数学探究教学根植教材的三个视角

洪丽敏

美国著名的未来学家阿尔福·托夫勒在《未来的冲击》中一针见血地说：“21世纪的文盲不再是目不识丁的人，而是不会学习的人！”可见，教育倡导培养会探究、会学习的学生，教师的首要任务是要有所教、有所授。而教材是学生学、教师教的直接载体，也是进行数学探究教学的重要载体。本文以人教A版2-1为例，以圆锥曲线为切入口，谈谈挖掘教材、践行探究的三个视角。

一、关注概念本质，螺旋上升

概念教学是解析几何教学的基础，也是一个难点。椭圆、双曲线的定义紧扣的是“两定点，一定值”，抛物线则是“一点一直线”，虽然教材在呈现它们定义时都采用“具体操作”直观说明定义，但是，教师也不能忽视对直观表面后的数学本质进行阐释。如双曲线中的“拉链”问题，教师要引导学生关注“拉链”变化中的“变与不变”，如图1，当拉链由N处拉开到M处时，“变”的是|MF1|，|MF2|（|MF1|=|NF1|+|MN|，|MF2|=|NF2|+|MN|），“不变”的是|MF1|与|MF2|的差（|MF1|-|MF2|=|NF1|-|NF2|为定值），同时要引导学生体会其中隐含的“等量”的思想。

波利亚说过：“一个恰当的例题胜过一打理论。”这表明教师在引导学生建构数学概念的时候，如果能够举出一个既揭示数学概念本质又通俗易懂的例题，那么这个例题则胜过教师对概念“空对空”的很多遍重复解释。教师使用恰当的例题，能够降低其概念的抽象程度，突出概念的实质，有助于学生建构数学概念的意义[1]。三种圆锥曲线有很多方面可进行类比，因此，教师可通过题组变式探究的形式，让学生辨认，揭示“形异”背后的“神同”，加深理解概念本质。

例1（第50页B组第2题）一动圆P与圆O1：x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆O2：x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心P的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

解：设动圆的半径为R，则|O1P|=R+2，|O2P|=10-R，∴|O1P|+|O2P|=12

则动圆圆心P的轨迹是以O1，O2为焦点，长轴长为12的椭圆，轨迹方程为+=1。

我们可以改变两圆的不同位置关系或半径，观察动圆圆心P的变化。

变式1：一动圆P与圆O1：（x+3）2+y2=4内切，同时与圆O2：（x-3）2+y2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

变式2：一动圆P与O1：（x+3）2+y2=9外切，同时与圆O2：（x-3）2+y2=1外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

变式3：一动圆P过点A（3，0），且与直线l：x=-3相切，求动圆圆心P的轨迹方程。

通过三个变式，可以看到随着两圆的位置关系或半径的不同，动圆圆心的轨迹也会随之而“变”，但“不变”的是它们的处理方法，都是紧扣两圆（或点圆）的位置关系，都围绕着一个共同的主题——圆锥曲线的定义。

同时，虽然课程标准对圆锥曲线的统一定义已不做要求，但教材却在例题上逐渐渗透，因此在章节复习时，教师可以引导部分学有余力的学生回顾、对比、总结。如第47页例6（椭圆）、第59页例5（双曲线）、第76页阅读与思考“圆锥曲线的离心率与统一方程”。

这样，通过如此的“螺旋上升”、“逐步深化”的探究，学生对三种圆锥曲线定义的理解也将日益加深，更清楚其定义背后的“定点、定值”的内涵。

二、挖掘例题习题，提升能力

教材中的例题都是典型的，具有一定的代表性，例题教学是决定教学效果的重要环节。教师可以从一个简单例题出发，在不断改变例题背景或条件的基础上，展开讨论，同时结合学生的学情（如学段、基础等）最大限度地发掘一道例题的功能。

例2 （人教A版第80页A组第11题）在抛物线y2=4x上求出一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短。

解：方法一：设直线l：x-y=t，联立方程有x2-2（t+2）x+t2=0，由△=4（t+2）2-4t2=0得t=-1，则最短距离d==，此时把t=-1代入可求得P（1，2）。

方法二：设P（x，y），则有y2=4x。此时点P到直线y=x+3的距离    ，故当P（1，2）时，最短距离为。

（1）纵横联系，比较异同

对比课本第47页例7：已知椭圆+=1，直线l：4x-5y+40=0。椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

评注：通过对比，可发现解决“求圆锥曲线上一点到已知直线的最短距离”的通性通法为“切线法”，即通过平移直线，使其与该圆锥曲线相切。不同的是，抛物线也常转化为二次函数的最值问题，椭圆则常可借助参数解决。

