小攻角下航行体三维非定常空泡形态理论预示方法

程少华，权晓波，于海涛，翟章明，王占莹（北京宇航系统工程研究所，北京100076）

小攻角下航行体三维非定常空泡形态理论预示方法

程少华，权晓波，于海涛，翟章明，王占莹
（北京宇航系统工程研究所，北京100076）

小攻角下水下航行体高速运动时会形成不对称、非定常空泡，空泡形态是水下流体动力及弹道设计的主要依据。该文基于空泡独立膨胀原理，考虑横流对独立空泡发展的影响，建立了带攻角状态下空泡形态理论计算模型。针对典型工况开展计算获得了航行体迎背流面空泡长度、空泡压力变化过程，并与试验数据进行比对以验证模型的合理性。

空泡形态；局部空化；独立膨胀原理；流体动力；非定常

0 引 言

当航行体在水中高速运动时，其表面某些部位的压力低于水的饱和蒸汽压而出现空化现象，将使得空泡附着于航行体的表面。随着航行体速度和所处位置的不断变化，空化处的空泡数也随之发生改变，使得空化形成的空泡形态呈现出随时间变化的非定常特征。特别是当来流与航行体存在一定的攻角时，迎背流面的空泡长度也有所不同，使得空泡呈现出三维特性。航行体空泡非定常发展及不对称性将改变航行体表面的压力分布，从而对其水下运动轨迹和受力特征产生较大影响。准确预示非定常三维空泡形态是空泡绕流流体动力设计的基础，也是航行体水下运动轨迹设计的前提。

小攻角下航行体空泡流动是典型的非定常多相流问题，对其进行建模和预示具有较大的难度。早期的研究主要以基于势流理论的边界元方法为主，通过假设汽液两相之间具有明确的界面、空泡内压力恒定，且假定空泡在物体表面的闭合形式，可根据动力学及运动学边界条件最终确定空泡的形态和位置。Kinnas[5]通过在水翼和空泡表面分布法向偶极子和源，假设空化区的速度为沿着水翼的长度变化的变量，采用基于速度势的边界元方法对水翼三维空泡绕流问题进行了研究，冷海军[6]、傅慧萍[7]等在空泡尾部采用压力恢复模型，求解给定空泡数下轴对称体的定常空泡形态，张忠宇等[8]将该方法扩展至三维带攻角状态空泡形态计算，并分析了空化数、攻角以及锥角对三维空泡形态的影响规律。总体上来看基于势流理论的边界元方法主要针对定常状态二维或三维空泡形态开展计算。

近些年来，随着计算技术和数值模拟方法的不断发展，通过求解N-S方程的数值CFD技术在空泡绕流计算中获得广泛应用。通过研究多相流模型、湍流模型、空化模型对空泡形态的影响规律，结合与试验数据的比对建立了适用于不同条件下空泡流的计算方法。权晓波等[9]采用均相平衡流模型、Singhal模型及标准k-ε湍流模型获得了定常状态大攻角下与试验结果吻合较好的空泡形态，分析了不同攻角、空化数对弹体受力的影响，王一伟等[10]采用均相平衡流模型、Singhal模型及RNG k-ε湍流模型获得了航行体水下及出水过程中空泡非定常发展及溃灭特征。数值CFD方法可获得相对较为准确的空泡流场特征，但针对非定常空泡流的计算所需时间较长。

针对非定常空泡形态的预示，工程上确定空泡形态常采用Logvinovich[1]提出的“空泡独立膨胀原理”。以此为基础，Paryshev[2]建立了一组描述通气空泡的非线性迟滞微分方程组（Delay Differential E-quations，简写为DDEs），并采用线性理论分析了多种空泡类型的稳定性。Kirschner[3]针对Paryshev的模型提出了一种有效的求解方法，获得了航行体水平运动时的超空泡形态变化特征。在国内，陈玮琪等[11]基于“空泡独立膨胀原理”导出了非定常垂直空泡长度的计算公式，并给出了出水空泡溃灭高压作用的条件和判据，张学伟等[12]基于“空泡独立膨胀原理”给出了通气空泡下空泡形态和压力的理论计算方法。现有的基于"独立膨胀原理"的非定常空泡形态理论计算仅针对二维轴对称状态，对于三维空泡形态的理论计算尚无成熟模型可供借鉴。

