一类生成的Kadison－Singer格

李小奎，程乐乐，向玉玲，陈本菊

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

李小奎，程乐乐，向玉玲，陈本菊

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

研究了矩阵代数Mmn()中不变子空间投影格生成的Von Neumann代数″；证明了是生成Mmn()的Kadison－Singer格；并通过格的关系图给出了的Hasses关系图.

Kadison－Singer格；Kadison－Singer代数；矩阵代数

算子代数的产生可以追溯到20世纪20年代末，当时Von Neumann(冯·诺依曼)建立了非自伴算子谱理论以后，于1929年引入了“算子环”的概念，后来被人们称之为Von Neumann算子代数.此类代数是在Hilbert空间上对伴随运算封闭，并且在强算子拓扑下闭的算子代数.之后几十年，Von Neumann代数的三角子代数以及套代数［1，2］和自反代数等相继产生.

近几年来，葛力明、袁魏［3，4］研究了一类非自伴代数，他们称之为Kadison－Singer代数(也称为KS代数).这类代数是自反的，因此一方面它可以由其对应的自反子空间格来完全决定，另一方面这类代数和它们所对应的子空间格所生成的Von Neumann代数又密切相关，这使得可以利用Von Neumann代数的结构和运算的性质来研究自反子空间格上的相应理论.

文献［5］证明了无限维可分Hilbert空间上的极大套在某个秩投影下的单点扩张是个KS格；文献［6］证明Hilbert空间上的套在某个秩投影下的单点扩张是个KS格；文献［7］在以上结论的基础上，推广到Hilbert空间⊕中结论也成立.受文献［7］及以上作者的启发，此处将证明文献［7］的结论推广到一般的Hilbert空间⊕…⊕中，结论仍然成立.

1 基本概念及术语

现在将回顾Kadison－Singer代数的基本概念及术语.设为可分的复Hilbert空间，()为上有界线性算子全体所构成的集合.相应地，设是()的子集，记(())为其中全体投影，用Lat()= {P∈(())：(I－P)AP=0，∀A∈}表示的不变投影格，其在强算子拓扑下是闭的.对于()中的正交投影Γ，用Alg(Γ)={A∈()：(I－P)AP=0，∀P∈Γ}表示使得Γ中每个正交投影都不变的有界线性算子所构成的代数.特别地，如果＝Lat(Alg())则称是自反格.设是()的代数，如果＝Alg (Lat())，则称是()的自反子代数.中的套是指包含零算子0和恒等算子I的投影的全序族，并且套在强算子拓扑下是闭的.

定义2设是()的投影格，

定义3设是()的投影格，称

定义4设是()的投影格，并且是生成Von Neumann代数″的最小自反格，如果Alg()是Kadison－Singer代数，则称是Kadison－Singer格(也称为KS格).

定义5设为Hilbert空间上的Von Neumann代数，为的一个投影格，若满足：

定义6［8］设是Banach空间上的一个子空间格，E∈，定义：

(1)E－＝∨{F∈：EF≠E}，0－＝ 0；

(2)E#＝∨{F∈：EF－≠E}.

定理1［8－10］设是Banach空间上的一个子空间格，则下列条件等价：

(2)E＝E#，∀E∈.

2 主要结论

设Eij表示第i行第j列位置上的元素为1，其他位置全为0的矩阵，令

其中Im表示H上的恒等算子；0，I分别表示H上的零算子和恒等算子.记为

计算可得

再由AX＝XA得到

结论2是生成Von Neumann代数Mmn()的一个自反格.

证明是生成Von Neumann代数Mmn()的一个自反格，只需证明∀P∈，都有P＝P#即可.由定义5以及定理1知是完全分配格，从而是自反格.

结论3是生成Von Neumann代数Mmn()的Kadison－Singer格.

证明只需证明是极小生成Mmn()的即可，即如果0⊆是自反格，并且0生成Von Neumann代数Mmn()，则当且仅当0＝，因此只需证明0是由投影0，Ak，A，Fl，F，I所生成的自反格，其中k＝1，2，…，m；l＝1，2，…，n－1.

图1 的Hasses关系图

［1］DAVODSON K R.Nest Algebras，Pitman Research Notes in Mathematics Series［M］.New York：Longman Scientific＆Technical，1988

［2］RICHARD Y，KADISON，JOHN R.On Some Algebra of OperatorsⅡ［M］.New York：Proc London Math Soc，1966

［3］GE L M，YUAN W.Kadison－Singer AlgebrasⅠ［J］.Proc Natl Acad USA，2010(5)：1838－1843

［4］GE L M，YUAN W.Kadison－Singer AlgebrasⅡ［J］.Proc NatL Acad USA，2010(11)：4840－4844

［5］WU W M，YUAN W.On Generators of Abelian Kadison－Singer Algebras in Matrix Algebras［J］.Linear Algebras and Its Application，2014(1)：197－205

［6］REN Y H，WU W M.Some New Classes of Kadison－Singer Lattices in Hilbert Spaces［J］.Science in China Mathematics，2014，57(4)：837－846

［7］胡长流，宋证明.格论初步［M］.郑州：河南大学出版社，1999

［8］鲁世杰，陆芳言，李鹏同，等.非自伴算子代数［M］.北京：科学出版社，2004

A class generates Mmm()Matrix Algebras of kadsion－Singer Lattices

LI Xiao-kui，CHENG Le-le，XIANG Yu-ling，CHEN Ben-ju

(College of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

This paper reseavches Von Neumann algebra″generated by invariant subspace latticeof mantrix algebra Mmm()，and provesthatis Kadison－Singer lattice generated by Mmm()，and gives thediagram of Hasses.

Kadison－Singer lattices；Kadison－Singer algebra；matrix algebra

O177.1

A

1672－058X(2015)04－0006－06

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0004.002

2014－05－13；

2014－10－08.

李小奎(1987－)，男，云南昭通人，硕士研究生，从事算子代数研究.