在屈服面上;对于任意的λ∈(0，1)，其对应的σ都落在自己对应的模糊屈服面f=0上。

为了使模糊集C更加清楚的显现其本质，利用截集的概念，令:

式中:Cλ为隶属度μC(σ)＞λ对应的所用应力点的集合;Cλ为模糊集C的λ截集，显而易见，Cλ与模糊屈服函数是一一对应的。对于任意的λ1，λ2∈［0，1］，如果λ1＜λ2，则模糊屈服函数=0所形成的区域包含模糊屈服函数=0所形成的区域。。

图1 模糊塑性屈服面Fig.1 Fuzzy plasticity yield surface

2 模糊弹黏塑性本构模型

2.1 应变率效应

最早研究考虑应变率效应本构模型的是Hohenemser和Prager利用黏塑性材料的比拟方法得出了如下关系式:

若考虑弹性分量，则率形式本构模型可表示为:

在此研究基础上，Perzyna将上述理论进行了改进，其关系式如下:

函数Φ(f)的形式一般根据实验来确定，常用的主要形式有:

在非弹性应变速度中，既包括塑性应变速度，又包括黏性应变速度。这种将塑性和黏性统一起来处理问题的方法，不仅便于考虑应变率效应对本构模型的影响，而且使得计算更加简单，因此在塑性力学中得到了广泛应用［7－9］。

2.2 本构模型

采用米塞斯屈服准则，相应的模糊屈服函数可以写为:

式中:α为模型参数;

式(15)即为米塞斯屈服准则的模糊弹黏塑性线性形式的本构方程。

2.2 隶属度函数

Klisinski提出的模糊集塑性理论，与传统的弹塑性理论对比，它可以利用塑性隶属度函数来表示传统弹塑性理论中复杂的硬化规律，传统模型中硬化规律需要复杂的数学解析表达式表示，尤其是在循环荷载作用情况下更加复杂。而隶属度函数可以利用一个简单的几何图形演化来表示复杂的塑性硬化规律。

在模糊塑性理论中，在经典屈服面f＜0应力空间中的每一个应力点都与一个塑性隶属度函数值μC(σ)一一对应，隶属度数值在［0，1］之间变化，隶属度函数值的大小取决于某一点应力状态上的第二偏应力不变量J*2的大小，在π平面上可用该应力点到经典屈服面的距离来表示，这一距离与塑性隶属度值一一对应。

在一个循环荷载作用下，塑性隶属度的演化规律可是代替硬化规律表示整个循环加卸载过程。隶属度的演化规律可以有很多种，我们可以利用隶属度函数方便地表示一个循环加卸载过程，而不再采用复杂的硬化规律。

图2为一个由隶属度和应力组成的模糊锥面，表示了循环加卸载过程与隶属度之间的关系，应力路径为: ABCOEDCOFB，即:首先从零荷载沿AB路径加载，再沿模糊屈服面BC卸载到零，通过模糊屈服面中心CAO(应力为零)后再沿OE方向加载，然后中性变载沿ED，继而沿模糊屈服面DC卸载到零，再一次通过CAO(应力为零)后沿OF再正向加载，进而中性变载沿FB达到B。这样一个加卸载过程通过隶属度函数的演化就完成了，不用再使用复杂的硬化规律。

经典弹塑性模型塑性应变见图3，而模糊弹塑性理论其塑性应变见图4。

通过图3和图4说明，经典塑性应变的产生是要满足屈服条件，而模糊弹塑性理论塑性应变产生并不需要条件，塑性应变的大小受到塑性隶属度函数μC(σ)大小的影响而已。

图2 模糊锥面Fig.2 Fuzzy cone

图3 经典模型塑性应变Fig.3 Plstic strain of classic model

图4 模糊模型塑性应变Fig.4 Plstic strain of fuzzymodel

隶属度函数μC(σ)的取法应符合式(1)以及上述模糊理论，应力空间中的任何一点应力状态，都对应一个模糊屈服极限K*，为了满足式(2)，模糊屈服极限K*可取为:

式中:β为材料参数;模糊屈服极限K*应满足:

每一种塑性模型的隶属度函数都可以按照塑性极限K和模糊塑性极限K*之间一一对应的关系来选取，

这里我们取μC(σ)为下式:

式(18)的定义是合理的，当我们选择通常意义下的屈服面，此时μC(σ)=1，对应的模糊屈服极限K*［K，μC(σ)］=K，模糊屈服函数极为通常意义下的屈服函数，即f*=f，从这里也可以看出，模糊屈服函数f*包含通常意义下的屈服函数f，通常意义下的屈服函数f只是模糊屈服函数f*的一个特例。

