磁场中的破碎凝聚态

张杰，侯雪

（太原理工大学 物理与光电工程学院，山西 太原 030024）

0 引言

玻色－爱因斯坦凝聚体（BEC）中的破碎凝聚态现象［1］，由于其反映的是系统的对称性破缺、量子相变以及角动量守恒等物理本质，一直以来都是人们关注的焦点［2－3］。它的内涵是指系统的单粒子密度矩阵不仅仅只有一个宏观量级的本征值，而是有可能有两个或多个。最近在实验上关于BEC中的破碎凝聚体特性也有突破性进展，在单阱中观察到了空间中一团BEC实现了破碎并分裂成两部分的现象［4］。本文主要考察F＝1旋量BEC中的破碎凝聚态现象。区别于空间破碎凝聚态［1］，它的破碎性质反映的是系统内部量子关联性质的突变，除了由单粒子密度矩阵刻画之外，还必须由宏观量级的量子涨落刻画［5－6］。只是受磁场的影响时，量子涨落会迅速消失，破碎凝聚态转变成对称性较低的普通粒子数态。在自旋自由度被释放之前［7］，人们研究的破碎凝聚态主要是指由于光晶格的切割，导致束缚在双阱或多阱中形成的小型BEC 或者是在高速旋转之下由标量BEC形成的破碎凝聚态［9］。直到MIT的Ketterle组在光偶极阱中制备出Na原子的旋量BEC使得自旋自由度得以释放之后，人们发现旋量凝聚体在自旋交换相互作用参数为负的情况下，系统的基态自发地实现了破碎凝聚体［6］。这种现象的本质是系统内原子自旋的守恒，只是这种大量原子形成的自旋单态非常脆弱，任何可以破坏自旋旋转对称性的外部扰动都会使其立刻消失。后来人们发现上述三种情况下的破碎凝聚态可以用统一的数学定义式描述［1，10］。对于自旋F＝1的旋量BEC系统来说，原子间相互作用描述为：

其中β表示的是原子间的自旋交换作用，它的正负号决定了系统是铁磁态BEC（β＜0）还是反铁磁态BEC（β＞0），也就是说破碎凝聚态自发存在于β＞0的体系中。

基于最近实验上Na原子（属于反铁磁anti-ferromagnetic）和Rb原子（属于铁磁ferromagnetic）形成BEC混合物的成功实现［11］，本文将研究由铁磁原子和反铁原子形成的混合物BEC中的破碎凝聚态现象。我们发现铁磁原子形成的BEC由于其基态是所有原子取向一致且比较稳定，可以视作一个均匀磁场背景。而反铁磁原子BEC在铁磁原子构成的这种背景下，其行为和纯的反铁磁原子BEC有很大的不同。由于不同种类间的原子之间也有自旋交换相互作用的缘故，反铁磁原子受到外磁场和铁磁原子的双重影响，其破碎凝聚态特性有许多新奇效应。

1 自旋混合物哈密顿量

我们考虑的两种自旋F＝1的原子组成的混合物系统其有效哈密顿量包含三部分［12－13］，表示为＝＋＋。其中，分别代表两种原子内部同种原子间的相互作用，＾H12则是异核原子间的相互作用。如果外加磁场，混合物哈密顿量的最一般形式为，

其中β1＜0代表铁磁原子，β2＞0代表反铁磁原子。β，γ是不同种原子间的相互作用参数。c1，c2，和c12是积分常数且为正，反应的是BEC的体积以及其中包含的粒子数大小，可以通过调节束缚光阱的频率来调节。p1，p2表示的是磁场对系统中两种原子分别的一阶塞曼效应。γ项的贡献通常比较小，对于87Rb和23Na这两种原子的混合物，我们可以采用 DIA（degenerate internal-state approximation）近似［14－15］，即只考虑原子最外层价电子对相互作用的贡献，这时候后正好使得γ＝0。最终我们可以得到系统和磁场相关的哈密顿量，

