二项分布下的MSPOT方法研究

王雪峥

(92493 部队 98 分队 葫芦岛 125000)

引 言

在装备试验鉴定中，经常会涉及到服从二项分布的指标参数，例如弹炮命中概率的鉴定问题、复杂系统可靠性鉴定问题等。关于二项分布参数的检验方法，常用的有经典假设检验［1］、贝叶斯假设检验［2］以及序贯检验［3］。不管是哪一种假设检验方法，都离不开统计假设。以导弹命中概率p(0＜p＜1)为例，给出命中概率指标为某一个数值p0和最低可接受值p1，则相应的简单假设为:H0:p=p0，H1:p=p1。试验方案应具有如下特性:当实际p≥p0时，应以不低于(1-α)的概率通过验证试验;当p≤p1时，应以不高于β的概率通过验证试验。α为生产方风险，β为使用方风险。在该假设条件下，不管是采用经典假设检验、贝叶斯假设检验，还是序贯检验，最终得出的结论是接受H0:p=p0，认为实际导弹命中概率p≥p0;或者拒绝H0:p=p0，而接受H1:p=p1，认为实际导弹命中概率p≤p1。当导弹实际命中概率p处在［p1，p0］区间上时，这种简单假设方案无法做出判断，只会判给p≥p0或p≤p1，这对于子样数较少的导弹类武器试验来说，无疑减少了试验信息，甚至是提供了错误的试验信息。本文提出的多假设序贯验后加权检验MSPOT(Multi-hypothesis Sequential Posterior Odd Test)方法很好地解决了上述问题。

所谓多假设，是指统计假设打破传统两个假设(即原假设和备择假设)的情况，根据实际需求，将参数空间划分成多个，对应出现多个统计假设。例如前文导弹命中概率问题，参数空间划分为0＜p＜p1，p1≤p＜p0，p0≤p＜1三个区域，则对应三个假设为H0:0＜p＜p1，H1:p1≤p＜p0，H2:p0≤p＜1。这里不再分原假设和备择假设，而是根据具体参数空间的意义来判断，比如H0为真时，说明0＜p＜p1，即命中概率没有达到最低可接受值;当H1为真时，说明p1≤p＜p0，即命中概率达到最低可接受值，但尚未达到设计指标要求;当H2为真时，说明p0≤p＜1，即命中概率达到设计指标要求。

序贯验后加权检验SPOT(Sequential Posterior Odd Test)方法通常是将A.Wald提出的序贯概率比检验SPRT(Sequential Probability Ratio Test)方法的似然比换作似然函数在Θ0、Θ1上的验后加权比，Θ0、Θ1是原假设和备择假设所对应的参数空间。SPOT方法是一种在现场试验中根据试验样本的实际情况进行实时统计决策的试验方法，这种方法一方面可以充分利用验前信息，另一方面又可视试验参数样本的实际情况决定是否停止试验新的样本，它在工程上，特别是小子样问题的解决上，具有重要的应用价值［4～6］。

MSPOT方法是在多假设序贯概率比检验MSPRT(Multi-hypothesis Sequential Probability Ratio Test)［7，8］方法基础上，将多简单假设推广到更具一般性的多参数空间假设，即Θ0，Θ1，...，ΘM-1，M为假设的个数，Θi(i=0，...，M-1)可以是单点值，也可以是连续的参数空间。当为单点值时，便是MSPRT方法，即多简单假设的MSPOT方法。当为连续的参数空间时，便是多复杂假设的MSPOT方法。可见，MSPRT方法是MSPOT方法的一种特例，MSPOT方法更具一般性。

图1给出了MSPOT方法与MSPRT、SPRT、SPOT方法的关系。由图可见其他几种方法都是MSPOT方法的特例，MSPOT方法的优越性在于其既利用了验前信息，又解决了多参数空间假设检验的问题，包括多简单假设和多复杂假设，而MSPRT方法只考虑了多假设中的简单假设问题，SPOT方法虽然包括简单假设和连续参数空间假设，但只考虑了两假设。由此可见，MSPRT、SPRT和SPOT都具有自身的局限性。

图1 MSPOT方法与MSPRT、SPRT、SPOT方法的关系Fig.1 Relationship of the MSPOT，MSPRT，SPRT and SPOT methods

本文基于多简单假设SPOT方法［9］和多参数空间复杂假设SPOT方法［10］，研究提出了MSPOT方法，并针对常见的成败型参数试验方案设计问题，具体推导了二项分布参数下MSPOT方法的计算公式，对解决成败型参数检验问题具有一定的指导意义。

1 MSPOT方法

1.1 MSPOT方法的序贯决策过程

设X1，X2，…是独立同分布随机变量，概率密度为f。如果密度函数f的参数为θ，设有参数空间Θ，Θ=Θ0∪Θ1∪…∪ΘM-1，则多假设为

如果各参数空间为单点集，则假设为多简单假设;如果参数空间为连续参数空间集，则假设为多复杂假设。

已知θ的先验分布为π(θ)。根据MSPRT方法的思想［7］，真实假设具有相对较大的后验概率，则有如下的序贯决策规则。

①序贯停止规则

序贯停止时的样本数N取第一个大于0且使得对于至少一个k成立的n值。Ak为阈值，为后验概率。

当假设为多简单假设时有

当假设为多复杂假设时有

其中fk(X|θ)表示概率密度函数f在假设Hk成立参数空间为Θk时的概率密度形式。

②序贯决策规则

上述序贯决策规则中，公式形式比较复杂，因此，将式(1)、式(2)代入序贯停止规则不等式进行化简整理。序贯决策过程转化成:N取第一个大于0且使得Onk＜Ak至少对一个k成立的n值，如果Onk=min{Onj:j=0，···，M-1}，则Hk为真实假设。

