在数学课堂中发展整体意识

金岩

摘要：整体意识是影响学生思维方式，正确、合理地处理问题的重要意识。在实践中，追寻三重境界：第一，着眼整体，考察联系，体悟思想;第二，鸟瞰全局，把握实质，突破常规;第三，研究全面，理清脉络，周密思考。整体意识能促进人素养的整体提升，进而促进人的和谐发展。

关键词：整体意识;数学教学;联系;实质;全局

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）09A-0072-04

一个人离开学校之后，在学校学习的数学知识可能很快就会遗忘，但积淀下来的数学意识可能影响他工作、学习和生活中处理问题的方式和方法。在数学意识中，整体意识是影响学生思维方式，正确、合理地处理问题的重要意识。碎片化的知识学习往往容易造成学生机械、单一地看问题。长此以往，学生看待问题往往是片面的，缺乏对影响问题的各种因素的联系和结构的考察，这样就不能从整体上把握问题，给问题解决带来障碍。这潜在地导致学生将来面临复杂问题时，不能宏观、整体、系统把握，可能会方向偏离，甚至错误地处理问题，造成问题解决的失当和失败。因此，在小学数学课堂中，我们就要有意识地发展学生的整体意识，跳出细枝末节，用整体、联系的眼光研究问题，积累用整体意识解决问题的数学活动经验，为方法论和思维方式的形成奠定基础。

目标境界之一：着眼整体，考察联系，体悟思想

一次研讨课的失败经历，让笔者觉醒，并开始反思，再落实到行动。

【案例1】

在四年级的乘法分配律的运用中，有这样一道题目：56×99+56。教师没有给学生任何提示，让学生尝试探索。

生1：99接近100，把99看作100来乘，再把多算的减去 56×99+56=56×（99+1）-56+56

=56×100-56+56=5544+56=5600。

生2：我把99看作100-1，56×99+56=56×（100-1）+56=56×100-56×1+56

=5600-56+56=5600。

生3：把56看作56×1，56×99+56=56×99+56×1=56×（99+1）=56×100=5600。

师：同学们，你喜欢哪种方法？

生4：我喜欢第一种方法，因为99接近100，就先把它看作100，多算了再减。

生5：把99看成100与1的差，利用乘法分配律进行简便计算，我觉得第二种方法更好。

生6：第三种方法，把56看成56与1的乘积后，就符合乘法分配律形式，转化为56乘99与1的和，非常简便，所以我喜欢第三种方法。

学生们各抒己见，最后教师说：“每位同学都有自己喜欢的方法，喜欢哪一种方法就用哪一种方法做吧！”

课后交流时，教师们普遍认为学生们应用乘法分配律的水平参差不齐，教师缺乏引领和提升，不少学生停留于自己的原有认知水平，并没有获得应有的发展。不能不说，这节课是失败的。在听取他们意见的基础上，笔者进一步反思。

【反思】

尊重学生算法的多样化，并不意味着不去进行方法的比较与优化。作为学习主体的学生，课堂上有发表自己想法的权利。作为主导的教师，更有责任和义务将学生的算法作为进一步展开教学的资源，从学生真实的起点出发，引发各种算法间的碰撞和交流，激发学生产生新的思考，反思并改进自己的算法，提升运算能力。笔者的问题在于，不但没有引导学生关注算法的优化，更深层次的是缺乏从整体意识的高度关注学生的思考。只从局部孤立地看算式中的一部分“56×99”，应用乘法分配律计算后再与56相加，虽然不乏合理成分，但缺乏对算式结构的整体把握和联系思考。当我们整体上来考察算式时，更应当引导学生观察整个算式中各部分的特征和联系，比如，除了发现“×99”，还应当看到两个“56”，从而思考结构上的关联。另一方面，发现联系后，对照乘法分配律的结构，我们发现缺失后能够对算式进行构造，这种构造就是一种基于整体观察的“再创造”。这样的“再创造”不仅丰富了学生的数学经验，也使学生认知结构中的乘法分配律的结构具有了开放性和包容性，成为一种容量更大的模块，更便于提取和应用。