（2）改变条件，辨认选择

变式1：在抛物线y2=4x上求出一点P，使得点P与点A（-3，0）的距离最短。

解：方法一：|AP|==，所以当P（0，0）时，距离最短为3。

方法二：由图2，考虑抛物线的对称性，所以当P（0，0）时，距离最短为3。

评注：方法一是处理两点间距离的一般的方法（即通性通法），而方法二则紧扣几何特征，数形结合，小巧玲珑。

（3）探索推广，以点带面

变式2：在抛物线y2=4x上求出一点P，使得点P与焦点F（1，0）的距离最短。

分析：受上述方法二的影响，学生易得当P（0，0）时，距离最短为1。

变式3：在抛物线y2=4x上求出一点P，使得点P与点A（a，0）的距离最短。

分析：受上述两个问题的影响，多数学生认为当P（0，0）时，距离最短为|a|。事实果真如此吗？

解：|AP|==，

当a-2<0即a<2时，取P（0，0）时，距离最短为3;

当a-2≥0即a≥2时，取P（a-2，±2）时，距离最短为2。

（4）改变背景，追本溯源

变式4：若抛物线y2=4x与动圆C：（x-a）2+y2=1没有公共点，求实数a的取值范围。

解：方法一：联立方程有x2+（4-2a）x+a2-1=0，其在x∈[0，+∞）内没有实数根，设

f（x）=x2+（4-2a）x+a2-1，则△≥0，-<0f（0）>0或△<0，解得a<-1或1<a≤或a>，综上，实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）。

方法二：圆心C（a，0），半径r=1，则|PC|==，

由条件结合图3，可知|PC|min>r。

当a<2时，|PC|min=|a|>1，解得a<-1或a>1，故a<-1或1<a<2;

当a≥2时，|PC|min=2>1，解得a>故a≥2;

综上，实数a的取值范围为（-∞，1）∪（1+∞）。

评注：方法一利用坐标法，把几何问题转化为代数问题，属解析几何问题解决的通性通法，但应该看到其解题过程的代数处理相对复杂;方法二则紧扣解析几何“形”的一面，把问题转化为|PC|min>r。

（5）感悟高考，类比迁移

（2014高考福建卷第9题）设P，Q分别为x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（   ）

解：如图4，问题转化为求椭圆上的点Q到圆心C（0，6）的最大距离圆的半径r=。设Q（x，y），则

从而P，Q的最大距离为    ，故选D。

评注：解析几何的核心思想是坐标法，但是，解析几何首先有几何“形”的一面，数形结合同样是解析几何的一个重要思想。因此，在教学上教师要培养学生良好的解题习惯：条件图形化（即准确画出曲线图形）;条件、结论代数化（即对条件、结论的几何特征分析，把几何特征用代数表示）;条件、结论融合化（即寻求合适的计算途径，用代数方法解决几何问题）。可见，圆锥曲线问题的解决常利用“形”转化，再用“数”解决。

三、重视阅读材料，拓宽视野

高中数学教科书开辟了“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目。其内容或是渗透数学文化，弘扬数学精神;或是延伸教材内容，完善知识体系;或是联系生活实践，开拓学生视野……教师应当正确认识到教材中阅读材料的地位和作用，挖掘其深层次内涵，发挥其应有的教育教学功能[2]。

例3 （选修2-1第43页“探究与发现”——为什么截口曲线是椭圆）如图5，虽从几何直观上告诉我们用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆。但是其原因对多数学生来说有一定的挑战性。教学中教师要注重其原理的揭示（类比圆得到球的切线性质AB=AF，AC=AE，∴AE+AF=AB+AC=BC），同时要提供机会让学生操作，如图6，“用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，你能仿照上述方法，证明截口曲线也是椭圆吗？”如图7，类比图5可得以证明。

同时，借助图7，让学生明白，切点E，F恰为椭圆的焦点，底面圆恰为椭圆在底面上的投影，因此椭圆的短轴长恰为底面圆直径2r，设椭圆面与底面所成角为？琢，则椭圆长轴长2a=，进一步揭示了椭圆与圆的关系。

为了加深理解，教师可以设置相应题目加以强化。比如：（2011年高考湖北理14）如图8，直角坐标系xoy所在的平面为？琢，直角坐标系x′oy′（其中y′轴与y轴重合）所在的平面为？茁，∠xox′=45°。

（Ⅰ）已知平面内有一点P′（2，2），则P′点在平面？琢内的射影C的坐标为_____;

（Ⅱ）已知平面？茁内的曲线C′的方程是（x′-）2+2y'2-2=0，则曲线C′在平面？琢内的射影C的方程是_______。

有效教学提倡“用教材”而不是“教教材”。“用教材”要求教师把教材当作素材，根据实际情况对教材进行灵活的调整、重组、拓展而后组织教学，“用教材”是基于教材而又不拘于教材的一种教学主张。

数学探究教学作为一种有效的教学模式，只有根植于教材的开发，才可以焕发生命力，才能真正提高教学效率。

参考文献

[1] 沈威，涂荣豹.探悉数学例题教学的规律[J].教学与管理，2009（7）.

[2] 杨苍洲，林少安.基于教材的教学延伸策略[J].数学通讯，2014（8）.

【责任编辑   郭振玲】