菲涅尔面积分的计算

张思卿， 张新好， 党宝军， 李九凌

(1北京理工大学信息与电子工程学院北京100191 2中国人民解放军94326部队济南250023)

引 言

Fresnel面积分是一个积分下限含有自变量的双重复指数积分，无法通过直接求解得到。多年来，国内外学者提出了许多近似计算方法［1～4］，其中文献［1，4］利用线积分的渐近展开式，给出了Fresnel面积分的近似计算，但其计算过程相当复杂、繁琐，在对角度γ1、γ2分类的基础上，还需对η值进行分类、判断，不便于工程应用。本文对文献［2，3］给出的Fresnel面积分计算公式进行详细推导和分析，基于Jacobi-Anger恒等式和Bessel函数的性质，提出了一种新的Fresnel面积分近似计算公式，并与文献［3～5］的结果进行对比验证。

1 Fresnel面积分的类型

由文献［6］可知，双雷达栅多路径传播损耗模型中的八个场分量，均含有Fresnel面积分

式中，q1、q2、u0、m和n均为实常数。I下标的正负号与m的正负号相对应，其分类及计算公式见表1。

令

式中，hf1为第一个雷达栅的高度，hf2为第二个雷达栅的高度，hA为天线的高度，hT为目标的高度。

则

式中，λ为波长，d1、d2、d3分别为天线与第一个雷达栅、第一个雷达栅与第二个雷达栅、第二个雷达栅与目标间的距离。

式(6)～(9)中，α、p、ρ0、q、β等参数的物理意义见图1。

当p≥0、q＞0且式(1)中m前面的符号为负时，式(1)的积分区域如图1中的阴影部分S1、S2所示。图中，阴影部分的顶点为o′，oo′的长度为ρ0，γ1=β，γ2=π-αβ。oo′的延长线o′N将阴影区域分为两个部分S1、S2(其它条件下的积分区域图形见参考文献［1］)。

图1 Fresnel面积分I-的积分区域示意图(p≥0，q＞0)Fig.1 Schematic diagram of integral domain of Fresnel surface integral I-

Table 1 Type of Fresnel surface integral表1 Fresnel面积分的类型［1］

2 G(ρ0，γ)的计算

Fresnel面积分的一般形式为

式(10)的积分区域见图2。

图2 Fresnel面积分的积分区域示意图Fig.2 Schematic diagram of integral domain of Fresnel surface integral

为便于计算，由

可得

将式(13)代入式(10)，化简并令

由雅可比-安格尔(Jacobi-Anger)恒等式有［7］

代入式(14)，得

因

有

由Bessel函数的性质［7］

可将式(18)分解为下列五项之和

式中

利用Bessel函数积分的关系式［7］

式中，a＞0，b＞0，1/2＞Ren＞-1(Re:实部)。

式中，a＞0，b＞0，Ren＞-4。

式中，a＞0，b＞0，Ren＞-2。

将式(24)、式(27)中积分项化简为

将式(20)代入式(14)，得

由式(21)、式(24)和式(27)可知

将上式代入式(33)，得

图3 由本文计算方法得到的文献［3］图1算例的计算结果Fig.3 Calculation results of Literature 3 Fig.1 by the proposed method in this paper(f=1GHz，d1=d2=d3=10m，h=h1=h2=-4m～4m，hA=hT)

此即为本文所得的Fresnel面积分近似计算公式。

3 算例验证

为验证本文近似计算公式的有效性，利用式(35)分别计算文献［3～5］给出的算例。图3为由式(35)得到的文献［3］图1算例的计算结果(注:图3中的纵坐标abs(A)为复衰减函数A的绝对值，A=E/EO，E为设置雷达栅时目标处的电场强度，EO为无雷达栅时目标处的电场强度，详见文献［3］)，图4为由式(35)得到的文献［5］图4算例的计算结果，计算时式(35)中的n取1～100。表2给出了文献［4］第8节算例的计算结果对比。由图3、图4可以明显看出，利用本文的计算公式可得到与文献［3，5］完全一致的结论。从表2可以看出:当n取1～50时，其结果已满足计算精度要求。

图4 由本文计算方法得到的文献［5］图4算例的计算结果Fig.4 Calculation results of Literature 5 Fig.4 by the proposed method in this paper(VV-polarization，f=0.9GHz，d1=3000m，d2=2000m(Single Radar Fence，d2=5000m)，d3=3000m，h f1=h A=100m，h f2=0，Γ1=Γ2=Γ3=1)

表2 与文献［4］计算结果的对比Table 2 Comparison of the calculation resultswith themethods in this paper and in Literature 4

4 结束语

本文针对传统Fresnel面积分计算方法存在的参数(γ1、γ2、η等)分类、判断多元，计算过程复杂、繁琐等问题，提出了一种新的近似计算方法。仿真结果表明:与传统计算方法相比，本文提出的近似计算方法物理意义清晰，计算方法简单，计算量小且收敛速度快，为Fresnel面积分的相关工程应用提供了便利。

［1］赵雄文.计及反射的刃峰、尖劈、平顶障碍绕射场的一致性解法［D］.青岛:中国电波传播研究所硕士学位论文，1992.

［2］Schneider Michael， Luebbers R J.A General， Uniform Double Wedge Diffraction Coefficient［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1991，39(1):8～14.

［3］Savov SV， Andersen JB.Efficient Method for Calculation of Fresnel Double Integral［J］.Electronics Letters， 1995， 31(6):435～437.

［4］Millington G， Hewitt R， Immirzi F S.The Fresnel Surface Integral［J］.IEE Proceedings， 1962， 109C(162):430 ～437.

［5］Zhao Xiongwen， Vainkainen Pertti.Multipath Propagation Study Combining Terrain Diffraction and Reflection［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2001，49(8):1204～1209.

［6］张新好.0.8GHz-18GHz全频段外场散射及天线测量技术研究［D］.北京:北京航空航天大学博士学位论文，2011:63～66.Zhang Xinhao.Study on the 0.8GHz-18GHz Outdoor RCS and Airborne Antenna Measurement System［D］.Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011:63～66(in Chinese).

［7］《数学手册》编写组.数学手册［M］.北京:高等教育出版社，1979:628.

［8］Gradshteyn IS， Ryzhik IM.Tables of Integrals， Series and Products［M］.7th edition.New York:Academic Press， 2007:706，739.