笔者的第二次实践：

1.出示：在□里填上合适数，在○里填上运算符号。（题略）

2.让学生尝试计算56×99+56后，组织交流算法。

出现的方法与上面相类似，让学生们比较几种方法，并说说觉得哪种方法最简便。

小组交流后，意见趋于统一。这时，教师要求学生体会：为什么第三种方法简便？它的“过人之处”在哪？

生1：它巧妙地把56写成一个乘法算式，这样就符合了乘法分配律的形式，应用乘法分配律后，99与1就凑成了100，计算就很简便了。

师：你还能举几个这样的例子吗？

生2：27+27×99

生3：35×98+70

师：咦！这样的算式还能用乘法分配律使计算简便吗？

此时，学生们已是争先恐后，纷纷嚷着：把70改写成35×2。

……

【思考】

第二次实践首先以填空的形式对乘法分配律进行正和反的简单应用，让学生熟悉其结构，在头脑中形成图式，便于检索和应用。实践表明：学生通过观察完全能调动起已有的相关数学经验达成这样的认识：99个56加1个56，即100个56。再将这种理解与乘法分配律的结构模型实现“对接”，即可实现运算律的灵活应用。从“56”到“56×1”不仅是一种数与式的变换，更重要的是把握整体、考察算式内在的联系后，顺应运算律结构，实现模型化的一次对数学思想本质的深度体悟。在课堂中，教师不能轻易放弃这种绝好的触摸数学本质、发展整体意识的契机。而从“70”到“35×2”又是一次思维跨度上的跃进。无疑着眼整体，考察算式内在联系，结构化、开放化地应用乘法分配律已成为学生的自觉意识。

无论是在低年级的数的大小比较、有关数的运算，还是中年级的其他运算律，笔者都以着眼整体，考察联系，体悟思想为目标进行了尝试，均取得了让人惊喜的效果。

布鲁纳等人曾做一实验，受试学生分为两组。一组采取整体法的策略，即从整体出发注意各部分的关系以解决问题;另一组采取部分法的策略，即从部分出发将各部分总合起来以解决问题。他们的任务是从一系列的卡片中，根据内容的特性抽出概念，拟定假设、解决问题。研究结果表明，不论问题的难易或特性的多少，问题的解决都是整体法优于部分法。数学是一种模式的科学。当我们在引导学生应用模式时，有意识地渗透要不拘泥于问题的局部，着眼于问题的整体，考察问题的条件之间内在联系和问题的结构等思想是教师不可或缺的理念。我们在教学时，要引导学生更关注数学概念、法则、定律、公式的结构，同时对这些数学知识的认同要形成具有开放结构的认知图式。这样，才能增加思维的跨度，增强直觉思维能力，在面临新的问题时善于将问题结构化，从而达到数学知识的顺利应用。唯其如此，我们的学生才能逐步形成宏观把握、整体思考的初步意识。

