基于有限元法的某舵机齿轮模态分析

朱自清， 吴柯锐， 侯文， 刘立达

（1.中北大学 仪器科学与动态测试教育部重点实验室，太原 030051；2.空军驻山西地区军事代表室，太原 030024；3.豫西工业集团有限公司，河南 南阳 471002）

0 引 言

齿轮传动作为机械中主要的一类传动，在工程中得到了广泛的应用，这是因为齿轮传动效率高、结构紧凑而且传动比稳定。在齿轮工作时，由于外部激励的作用以及自身内部的热运动，齿轮将不可避免地发生振动。振动系统的固有特性，包括系统的固有频率和对应的主振型。在对振动系统动态特性的研究中，固有特性的研究是其基础，但是，在系统的初始设计阶段，固有特性的实验数据却不易获得。目前，为了获得齿轮固有特性的实验数据，大多是通过理论计算的方法得到，而在这些算法中，有限元分析法是最好的。

文章首先通过三维设计软件SolidWorks对齿轮进行三维建模，然后将模型导入到有限元分析软件ANSYS中进行齿轮模态的分析，进而得到了所设计齿轮的低阶固有振动频率和其对应主振型；然后结合外部激励的频率特性进行分析，表明所设计齿轮在正常工作情况下不会发生共振。

1 模态分析理论

模态分析是通过将结构的物理模型转化成模态模型，然后对其进行分析，得出结构的固有振动频率和振型。

根据理论力学的相关知识，能够得到系统的运动微分方程

式中：［M］、［C］和［K］分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；（x）、（x˙）和（x¨）分别为位移向量、速度向量和加速度向量；（F（t））为外力向量。

对系统的运动微分方程进行拉普拉斯变换，将振动方程从时域变换到频域，得

其中：（F（s））为激励向量；（x（s））为响应向量。

令 s=jω，然后引入模态坐标，令（x（s））=［φ］（q），［φ］为振型矩阵，（q）为模态坐标，则式（2）可以表示为

若无外力作用时，即（F（jω））=（0），即得到系统无外力作用时在频域的振动方程表达式，自由振动的频率和对应的振型即为系统的固有频率和固有振型；同时，在外力为零时，阻尼对整个系统的影响也不大，所以可以略去阻尼项，得到无阻尼的自由振动方程

其中 i=1，2，…，n。

作为一个多自由度振动系统，一般存在着n个固有频率和n个主振型，每一对频率和振型代表一个单自由度系统的自由振动［1］，这种在自由振动时结构所具有的振动特性称为结构的模态。

2 齿轮建模

2.1 建立实体模型

考虑到ANSYS软件自带建模功能的不足，我们选用三维CAD软件SolidWorks来建立齿轮的模型，然后通过格式的转换，导入到ANSYS中进行模态分析。实体齿轮的齿数z=28，模数m=0.5 mm，压力角为20°。建立的三维模型如图 1（a）所示。

图1

在建模过程中，需要注意以下几点：

1）为了减小ANSYS的计算量，同时对计算精度的影响不大的模型中的一些倒角、圆角进行了删除；

2）为了让在模型导入ANSYS后有效，在建模应注意保持实体特征的独立性，不能随意合并实体；

3）将SolidWorks中的实体模型保存为Parasolid格式，ANSYS 方可识别［2］。

2.2 建立齿轮有限元模型

将齿轮模型导入到ANSYS后，还需要进行一些操作之后才可显示所建立的实体模型，首先是显示控制的操作，PlotCtrls-Plot Reset Ctrls；然后再 Plot-Replot，显示结果如图1（b）所示。根据齿轮的材料可知，弹性模量E=210 GPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=7 900 kg/m3。 单元类型选择的Solid45。该单元由8个节点定义，每个节点有三个方向的自由度，具有塑性和大应变的能力［3］。然后对齿轮进行网格划分，采用自由网格命令进行划分，得到齿轮的有限元模型，如图2所示。

图2 齿轮有限元模型

2.3 载荷施加及求解

在进行模态分析时，只需对所求模型进行固定，所以，只需对齿轮施加自由度约束，约束的目标是齿轮内孔的六个面。模态提取的方法有Block Lanczos，PCG Lanczos，Reduced，Unsymmetric 等 ， 在 这 里 我 们 选 取Block Lanczos法，提取模态的数目和扩展模态的数目均为10。在求解完成后，通过通用后处理器POST1来查看ANSYS计算结果，得到其频率表，如图3所示。

图3 齿轮1-10阶固有频率值

2.4 结果后处理

在设置时，已经对模态进行了扩展，所以对求得的每一阶固有频率程序都同时求解了其对应的模态振型在齿轮各节点上的位移情况，通过采用ANSYS通用后处理器可以对各节点上的位移情况进行观察和分析。当齿轮的固有频率为54 214.9 Hz时，其主振型如图4所示，为一阶对折振；当齿轮的固有频率为68 863.2 Hz时，其主振型如图5所示，为二阶对折振；当齿轮的固有频率为71 447.5 Hz时，其主振型如图6所示，为圆周振动；当齿轮的固有频率为110 181Hz时，其主振型如图7所示，为三阶对折振。

图4 齿轮在1阶模态的主振型

图5 齿轮在4阶模态的主振型

图6 齿轮在5阶模态下的主振型

通过总结，将齿轮的低阶固有振型归纳如下［4］：

1）对折振：包括一阶对折振、二阶对折振……。主要表现为轴向出现规则波浪振型，在端面上为规则多边形振型，综合起来为结构扭曲型的对折振。

2）伞型振：轴向的振动表现为收缩伞状振型。

3）圆周振：轴向基本无振动，在端面上为圆周方向的振动。

图7 齿轮在7阶模态下的主振型

2.5 共振判断

在获得齿轮的固有频率之后，还需要知道外界激励的频率，这样才可以确定它们组合在一起是否会发生共振。

该齿轮的外界激励是由直流伺服电机所提供的，电机型号是S321B电磁式直流伺服电动机，其最大转速为3 300 r/min，折换成频率即为55 Hz，这远远小于齿轮的固有频率，所以在舵机的工作过程中，齿轮不会发生共振。

3结 论

1）通过三维建模软件SolidWorks对齿轮进行三维实体建模，然后利用有限元分析软件ANSYS对实体模型进行有限元建模及模态分析，克服了单一使用某种软件在建模速度、单元划分效果以及求解速度等方面的不足。

2）通过对齿轮的模态进行分析，得到了齿轮前10阶模态的固有频率及其相应的主振型；然后结合电机的工作特性，证明了在电机的正常工作条件下，齿轮不会发生共振，为舵机的动力学分析奠定了一定基础。

［1］ 叶友东，周哲波.基于ANSYS直齿圆柱齿轮有限元模态分析［J］.机械传动，2006,30（5）：63-65.

［2］ 徐春雨，陈刚，周渊键.基于 Solidworks和ANSYS某舵机齿轮装配体模态分析［J］.机械传动，2012,36（4）：81-83.

［3］ 孙鹏文，李建东，吴泰成，等.滚珠丝杠电动伺服机构齿轮的模态分析［J］.机械设计与制造，2009（5）：99-101.

［4］ 刘辉，吴昌林，杨叔子.基于有限元法的斜齿轮体模态计算与分析［J］.华中理工大学学报，1998（11）：75-77.