问题引导思维，探究贯穿过程——“点到直线的距离”教学设计及教学反思

☉江苏省启东市吕四中学 徐磊

问题引导思维，探究贯穿过程
——“点到直线的距离”教学设计及教学反思

☉江苏省启东市吕四中学 徐磊

一、教材、学情分析

本节课是人教新课标必修2第3章“3.3直线的交点坐标与距离公式”第2课时的内容，是点与直线位置关系由定性认识到定量分析的升华过程，是两点间距离的深入研究，也是直线方程和坐标法的一节应用课，同时又为后续学习两平行线间的距离、判定直线与圆的位置关系、求平面多边形的面积、推导抛物线的方程等做准备，承前启后.

该堂课的教学是在学生已经学习了函数、三角函数、解三角形、向量，以及直线方程的一般式、两点间距离公式等相关知识的基础上开展的.同时学生已经具备了一定的探究经验和解决问题的方法，可以借助已有知识，采用类比、化归的思想方法完成本节学习任务.

二、教学目标

1.知识与技能

记忆点到直线的距离公式，会用公式解决具体问题；通过公式的推导过程体会由特殊到一般、类比、化归的思想方法，形成知识的迁移能力.

2.过程与方法

问题是数学的核心，是学生学习的出发点，学习中学生总是“以问题为中心”的心理参与探究过程.本节以问题串的方式，引导学生的自主学习、合作探究、展示交流.

3.情感态度价值观

通过推导公式所采用的不同方法，体会知识间的内在联系，感受类比、化归思想方法在解决具体问题中的作用，培养学生的求异思维和创新意识，在求异推导中感受成功与失败的情感体验.

三、教学过程设计

活动一：创设情境，激发热情

例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状.

追问：如何求此四边形的面积？

设计意图：按课改理念的要求，教师的作用在于激发学生学习的积极性，提供现实而有吸引力的学习背景，激活学生已有的知识和经验，帮助学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动去“做数学”.学生通过判定出四边形ABCD为平行四边形后，为了求面积，则需求高，而高如何求解，正是本节课要解决的问题，由此激发了学习本节课的内驱力.

活动二：呈现题组，探究铺垫

例2思考并解答下列问题：

（1）分别求点（4，5）到直线x=2和y=-2的距离.

追问1：将直线一般化，如何解决？

（2）求点（x0，y0）到直线Ax+C=0的距离.

（3）求点（x0，y0）到直线By+C=0的距离.

追问2：将直线更一般化，如何求解？

（4）求点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离.

设计意图：遵循学生的认知规律，由特殊到一般，问题（1）～（3）通过由具体数值的计算到抽象字母的运算，降低了门槛，逐步提高研究的难度，有利于学生入手，树立攻坚克难的自信心.对于追问2的处理，学生先独立思考，再组织小组交流，由组长组织本组成员讨论各自解法，相互补充完善，最后推选出小组内最优解法代表小组进行展示交流，讲解解决问题的思路及具体解法.

活动三：不同视角，精彩探究

例3求点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离.

视角一：两点间的距离公式.

生1：如图1，过点P作PQ⊥l，求出垂线的方程，垂足Q的坐标（x，y），然后代入两点间的距离公式即可.

师：你会选择这种方法吗？你能准确地求出正确答案吗？

生2：这种方法思路清晰，但主要是字母运算，运算量大，我觉得慢慢求解应该能算出来.

学生开始运算，几分钟后，学生2展示其解题过程.

图1

师：这种方法运算量较大，但是它可以培养我们的运算能力.但我们还要有不断优化的意识，上面的过程可以优化吗？

教师提示从整体入手，学生陷入了思考.几分钟后，部分学生豁然开朗.

生3：把方程Ax+By+C=0改为A（x-x0）+B（y-y0）= -（Ax0+By0+C），与方程B（x-x0）-A（y-y0）=0联立，解得

师：很好！说明大家都爱动脑筋！

视角二：构造直角三角形.

借助推导两点间距离公式的方法，构造直角三角形，通过等面积或三角形相似推导.

师：此法在算法上虽优于视角一，但计算量仍较大，引导学生能否利用解三角形的知识求解？学生分析出直线l的倾斜角已知，则∠PMQ已知.

视角三：直线的法向量.

由法向量的知识可知，直线PQ是直线l的法线，其方向向量为n=（A，B），类比空间向量中点到面的距离的求法可解决.

视角四：函数的最值——借助柯西不等式.