目标境界之二：鸟瞰全局，把握实质，突破常规

初尝成功的甜头后，笔者又定位于能鸟瞰全局，把握实质，突破常规的目标。下面就是笔者的一次尝试。

【案例2】

“长方形周长”的练习课中，教师出示了这样一个问题供学生解决：右图是两个完全一样的长方形拼成的。它的周长是多少厘米？

或许由于不断强化周长的概念，学生们努力去寻找围成这个图形每条边的长。不少学生遇到了一定的困难。在数学上善于发现的亦涵首先找到突破口：“我发现了一个和差问题，长宽之和是16厘米，长宽之差是4厘米。因此，16+4=20（厘米）就是两条长之和了。宽就是10-4=6厘米。”受她的启发，思萌说：“我们也可以用（16-4）÷2=6（厘米）求出宽……”教师环顾四周，发现她俩的响应者并不多，毕竟“和差问题”的解决方法对于不少同学来说有些困难。更重要的是，关注局部，去寻找每条边的长，再求周长并非解决问题的最佳策略。教师清楚地意识到学生们已经形成了一种思维定势：要求周长，就要先知道每条边的长。如何突破这样的定势，着眼整体去考虑呢？教师话锋一转：“同学们，还能找到其他方法吗？”同学们的思维陷入困境。教师加以诱导：“求长方形的周长，同学们喜欢用长与宽的和乘2来算。那么，这个由两个长方形拼成L形的周长与原来长方形长、宽之和有什么关系呢？”这样启发后，学生们不再纠缠于去寻找每条边的长了，纷纷跳出了原有的“框框”，开始从整体上来考虑这一组合图形的周长与原来的长方形周长之间的联系，把长宽之和作为一个整体去“度量”眼前这个新图形。不一会儿，学生们兴奋地举起手：“我发现！我发现！”。杨磊说：“老师，这个图形的周长可以看成原来长方形的三个长宽之和还多4厘米。所以，可以用16×3+4来算。”欣悦接着说：“把右上角的两条边平移后变成一个长方形，周长不变。这样，也能够看出图形的周长是三个长宽之和加上4厘米。”

【思考】

拘泥于局部，机械地寻找每条边的长度，就会让学生钻进繁琐分析、复杂推理的“胡同”。显然，这个“胡同”让缺乏相应知识和方法准备的学生遭遇障碍。如果为顺应这个方法，去补教“和差问题”而“曲线救国”，显然失却了问题探究的最大价值。教师在学生利用常规思维遭阻，到了“不愤不启”的状态时，适时介入，引导学生跳出“桎梏”，从全局的高度审视长方形周长概念和计算公式，淡化先入为主的程式化步骤，把长宽之和作为一个整体考量，打开了一扇探究的新窗户。当学生以此作为尺度进行度量时，会发现意外的精彩。长宽之和在学生心目中不仅是运算过程，更是一种结构化的对象和工具。超越于公式，回到概念本质上去整体把握问题，更有利于学生活化思维，形成新的问题策略。正如整体原理所说：不仅要发挥各部分的功能，更要发挥相互联系的各部分所组成的结构的功能。事实上，今后学生在解决“已知以圆的半径为边长的正方形面积，求该圆的面积”等这样的问题时，这样的整体思维能够帮助学生打破常规思维，着眼于圆面积与正方形面积之间的关系，寻找到简明的问题解决方案。

我们需要模式，但千万不能模式化，否则学生容易坠入僵化的局部思维方式。这就要求教师切不可机械训练公式的运用，而应当有意识地呈现诸如只提供长宽之和求周长，只提供上下底之和、高求面积，只提供速度和与时间求路程等这样的问题，促使学生回到本原去思考解决问题的最根本的要素，从而形成一种整体着眼，抓住问题本质的思维策略。长此以往，学生面对新问题时，就不会轻易投入精力立即去进行演算，而是能鸟瞰全局，整体把握问题的本质要素，寻找可能的解决路径，并对自身解决问题过程进行有效的监控和调适，避免钻进思维的“死胡同”。更为长远地看，学生将来面对更为错综复杂的问题时，能善于进行系统考察，把握问题的关键和实质，整体规划解决问题的方案。

目标境界之三：研究全面，理清脉络，周密思考

善于对问题从多方面进行整体研究，是整体意识较高层次的反映。设计良好的开放性问题，对于发展学生多角度思考问题、形成周密全面思考的高层次思维品质有着不可替代的作用。

【案例3】

一次复习三角形的活动课上，教师设计了这样一个问题：有一个三角形，小东发现一个角的度数是另一个角的2倍，小明发现有一个角的度数是另一个角的3倍。这个三角形的三个内角各是多少度？

