带有q距离的向量Ekeland变分原理

付科程

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

带有q距离的向量Ekeland变分原理

付科程

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

基于变分原理的形式和空间的多样性，研究了带有q距离的向量Ekeland变分原理在分离序列完备一致空间中的一些重要应用.

向量Ekeland变分原理；q距离；分离序列完备一致空间

众所周知，Ekeland变分原理在数学非线性分析理论中有着非常重要的地位，它在非线性分析、全局控制优化理论、向量均衡问题、临界点理论与博弈论等诸多领域中有着十分重要的意义和作用.许多学者对Ekeland变分原理从空间和表达形式上进行了推广，得出了各种类型的Ekeland变分原理.基于此，研究了在分离序列完备一致空间中，带有q距离的向量Ekeland变分原理及其一些应用问题.

1 预备知识

定义1［5］设X是一个分离一致空间，有一个实值映射P：X×X→0，+∞[)满足以下条件：

2)对任意序列{yn}⊂X，若满足p(yn，ym)→0(m＞n→∞)，则称{yn}为柯西列，p(yn，y)→0等价于yn→y；

3)p(z，x)＝0且p(z，y)＝0，则x＝y，对每个x，y，z∈X，称p为p距离.如果条件2)变为更弱的条件2*)：对任意序列{yn}⊂X，若满足p(yn，ym)→0(m＞n→∞)是柯西列，且在X内，p(yn，y)→0包含着yn→y，则称p为q距离.

引理1［2］Y是拓扑向量空间，K⊂Y是一个闭凸锥，ko∈K－K，定义非线性标量化函数ξko：Y→R∪{+∞}

则函数ξko(y)有以下几种性质：

(i)ξko(y)为真；

(ii)ξko(y)下半连续；

(iii)ξko(y)次线性；

(iv)ξko(y)为K－单调(即y1≤ky2，ξko(y1)≤ξko(y2))；

定义2Y是拓扑向量空间，K⊂Y是一个闭凸锥，则关于K的预序“≤K”有如下定义：∀y1，y2∈Y，有y1≤Ky2当且仅当y2－y1∈K.

定义3函数f：X→Y∪{∞}被称为关于序列p下单调的，如果序列{xn}⊂X满足xn→且f(xn+1)≤Kf(xn)，∀n∈N，则有f(¯x)≤Kf(xn)，∀n∈N.

定义4设(X，U)是一致空间，p是q距离，f：X→Y∪{∞}关于≤K的下单调特征函数(如果dom f＝{x∈X，f(x)∈Y}≠∅)(X，U)关于(p，f)序完备，如果在X中有一个序列{xn}满足p(xn，xm)→0(m＞n→∞)，f(xn+1)≤Kf(xn)，∀n∈N，则∃¯x∈x，使得

2 主要结果

［1］ADAN M，NOVO V.Proper Efficiency in Vector Optimization on Real Linear Spaces［J］.J Optim Theory Appl，2004(121)： 515－540

［2］DE D G.Figueiredo the Ekeland Variational Principle with Applications and Detours［M］.Tata Institute of Fundamental Research，Bombay，1989

［3］BEDNARCZUK E M，PRZYBYLA M J.The Vector－valued Variational Principle in Banach Spaces Ordered by Cones with Nonempty Interiors［J］.SIAM J Optim，2007(18)：907－913

［4］CHEN G Y，YANG X Q，YU H.Vector Ekeland’s Variational Principle in an F－type Topological Space［J］.Math Meth Oper Res，2008(67)：471－478

［5］QIU J H，FEI H.P－Distances，Q－Distances and a Generalized Ekeland’s Variational Principle in Uniform Spaces［J］.Acta Mathematics sinica English Senies，2012(2)：235－254

［6］GOPFERT A，TAMMER CHR，ZALINESCU C.On the Vectorial Ekeland’s Variational Principle and Minimal Points in Product Spaces［J］.Nonlinear Anal，2000(39)：909－922

［7］LIN L J，DU W S.On Maximal Element Theorems，Variants of Ekeland’s Variational Principle and Their Applications［J］.Nonlinear Anal，2008(68)：1246－1262

［8］QIU J H.Ekeland’s Variational Principle in Locally Complete Spaces［J］.Math Nachr，2003(257)：55－58

［9］LIN L J，DU W S.Some Equivalent Formulations of the Generalized Ekeland’s Variational Principle and Their Applications［J］.Nonlinear Analysis，2007(67)：187－199

［10］BIANCHI M，KASSAY G，PINI R.Existence of Equilibria via Ekeland’s Principle［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005(305)：502－512

Vector Ekeland’s Variation Principle With q Distance

FU Ke-cheng

(School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Based on the diversity of variation principle in form and space，this paper researches some important application of vector Ekeland’s variation principle with q distance in complete uniform space of separation sequence.

Vector Ekeland variation principle；q distance；complete uniform space of separation sequence

0176

A

1672－058X(2015)04－0032－04

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0004.009

2014－08－06；

2014－09－25.

付科程(1989－)，男，重庆潼南人，硕士研究生，从事向量优化理论及应用研究.