当假设为多简单假设时有

当假设为多复杂假设时有

1.2 MSPOT方法中阈值Ak的计算过程

对于上节的序贯决策过程，当样本分布已知、先验概率密度已知时，Onk的计算容易得出。至于阈值Ak(k=0，1，…，M-1)的计算，虽然多简单假设对应的MSPRT方法中有明确的数值表达式［7，8］，但计算起来很复杂，而多复杂假设的MSPOT方法中Ak的计算还很难找到确切的数值表达式。因此，本文采用仿真搜索法计算Ak。从序贯停止规则可以看出，Ak的大小直接影响停止时的样本数，进而影响决策的准确度。经分析，Ak越小，相应的N越大，决策结果越准确。因此Ak值并不是唯一确定的，在不影响决策判断的前提下，为了方便计算，这里不妨设Ak均相等，采用仿真搜索方法进行求解，搜索策略如下:

设搜索步长为ε，这里取ε=0.05。令初值Ak=A=1(k=0，1，…，M-1)，误判率允许值α0=0.3。所谓误判率是指Hk为真实假设时，决策判断Hk为假的概率，这里用误判的频率代替误判概率，即误判的次数/序贯试验总次数。

①产生分布密度为π(θ)的随机参数值θi(i=1，2，…，N)，N是事先给定的，这里令N=10。

②生成服从f(Xi|θ)的随机样本Xi(i=1，2，…，n)，计算

按照1.1节序贯决策过程进行序贯决策判断。

③对步骤②操作重复进行K次，K是事先给定的，这里令K=100。计算出θi情况下序贯试验的误判率

④计算平均误判率

通过上述过程便可求出待检验样本的阈值A，即Ak(k=0，1，…，M-1)。

1.3 MSPOT方法截尾序贯决策过程

给定试验样本数N，当根据1.1节的序贯决策过程无法停止试验时，强制停止试验。截尾序贯决策规则为:如果则Hk为真实假设，其中ONj的计算公式同式(3)、式(4)。

2 二项分布参数检验的MSPOT方法

假设参数p的最低可接受值为p1，指标值为p0，则对应的多复杂假设为

其参数空间为

根据式(4)计算得到多复杂假设情况下

若采用多简单假设，则可用参数区间中点代表参数空间，即取

对应的多简单假设为

H0:p=μ0H1:p=μ1H2:p=μ2

根据式(3)计算得到多简单假设情况下

当参数p无先验信息时，各假设的先验概率相同，则

3 仿真算例及分析

在导弹试验过程中，对导弹的命中概率进行检验。当导弹在规定区域爆炸，认为导弹命中目标，记为1;否则认为失败，记为0。可见，导弹的命中概率试验是一个独立的n重伯努利试验，因此在n次试验中导弹命中目标的次数X服从二项分布，即X～b(n，p)。假设某型导弹命中概率p1=0.75为最低可接受值，设计指标p0=0.9，且没有任何验前信息。当p＜p1时，认为该指标没有达到最低可接受值;当p1≤p＜p0时，认为该指标在最低可接受值和设计指标之间;当p≥p0时，认为该指标达到设计指标要求。由于没有先验信息可以利用，采用无验前信息的多简单假设MSPOT方法。给定允许误判率α0=0.3，根据式(9)计算出μ0、μ1、μ2值，再根据1.2节步骤①～⑤计算出A=0.7，此时的平均误判率α*=0.279。下面借助计算机模拟，应用MSPOT方法进行导弹命中概率仿真模拟试验。Matlab［12］仿真模拟流程如图2所示。

分别在三个参数空间取出一个值作为指标真值代表，例如取p=0.5＜p1，按照图2流程进行序贯仿真试验，所得结果如表1所示。当n=3时，有O30=0.1887＜A，停止试验，此时O30=min{O30，O31，O32} ，判断假设H0为真，这与p=0.5＜p1相符。p=0.8和p=0.95的仿真结果同样证明了本文方法的正确性和有效性。

图2 一次MSPOT试验(p给定)模拟计算流程Fig.2 Flow chart of a MSPOT test calculation with given p

表1 多简单假设MSPOT方法仿真试验结果Table 1 The result of MSPOTmethod with multiple simple hypothesis

若事先已规定试验次数，则采用截尾的MSPOT方法。例如，试验次数为7次，如果有5次命中目标，记为(7，5)，则7次试验中可能出现的试验结果见表2。

表2 试验结果Table 2 Test results

从表2中可以看出，前五种试验结果，根据截尾的MSPOT方法判断O70最小，H0是真实假设，说明参数p满足p＜0.75;试验结果为(7，5)和(7，6)时，判断O71最小，H1为真实假设，说明参数p满足0.75≤p＜0.9;试验结果为(7，7)时，判断O72最小，H2为真实假设，说明参数p满足p≥0.9。

4 结束语

从本文的计算结果可以看出，应用MSPOT方法进行试验，试验结果并不是简单拒绝或接受，而是能够提供试验参数所在的区间。它有效解决了传统简单假设中，最低可接受值和设计指标值之间的模糊参数区域问题，为试验双方提供更多的试验信息。本文例子没有验前信息，如果在实际试验中能够得到相对准确的验前信息，则应用MSPOT方法进行试验，结果将会更贴近实际。

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