针对小攻角状态下三维非定常空泡形态的理论预示问题，本文以空泡独立膨胀原理为基础，考虑横流对独立空泡发展的影响，建立了带攻角状态下空泡非定常发展理论计算模型，并与试验数据进行比对以验证模型的合理性。该方法可大大提高计算效率，便于采用理论分析的方式获取影响三维空泡形态的主要要素，供工程设计人员参考。

1 三维非定常空泡预示模型建立

1.1 独立膨胀原理

图1 二维轴对称空泡发展示意图Fig.1 Sketch map for 2-D symmetric cavity development

式中：压力p∞=p0+ρg，为截面Σ所处的静压，p0为水面大气压，x为空泡初生位置距离水面高度，Lc为空泡长度。pc为空泡泡压，随时间不断变化。k为经验系数，，a为与弹体头型、空化数相关的常数。

在初始时刻，截面S满足方程：

式中：R0为航行体柱段半径；Cx为航行体头锥段阻力系数。

图1所示为二维轴对称空泡发展示意图。

1.2 带攻角下独立膨胀原理

考虑航行体在水下以速度V（t）、攻角α向水面运动，以截面Σ为研究对象，根据“空泡独立膨胀原理”由于该截面空泡周围静压相同，故而空泡的横截面仍为圆形，但由于横向速度分量的影响，空泡的圆心也随之运动。

将航行体速度V沿弹体分解为轴向速度Vy和横向速度Vx，并假定两个方向的运动对空泡的影响是相互独立的，建立带攻角状态下的空泡独立膨胀方程：

图2 三维有攻角下运动空泡发展示意图Fig.2 Sketch map for 3-D symmetric cavity development

图3 空泡横截面与航行体相对位置关系图Fig.3 Relative position for cavity section and body

式中：xs（t）为t时刻截面Σ圆心的横移量。Vx（t）为t时刻航行体运动速度的横向分量，满足Vx=Vsin （α），α为来流相对航行体攻角。

图2所示为三维有攻角下运动空泡发展示意图。

1.3 空泡闭合模型判定

根据横截面空泡面积和横移量的变化过程，可建立空泡横截面与航行体的相对位置关系，如图3所示。其中R0为航行体半径，Rc为空泡横截面半径，xs为空泡横截面圆心的偏移量。

当空泡截面、航行体截面的相对位置关系如图3（1）所示，空泡横截面完全包裹了航行体横截面，此时满足如下表达式：

式中：Q（ξ, t）为t时刻ξ截面有效横截面积，xs（ξ, t）为t时刻ξ截面横移量。

当空泡截面、航行体截面的相对位置关系如图3（2）所示，空泡迎流面刚刚包裹了航行体横截面，迎流面空泡厚度为零，此时满足如下表达式：

式中：ξy（t）为满足迎流面空泡厚度为0的截面序号；Q（ξy（t）,t）为t时刻ξy（t）截面有效横截面积，Ly（t）为t时刻迎流面空泡长度，Ts为数值求解时间步长。

当空泡截面、航行体截面的相对位置关系如图3（3）所示，航行体背流面为空泡区，迎流面为全湿流区，空泡横截面未能对弹体进行有效包裹，此时满足如下表达式：

式中：θ1为空泡与航行体重合区在航行体圆截面上对应的圆心角的一半，如图3（3）所示的∠po1o2；θ2为空泡与航行体重合区在空泡圆截面上对应的圆心角的一半，如图3（3）所示的∠po2o1；Q ——ξ,t）为t时刻ξ截面有效横截面积。

当空泡截面、航行体截面的相对位置关系如图3（4）所示，空泡背流面与航行体横截面相切，背流面空泡厚度为零，本时间步长内计算截至。此时满足如下表达式：

式中：ξb（t）为满足背流面空泡厚度为0的截面序号；Q（ξb（t）,t）为t时刻ξb（t）截面有效横截面积；Lb（t）为t时刻背流面空泡长度；Ts为数值求解时间步长。

从而最终得到空泡体积Q（t）为：

式中：Q（i,t）为t时刻第i截面有效横截面积；Ts为数值求解时间步长。

1.4 质量守恒方程

空泡的非定常发展过程需满足质量守恒方程，具体方程形式为：

式中：m（t）为t时刻空泡气体的质量；c1为空泡气体的分子量；in为通入空泡的质量流率，为计算时设定值，当自然空化时˙in=0；˙out为空泡泄气质量流率，参考Logvinovich给出的泄气经验公式，得到：

