基于建模案例的极大线性无关组微课教学设计

【摘要】针对《线性代数》课程中“向量组的极大线性无关组”这一重要概念，进行案例-概念-案例的教学，可激发学生学习知识点的兴趣，深化学生对概念的理解， 增强学生应用所学知识解决实际问题的能力。

【关键词】建模案例  向量组  极大线性无关组  教学

【基金项目】本文由2015北京信息科技大学校级教改项目2015JGYB40资助。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0120-01

向量组的极大线性无关组是《线性代数》课程中的一个重要概念，也是一个教学难点。大多数初学者感到非常抽象，不能完全掌握，更不能灵活的运用这一知识点进行解题。因此，在课堂教学中如果能引入一些建模案例，将抽象的概念具体化，可激发课堂气氛，同时加深学生对知识点的理解，提高课堂教学效果。为此，笔者结合自己的教学经验，在讲解线性相关和无关的知识点后，将极大线性无关组这一知识点的教学课堂设计如下：

一、引例[1]

老师提问：绘画时需要调色，三原色是什么？其它颜色，比如绿色、橙色，怎么形成的？画一幅五颜六色的画最少需要几种颜料？

学生回答：三原色是红、黄、蓝，其它的颜色都是三原色按照一定的比例调制出来的，蓝色和黄色可调成绿色，红色和黄色可调成橙色。因此绘画时至少需要三种颜色。

老师引导：在调色方面，三原色中任何两种颜色都调制不出其余的那种颜色，但不同比例的三种颜色可调制成若干不同的颜色。三原色之间的关系就类似于向量之间的线性无关，而其它的颜色可有由红黄蓝线性表示。三原色就是所有颜色这个集合的一个最大无关组。如果把三原色改为有类似性质的向量空间的向量组，就是向量组的极大线性无关组。从而引出向量组的极大线性无关组的数学定义。

二、向量组的极大线性无关组的定义[2]

设A是n维向量组，如果A的一个部分向量组满足

（1）线性无关;

（2）A中的任意向量都可以表示成的线性组合。

则称向量组是向量组A的一个极大线性无关组。

三、案例练习

为了加深对概念的理解，特进行如下的案例练习：

例1[3]：某地区有12个气象观测站，10年来每个观测站的年降水量如下表1。为了节省开支想要适当减少气象观测站。问题：减少哪些气象观测站可以使所得的降水量的信息量仍然足够大？

表1  10年12个观测站的年降水量

a1，a2，…，a12分别表示气象观测站x1，x2，…，x12在1981-1990年内的降水量的列向量，由于a1，a2，…，a12是含有12个向量的十维向量组，该向量组必定线性相关。若能求出它的一个极大线性无关组，则其极大线性无关组所对应的气象观测站就可将其他的气象观测站的气象资料表示出来，因而其他气象观测站就是可以减少的。因此，最多只需要10个气象观测站。

在上述建模案例的引导下，教师很容易的讲解最大无关组的概念，学生对该知识点也理解地非常透彻，同时激发了学生学习线性代数课程的兴趣， 收到了很好的教学效果。

参考文献：

[1]潘琼，杜纬，欧阳安.线性代数举例教学及习题选取[J].高等数学研究，2013，16（1）：83-85.

[2]同济大学数学系编.工程数学线性代数同济大学第六版教材[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]黄静静，王爱文.数学建模方法与CUMCM赛题详解.北京：机械工业出版社，2014.