相当一部分同学大有“太小瞧我”的意思，不假思索地说：“三个角度数的比就是3∶2∶1，所以三个内角分别是90°、60°、30°。”说完后颇有“大功告成”之得意。教师却不置可否：“哦？仅仅是这样吗？”同学们惊讶地瞪大眼睛，再次审视问题。李昕首先汇报她的发现：“小东观察的角度和小明可能不同。”教师把“球”踢给学生：“谁理解她的想法？”同学们恍然大悟般地“哦”起来。潘瞳迫不及待地站起来说：“小东和小明在比较时，可能不是跟同一角比的。”安琪补充道：“也就是比较的标准可能不一样。”教师穷追不舍：“这样看来，可能有哪些情形呢？”同学们在纸上认真对各种情形进行分类考虑。小组讨论后，进行了汇报。

子杰走到黑板前有条不紊地边写边讲述起来：“我把最大的角称为∠1，中等大小的角称为∠2，最小的角称为∠3。如果小东是以∠3为标准，小明却是以∠2为标准，那么，三个角度数的比就是6∶2∶1。还有一种可能是小东以∠2为标准，而小明却是以∠3为标准，这时，三个角度数的比就是6∶3∶1。”精彩的分析赢得了全班同学的掌声。而教师不满足于此，要求学生们根据比较的标准进行分类，将思考的过程有条理地整理出来。

于是，教师看到如下的分类整理：

1.都以∠3为标准，三个角度数比是3∶2∶1。

2.小东以∠3为标准，小明以∠2为标准，三个角度数比是6∶2∶1。

3.小东以∠2为标准，小明以∠3为标准，三个角度数比是6∶3∶1。

【思考】

分类是一种极其重要的数学思想。数学概念的产生，数学问题解决的突破往往都是从确定分类标准，合理进行分类开始的。在解决问题时，不过早地投入到具体的解决问题步骤和算法中，而首先从整体上对研究对象进行分类标准的思考，再进行分类，然后对每一类进行分别讨论，从而求得对问题的完整解决，对于学生来说是一种非常重要的系统思维策略。分类讨论的意识从小学开始就要培养。分类讨论可将条件与结论的因果关系，局部与整体的逻辑关系揭示得更加准确、清楚。有人可能认为设计这样的问题对小学生有点勉为其难。然而，笔者认为这对于培养学生全面考察问题，形成严密思考问题的习惯大有裨益。上述问题情境中，有关小东和小明的发现表达的一致性，使学生容易从字面上误认为两个所指的“另一个角”即同一个角，从而造成“丢解”。抓住这样的契机往往就是发展学生整体意识的关键。学生并非没有发现的潜力，因此，教师的作用不是直白地“告诉”（这种告诉对学生的发展来说甚至是“苍白”的），而在于点拨，让学生意识到自己考虑问题欠全面，从而重新认识问题，考察其他可能的情形。注意到观察主体变换的学生，开始对“另一个角”的指向性产生怀疑，因而也就有了关于比较标准所有可能情形的讨论，最终把握住分类的标准，做到有序地考虑问题，避免了答案的重复和遗漏。学生的认知状态经历了从平衡到不平衡再到平衡的螺旋上升的过程，对分类研究的方法有了更深刻的体验。

实践中，笔者多次设计有价值的开放性问题并合理运用，如，“租车方案”、“购票中的学问”、“设计包装盒”等数学实践活动。多样化的开放性活动让学生有了积极投入到探究问题中的热情，感悟到的是新颖而富有挑战性。学生们在活动中常常通过观察、猜测、假设、尝试、类比、特殊化、一般化等途径去寻找答案，全面观察，广泛联想，多角度、多层次思考等思维方式从整体上得以优化，深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性等思维品质不断提升，不断体验数学的思想方法，对数学实质的理解也不断加深。作为教师，有意识地开发这样的开放性问题，并引导学生探索和自我开发，能够促进学生整体意识的不断发展，这样形成的元认知能力和态度的发展将会对学生的思维方式、生活方式甚至生存方式形成质的影响，促进其素养的整体提升，进而促进人的和谐发展。

责任编辑：石萍