当β=1时隶属度函数为线性演化规律(见图5)。当β为其它数值时，其演化规律为非线性，β的数值可通过具体材料的简单试验确定。

将式(16)代入式(15)可得到隶属度函数表示的模糊弹黏塑性本构方程:

3 实例应用分析

模型有限元网格见图5［11］。

为了确定隶属度函数中参数β，选取该种材料进行单轴荷载试验，试件尺寸见图6。

图5 有限元网格Fig.5 Finite elementmesh

图6 试件尺寸Fig.6 Specimen size

采用压缩试验机进行单轴压缩试验并采集试验数据，不同β值对应的数值结果与试验结果对比见图7。

图7 β与塑性应变关系曲线Fig.7 Relationship curves betweenβand plastic strain

从图7可知，选取本构参数β=1时与试验结果吻合较好，所以选取本构参数为β=1。

利用模糊弹塑性本构模型对钢桥面板进行分析，为了研究同一点随时间变化的结果，取受载点处应力进行研究，其结果见表1。表1对应的对比结果见图8。

表1 受载点处不同时间应力对比表Tab.1 Table of Stress at different times

分析表1和图8可知，随着荷载的变化，塑性隶属度值不断变化，且与应力状态一一对应，模糊弹塑性理论得到的结果与经典模型结果较接近，说明我们可以利用模糊弹塑性理论中塑性隶属度的演化来代替经典模型中的硬化规律;模糊弹塑性中利用隶属度的变化，可以方便地表示循环加卸载过程。

图8 不同时间应力对比Fig.8 Stress of different time

当μC(σ)=6%、26%、77%时，塑性应变云图见图9。

图9 塑性应变云图Fig.9 Cloud of plastic strain

从图9可知，模糊弹塑性理论结果的塑性是连续变化的，通过隶属度的连续变化可以代替经典理论中复杂的硬化规律。

为了研究同一时刻不同位置处应力的变化，取距离受载点顺桥向每0.1 m处的应力进行研究，对比结果见表2和图10。

表2 t=4时不同位置应力对比表Tab.2 Table of Stress at different position

由表2可知，同一时刻，随着距加载点距离的增大，塑性隶属度不断变小，应力值不断变小，模糊弹塑性结果与经典结果较接近;这样，在同一时刻不同位置处的应力变化就可以通过该点对应的隶属度来表示(见图10)。

图10 隶属度与应力关系曲线Fig.10 Relationship curves betweenμC(σ)and stress

通过上述分析可知，模糊弹黏塑性本构模型能利用隶属度简单的演化代替复杂的硬化规律，能很好地反映循环加卸载过程，对循环荷载作用下的分析是适合的，并且经典弹黏塑性分析结果也包括在该模型中，即:经典结果只是该模型的一个特例。利用模糊弹黏塑性本构模型有效解决循环加卸载作用。

4 结论

将隶属度函数和模糊截集引入到弹黏塑性本构模型中，并采用米塞斯屈服准则，推导得到了考虑应变率效应的模糊弹黏塑性本构模型，并对钢桥面板受循环荷载作用下问题进行分析，利用有限单元法，得到了该问题的的数值解;

通过分析发现该模型通过隶属度函数的演化能代替经典模型中的硬化规律，能很好地适应循环加卸载过程，非常适合循环荷载作用下的分析，说明模糊弹黏塑性本构模型在解决循环荷载分析是有一定应用价值的。

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［11］庄茁.ABAQUS非线性有限元分析与实例［M］.北京:科学出版社，2005.

Constitutivemodel of fuzzy elastoplasticity based on membership functions

WANG Xi－gang1，2，FU Ming－fu1
(1.Center of Engineering Mechanical Experiment，Nanchang University，Nanchang 330031，China;
2.College of Resources and Civil Engineering，Liaoning Institute of Science and Technology，Benxi117004，China)

Membership functions and fuzzy cut sets were induced into a plastic yield function to solve cyclic loading－unloading problems.Von Mises yield criterion was adopted to deduce the fuzzy plastic yield function.Taking the strain rate into consideration，the fuzzy elastic－plastic constitutivemodelwas obtained.Itwas shown that the elastic－plastic interface of thismodel can transit continuously with the changes in themembership，themodel is simple in expression and clear in route of loading and unloading.A steel panel under the action of cyclic loading was analyzed with themodel，its numerical solutionswere obtained using the finite elementmethod.It was shown that the cyclic loading and unloading process can be simulated well with the proposed model and it is an effective way to solve the consecutive elastic－plastic problem under cyclic loading.

membership function;Von Mises;elastoplasticity;steel panel;finite elementmethod

O345

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.020

国家自然科学基金(11362016)

2015－01－30修改稿收到日期:2015－05－29

王喜刚男，博士，讲师，1981年生

扶名福男，博士，教授，博士生导师，1953年生