1β1｜为单位，其中，M是第一种原子的总质量，a0，a2是粒子间的散射长度，可以决定相互作用的正负号。

2 结果与讨论

2.1 磁场中的粒子数分布

首先介绍两种原子在磁场中各自的特点。为了方便，我们取p＝c1p1＝c2p2，这可以通过调节c1，c2实现。如图1所示，当异核原子间的相互作用取作c12β＝2.5时，两种原子对磁场的反应有很大不同。铁磁原子（ferromagnetic）对磁场的反应比较敏感，在磁场很小的时候，处在三个能级上的原子就很快重新分布，并且几乎全部集中到n1能级上，如图1（a）中的虚线。而另外两个能级上没有占据，表现为n0＝0，n－1＝0，如图1（b），图1（c）中的虚线。其含义是系统中所有的铁磁性原子全部处在自旋向上的态上，使得铁磁原子BEC中的磁化强度（m1＝n1－n－1）达到饱和。对于反铁磁原子则不同，反铁磁原子BEC的磁化强度有一个由负到正的反转过程。表现为随着磁场的增大，n1上的原子逐渐增加且n－1上的原子逐渐减小，如图1中的实线。另外，我们发现n0的行为非常特别。在磁场增大的过程中，在一个特殊的点附近n0上的粒子数突然增到N2／3这一值。同时，另外两个能及上的粒子也突变到这个特殊的值，即n1＝n0＝n－1＝N2／3。这一现象说明混合物系统中的反铁磁原子和铁磁原子行为有很大的不同。另外，由于反铁磁原子中n0这一特殊的精细能级的存在，它在磁场中的行为可以有效反映系统中铁磁原子和反铁磁原子之间的自旋耦合相互作用的特征。图2展示了异核原子自旋耦合相互作用参数取不同值的时候，反铁磁原子中n0上的粒子数分布随磁场的变化情况。

Fig.1 Dependence of atom numbers on p at fixed values of c1β1＝－1，c2β2＝2 and c12β＝2.5.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The number of particle are N 1＝N 2＝40.Dashed and solid lines denote the number distributions in the ferromagnetic and anti-ferromagnetic condensate respectively图1 系统的基态相图随c12β的变化情况，其中参数c1β1＝－1，c2β2＝2，c12β＝2.5取作固定值，所有的相互作用参数以｜c1β1｜为单位，两种粒子的粒子数分别取N 1＝N 2＝40。图中虚线和实线分别代表铁磁原子和反铁磁原子的粒子数分布

2.2 磁场中破碎凝聚态的回归

由上一节的讨论可知，反铁磁原子的行为值得研究，尤其是它受到磁场和铁磁原子的双重影响。图2中实线反应的是纯的反铁磁原子形成的BEC中n0上的粒子数分布随磁场的变化情况。之前的研究已经表明［6］，纯的反铁磁原子形成的BEC在没有外场的时候形成的是所谓的超级破碎凝聚态［6］（super-fragmented state），粒子数分布为n1，0，－1≈N2／3，如图2中实线在p＝0的那个点上。由于其高度对称性和不稳定性，使得稍微有一点外部扰动就会破坏这一特性。这种不稳定性数学上描述为各精细能级上的粒子数涨落很大，达到宏观的量级～N。当受到磁场的扰动时，自旋0分量上的粒子数分布n0会随着磁场的增大由宏观量级～N降低到低于10的量级。文献［6］给出了n0随磁场强度的变化关系：

其中m2＝n1－n－1代表反铁磁原子系统中的磁化强度，和外加的磁场强度成正比。随着磁场的增大，分母上的m2如果达到宏观量级（～N2），则有n0≈N2／2m2－1／2会迅速降低到10的量级。图2中的实线是我们通过严格对角化求出的结果，和数值结果一致。超级破碎凝聚态之所以是n1，0，－1＝N／3这样的粒子数分布，是因为其反映了系统总自旋守恒这一特性。当外部磁场作用于系统时，超级破碎凝聚态变成了一种比较普通的破碎凝聚态，只有n1和n－1上有粒子数分布，且粒子数涨落也变得很小。对任何破坏自旋旋转对称性扰动都会导致上述效果，所以在常规实验中便不可能实现或者观察到超级破碎凝聚态。