式中：kout≈0.01，为空泡泄气常数；σv为自然空化数；σ为空泡空化数。

2 模型特殊解

假定航行体在水下运动的速度V恒定、攻角α保持为常值，且空泡压力保持不变，对有攻角下迎背水面泡长差进行求解。

根据（3）式和迎流面空泡长度截止条件，可得到迎流面空泡截止时刻Δty满足表达式：

解得：

同理，可得到背流面空泡截止时刻Δtb的表达式：

进而得到迎背流面泡长差的表达式为：

上式表明当弹体处于匀速运动状态下且泡压不变时，迎背流面泡长差与弹体的攻角近似成正比关系。

3 预示方法验证

为了检验模型特殊解（17）式、非定常空泡形态预示方法（3）式的有效性，分别采用数值CFD计算结果、航行体垂直发射水下弹射试验进行验证。

采用数值CFD计算数据对本文第2章模型特殊解下（3）式进行验证。本文选用参考文献[9]中不同攻角下迎背流面压力系数CFD计算结果，如图4所示，该数值CFD计算结果已经经水洞试验所证实。通过对图4压力系数的判读，得到4°攻角下迎背水面泡长差相对弹长的归一化长度为0.089，8°攻角下迎背水面泡长差相对弹长的归一化长度为0.17。

图4 数值CFD压力系数结果（σ=0.3）Fig.4 CFD results for pressure coefficient(σ=0.3)

根据（17）式，计算得到4°攻角下迎背水面泡长差相对弹长的归一化长度为0.084 3，8°攻角下迎背水面泡长差相对弹长的归一化长度为0.169。可见（17）式计算结果与数值CFD仿真结果得到不同攻角下泡长差量值吻合较好，且体现了泡长差随攻角近似呈正比关系，表明了（17）式的正确性。

通过开展水下垂直发射弹射试验对有攻角下非定常运动空泡形态计算方法进行验证。为了模拟带攻角的运动，航行体垂直向上弹射时给定初始横向速度。在航行体迎背水面布置压力传感器，通过压力测量数据判定非定常空泡长度和压力的变化历程。

同步开展空泡形态理论预示，相关计算方法如参考文献[12]。联合独立膨胀原理和质量守恒方程，获得迎背水面空泡长度、空泡压力随时间的变化历程，并与试验数据结果进行比对，见图5、图6所示。从比对结果来看，理论预示值与试验测量数据吻合良好，表明本方法的合理性。

图5 理论预示泡长与试验结果比对Fig.5 Comparison of theoretical and experimental results for cavity length

图6 理论预示泡压与试验结果比对Fig.6 Comparison of theoretical and experimental results for cavity pressure

4 结 论

本文通过在Logvinovich独立膨胀原理中引入横流影响，将二维轴对称空泡理论计算模型扩展至三维带攻角下理论计算情形，获取了水下垂直发射迎背流面空泡非定常发展过程。通过对空泡形态理论预示方法进行研究表明，定常状态下迎背流面空泡长度差与攻角密切相关。空泡长度差随攻角的增大而增大，并呈现出近似线性关系；非定常三维空泡迎背流面长度和压力计算结果与试验数据吻合较好，表明本方法可适用于小攻角下非定常空泡流计算。

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Three-dimensional cavitation shape of the underwater vehicles at a small attack angle in unsteady flow

CHENG Shao-hua,QUAN Qiao-bo,YU Hai-tao,ZHAI Zhang-ming,WANG Zhan-ying
(Beijing Institute of Astronautical System Engineering,Beijing 100076,China)

Asymmetry of unsteady cavities can be formed when the body moves with a high speed and small attack angle,which is the main design basis of hydrodynamics and hydroballistics.Theoretical model is established based on Logvinovich independence principle,considering the influence of crossflow effect.A typical case is simulated to get cavity length of the face flow surface and the back flow surface,as well as cavity pressure.Finally,the comparison is performed between the results of the theoretical model and the experiment,which confirms the theoretical approach in this study.

cavity shape;partially cavitation;Logvinovich independence principle;hydrodynamics;unsteady

O352

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.08.001

1007-7294（2015）08-0889-07

2015-03-23

国防基础科研项目（A0320110015）和973项目（613171）

程少华（1982-），男，工程师，E-mail:chengshaohua_2008@163.com；权晓波（1976-），男，博士后。