条件C下的伪不变单调准则
2015-05-16潘正涛向丽娟刘晓静
潘正涛，向丽娟，刘晓静
(1.重庆师范大学数学学院，重庆 401331；2.重庆师范大学图书馆，重庆401331)
条件C下的伪不变单调准则
潘正涛1，向丽娟，刘晓静2
(1.重庆师范大学数学学院，重庆 401331；2.重庆师范大学图书馆，重庆401331)
在条件C下，推导出伪不变凸单调与严格伪不变凸函数之间的关系.
伪不变凸；广义不变凸；条件C
广义凸在数学、管理科学、工程学、经济学和最优化理论等领域中都发挥着重要的作用，不变凸函数和不变凸单调又是研究广义凸性的重要组成部分，文献［1－5］研究了关于广义不变凸与不变凸单调，文献［3］在条件C下，建立了伪不变凸单调与伪不变凸函数之间的关系.此处在条件C下，推导出伪不变凸单调与严格伪不变凸函数之间的关系.
1 预备知识
设Γ是Rn中的非空子集，η：Γ×Γ→Rn的向量值函数，F：Γ→Rn的向量值函数，θ：Γ→R上可微函数.
定义1［3］称集合Γ是关于η不变凸的，若存在η：Rn×Rn→Rn，使得对任意x，y∈Γ，λ∈［0，1］，有
定义2［3］设Γ⊆Rn是关于η不变凸的，称F：Γ→Rn是关于η在Γ⊂Rn上的严格伪不变单调，如果对任意不同的两点x，y∈Γ，有
定义3［1］设Γ⊆Rn是开集，函数θ：Γ⊆Rn→Rn映射，有
(a)称θ是伪不变凸单调函数，若存在η：Γ×Γ→Rn，使得对任意x，y∈Γ⊆Rn，有
(b)称θ是严格伪不变凸单调函数，若存在η：Γ×Γ→Rn，使得对任意x，y∈Γ⊆Rn，x≠y，有
条件C［3］设η：X×X→Rn，则对任意x，y∈Rn，且对任意λ∈［0，1］，有
注：由条件C，有
事实上，很容易通过以下证明得到
2 主要结果
定理1若
1)Γ⊂Rn是关于η的开不变凸集；
2)η满足条件C；
4)▽θ是关于η在Γ上的伪不变凸单调.
则θ是关于η在Γ上的严格伪不变凸函数.
证明设x，y∈Γ，x≠y，有
需要证明
反证法：假设
式(7)与式(2)矛盾，因此θ是关于η在Γ上的严格伪不变凸函数.
［1］RUIZ GARZON G，OSUNA－GOMEZ R，RUFIAN－LIZANA A.Generalized Invex Monotonicity［J］.European Journal of Operational Research，2003(144)：501－512
［2］YANG X M，YANG X Q，TEO K L.Criteria for Generalized Invex Monotonicities［J］.European Journal of Operations Research，2005(164)：115－119
［3］YANG X M，YANG X Q，TEO K L.Generalized Invexity and Generalized Invariant Monotonicity［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2003(117)：607－625
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［5］张其茂.一类B－预不变凸目标规划的最优性充分条件［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2009，30(6)：522－525
Quasi－invex Monotone Norm Under Condition C
PAN Zheng-tao1，XIANG Li-juan，LIU Xiao-jing2
(1.College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China 2.Library，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)
Under condition C，this thesis presents the relationship between quasi－invex monotone and strict quasi－invex functions.
quasi－invexity；generalized invex；Condition C
O177
A
1672－058X(2015)04－0018－02
10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0004.005
2014－07－28；
2014－09－25.
潘正涛(1989－)，男，重庆长寿人，硕士研究生，从事向量优化理论及应用研究.