Fig.2 Dependence of atom number n0 in the antiferromagnetic BEC on p at fixed values of c1β1＝－1，c2β2＝2.The inter-species interaction c12βtakes four representative values.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The numbers of the particle are N 1＝N 2＝40.图2 系统中反铁磁原子的粒子数分布n0随p的变化情况，其中参数c1β1＝－1，c2β2＝2，取作固定值。异核原子间的相互作用c12β取代表性的四个值。所有的相互作用参数以｜c1β1｜为单位，两种粒子的粒子数分别取N 1＝N 2＝40。

当系统中掺杂有大量铁磁原子时（c12β≠0），我们将有可能在外部磁场存在的情况下得到超级破碎凝聚态。从先前的研究［16－17］中可以知道，对于铁磁原子的物理特性，平均场方法是有效的。在平均场方法框架下，混合物中大量原子凝聚在一起会产生一个玻色增强的效应，如果是铁磁性原子，则可以同时形成一个有效磁场。故（4）式中的哈密顿量可以化简为，

接下来，我们考查数量不等的混合物情形。图4标出了当不同种原子间耦合参数c12β取定值2.5，两种粒子的粒子数分别取为N1＝20，N2＝100时的临界点的位置。我们取铁磁原子数偏少，表示我们主要以反铁磁BEC为研究对象，铁磁性原子作为引入的特殊条件。平均场绘景对铁磁原子的描述同样适用，当粒子数分布n1，0，－1≈N2／3出现时，我们可以在图4中得到关键点p＝2.5×20，这一结果和图中的数值结果一致。量子涨落关系满足Δn0＝2Δn±1，在此点上的数值结果同样与前人预言的纯反铁磁凝聚态的代数结果［6］完全一致。由于特殊粒子数分布N／3的出现可以看作是达到这一相变的标志，如果我们记录此时的磁场的大小，再根据关系式p＝c12βN1，就可以通过临界磁场估算核间自旋耦合相互作用c12β的大小。

2.3 磁场中的AA相

Fig.3 Dependence of atom numbers and fluctuations on c12β and p at fixed values of c1β1＝－1 and c2β2＝2.This column only shows the results of anti-ferromagnetic atoms.When the extra magnetic field parameter p（in the units of｜c1β1｜）increases，there are several critical points associated with c12β.All interaction parameters are in the units of｜c1β1｜.图3 当c1β1＝－1、c2β2＝2取作定值时，粒子数分布和涨落随磁化参数p和c 12β的变化关系。两种粒子的粒子数分别取为N 1＝N 2＝40。图中只展示了反铁磁原子的情况。当外磁场p增大时，不同的c12β取值对应的不同的特殊点。所有的相互作用参数都以｜c1β1｜为单位。

Fig.4 Dependence of atom number distributions and number fluctuations in the anti-ferromagnetic condensate on magnetic coefficient p at fixed values of c1β1＝－1，c2β2＝2 and c12β＝2.5.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The number of particle are N 1＝20，N 2＝100.Black solid，red dash-dot，and blue dashed lines denote atom numbers and the fluctuations on the 1，0，and－1 sub-levels respectively.图4 当c1β1＝－1，c2β2＝2，c12β＝2.5取作定值时，反铁磁凝聚态的粒子数和粒子数涨落随磁场参数p的变化。两种粒子的粒子数分别取为N 1＝20，N 2＝100。黑色实线、红色点虚线和蓝色虚线分别代表精细能级1、0、－1上的原子数和涨落。所有相互作用的参数均以｜c1β1｜为单位。