师：设点D（x，y）是直线l上的任意一点，则PD2=（xx0）2+（y-y0）2，从函数的角度思考，即求它的最小值.如何求解？

生7：利用Ax+By+C=0代人消元，把二元函数转化为一元二次函数，最小值可求.

也有学生根据前面的整体思想，由A（x-x0）+B（y-y0）整体代入，使得运算得到了简化.

生8：由柯西不等式知（A2+B2）（（x-x0）2+（y-y0）2）≥（A（x-x0）+B（y-y0））2=（Ax0+By0+C）2，其中等号成立的条件是即B（x-x0）-A（y-y0）=0.故不等式显然可取等号，下略.

设计意图：在推导公式中，事先不给学生任何提示，不加任何限制，充分相信学生，为学生提供活动的时空，使学习主动自主地构建认知结构，在小组间的充分交流中得到相互启发，不断完善每个学生的认知结构，感受成功的喜悦和失败的教训，领悟在求异推导公式过程中的数学思想和方法，培养发散思维能力和乐于探索的精神，提高学生的数学素养.教师在活动中是组织者、帮助者、调控者，并适时恰当地评价学生，调动学生学习的积极性，激发参与课堂的热情.

活动四：实践运用，深化认识

例4求下列点到直线的距离：

设计意图：本题组主要是熟练公式的运用，有的是直线特殊，用公式的特例处理，如第（1）小题；有的是直接应用公式，如第（2）小题；有的是要求学生注意公式的特点和准确使用公式，如第（3）、（4）小题.此题组的训练是帮助学生巩固记忆公式，同时在应用公式时需注意把直线方程化成一般式.

例5（1）已知点A（2，1）到直线l：y=kx+2的距离为2，求k的值.

（3）已知点P（x，y）在直线l：2x+3y-6=0上，O为坐标原点，求|OP|最小时点P的坐标.

（4）在坐标平面内，与点A（1，2）的距离为1，且与点B（3，1）的距离为2的直线有多少条？

（5）求两平行线l1：x-2y+1=0与l2：x-2y-1=0的距离.

设计意图：本题组习题体现的是公式的逆用、变形用.一方面巩固所学的公式，另一方面检测学生灵活应用公式的能力.尤其第（5）小题，为推导两平行线间的距离做好铺垫.

活动五：总结规律，提升能力

通过这节课的学习，你知道点到直线的距离公式了吗？它的结构特征是什么？使用这个公式的前提条件是什么？这个公式用了哪些方法证明？你觉得哪种方法最简洁？你从中得到什么启发？

设计意图：明确本节学习内容，通过分析公式中分子分母的特征，帮助学生准确、快速记忆公式，通过明确公式的使用条件（直线方程应化成一般式），培养学生严谨的治学态度，另外通过公式的求异推导，提醒学生在复杂的运算中，要注意设计和选择算法，提高解题的效率和准确性.

四、教学反思

1.问题引领课堂，加强学生自主探究

有效的教学取决于有效的学习，对教师教学效果的评价应着眼于学生获得了什么，除了知识的获取外，更要注重学生学习能力、学习方法的变化.从这个意义上讲，教师不应该是知识的传授者，而应该成为学生学习的组织者、引导者.创设恰当的问题情境是引导学生积极思考的手段之一，高明的教师往往善于提出有价值的问题，引发学生思考、提问.本节课，在问题的引领下，学生成为学习活动的主体，探究出从不同视角证明点到直线的距离公式.有价值的问题要关注学生的认知特点，要从学生的“最近发展区”提出.问题的解决既不能让学生“唾手可得”，也不能“遥不可及”，而是让他们在解决问题的过程中达到一种“愤、悱”状态，能够“跳一跳，够得着”，体会学习的快乐，增强自信心.

2.数学课堂要关注学生的个人体验

传统的课堂教学模式中，教师在规定的时间内完成事先准备的内容，注重了知识的传输，对作为学习主体的学生关注不够，因而教学效率不高，学习的效果也不好.适合学生的教学才是有效的教学，关注学生成为有效教学的前提.课前，要关注新旧知识的联系，学生是否具备学习新知识的学习条件，是否具备了学习新知的“心向”；课上，要时刻关注学生的学习状态，包括学习的反应、情绪等，对出现的问题及时处理，调整自己的教学；课后，也要关注学生的反馈，包括作业、学生问题等.教学过程中，只有对学生全程关注，才能有针对性地设计教学，才是高效的课堂，才会是高质量的教学.