AA相是另外一种超级破碎凝聚态，在无磁场的情况下已经被预言［9］。它是一种大量粒子形成的自旋单重态，它明确要求两种原子的粒子数相等（N＝N1＝N2），并且两种原子互相排斥到完全相反的极化方向上。在角动量表象下通常混合物态表示为，而AA相可以进一步表示为｜φAA〉＝｜N，N，0，0〉，其中F1、F2和F分别为铁磁原子、反铁磁原子、两种原子混合物的自旋量子数，m1、m2和m为相应的z轴分量。AA相要求｜N，m1〉和｜N，m2〉同时应该服从m1＋m2＝0的约束条件。AA相的一个有趣的特点是原子平均分布在六个分量上，且满足宏观粒子数涨落。应用严格对角化的全量子方法，考虑全空间中包含的所有可能得系统磁化m＝m1＋m2，我们研究了当N1＝N2＝40的AA相对于外部磁场的响应，并且同纯的反铁磁原子超级破碎态［6］的结果进行了比较。

Fig.5 Dependence of atom numbers on p at fixed values of c1β1＝ －1，c2β2＝2 and c12β＝2.5.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The number of particle are N 1＝N 2＝40.Black dashed and red solid lines denote the number distributions in the ferromagnetic and polar condensate respectively.图5 当c1β1＝－1、c2β2＝2取做定值时，处于反铁磁凝聚态的原子数分布n1，0，－1随磁化参数p和c 12β的变化。两种粒子的粒子数分别取为N 1＝N 2＝40。黑色实线、红色虚线和蓝色虚线分别代表次能级1、0、－1上的原子数。所有相互作用的参数以｜c1β1｜为单位。

图5中，我们描述的是两种典型的破碎凝聚态：异核原子纠缠形成的自旋单态｜φAA〉和纯的全同反铁磁原子形成的自旋单态｜φpure〉。这两种相的相互作用参数分别为c12β＝4.5和c12β＝0。我们发现n0分量对于磁场的反应完全不同。图5a描述的是磁场对纯反铁磁凝聚态的影响。随着p的增大，处于0分量的粒子数n0（红色虚线）迅速下降，与代数结果一致。图4b描述的是磁场对处于AA相中的反铁磁原子的影响。我们发现一开始的时候n0没有迅速下降，相反，它首先增加且在一定范围内保持一个很高的值（甚至大于n1）。与纯反铁磁自旋单重态相比，核间纠缠单重态似乎更难磁化。随着互作用参数c12β的增大，反铁磁原子被逐步排列在与铁磁原子相反的方向，直到最后所有的反铁磁粒子完全和铁磁原子相反。这是刚好的情况，这是由铁磁凝聚体形成的有效磁场背景将会被全部被抵消。大于相变点时，系统将自发变成高度对称的破碎凝聚态。这时两种粒子的磁性行为将完全相同（虽然原子质量不同），并且当磁场强度增强时，铁磁原子和反铁磁原子将一起被逐步磁化。与图4a中的纯单重态相比，相关的需要磁化的原子总数翻了一倍，所以至少磁场强度要在p～400时才能将总的磁化强度达到饱和。通过追踪反铁磁原子n0分量的原子数随外部磁场的变化，可以用来区分述这两种自旋单重态的特征。

3 结论

应用严格对角化的全量子方法，我们研究了铁磁原子和反铁磁原子组成旋量凝聚体混合物受磁场影响的情况。线性塞曼效应和原子间自旋耦合相互作用存在着竞争，故会导致相变。混合物中反铁磁凝聚体的三个塞曼能级上的粒子数分布，以及大的真空涨落是值得研究的内容。我们指出，反铁磁凝聚体的破碎性质可以通过磁场p、光阱频率c12、掺杂的铁磁原子数目N1来调节。铁磁凝聚体可以为延迟量子涨落的迅速缩减和“捕获”超级破碎凝聚态提供一个均衡稳定的背景。通过研究，我们发现，如果不同种原子间自旋耦合相互作用为正（c12β＞0），则可以有效地使不同种原子发生纠缠；但当c12β＜0时，异种原子的行为基本独立。我们提出了一种可以通过磁场来有效测量核间自旋耦合相互作用的方法，这种方法还可以区别这两种不同的多粒子自旋单重态。我们的工作将在Na和Rb混合凝聚物在实验中提供重要的参考，并对研究异核光缔合分子提供了一些有用的信息。

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