单通道控制的旋转弹锥形运动稳定性研究①

石忠佼,谢浩怡,林 蔚,赵良玉,3

(1. 北京理工大学 宇航学院,北京 100081；2. 中国北方工业公司,北京 100053；3.飞行器动力学与控制教育部重点实验室,北京 100081)



单通道控制的旋转弹锥形运动稳定性研究①

石忠佼1,谢浩怡1,林 蔚2,赵良玉1,3

(1. 北京理工大学 宇航学院,北京 100081；2. 中国北方工业公司,北京 100053；3.飞行器动力学与控制教育部重点实验室,北京 100081)

锥形运动是旋转弹角运动的基本形式，其稳定性问题一直是旋转弹领域的研究热点。以一对鸭舵作用下的单通道控制旋转弹为研究对象，给出了弹体坐标系下的线性化角运动模型，通过数值仿真，揭示了一对鸭舵带来的气动不对称对其角运动特性的影响规律。利用劳斯判据，给出了解析形式的锥形运动稳定条件，该条件可等效为锥形运动稳定条件下的转速范围，不同转速下的仿真结果证明了该稳定条件的正确性。在相同的转速条件下，正弦式鸭舵的控制频率在慢模态衰减频率附近时，可诱发强烈的共振不稳定。研究结果可为一对鸭舵作用下的旋转弹总体设计及制导控制系统设计提供参考。

旋转弹；气动不对称；稳定性；锥形运动；鸭舵

0 引言

旋转弹是指在飞行过程中绕自身纵轴连续滚转的一类弹箭飞行器，具有简化控制系统结构和组成、避免不对称烧蚀、放宽加工制造误差容限、提高突防能力等一系列优势，广泛用于各类常规兵器、制导兵器、战术导弹和再入飞行器等，代表着国内外装备发展过程中的一个重要方向。常见的以空气舵为控制力产生装置的旋转弹主要有2种：一种是以一对鸭舵为控制面的单通道控制方式，如美国的RAM防空导弹等；另一种是以2对鸭舵为控制面的双通道控制方式，如国内的BRE3型制导火箭弹等。与非旋转弹相比，旋转弹俯仰和偏航通道间的气动交联、惯性交联和控制交联使其具有一些特殊的动力学特性，典型地表现在除了弹体绕自身纵轴的旋转外，弹体纵轴还会绕其速度矢量做周期式划圆运动，也就是常说的锥形运动。旋转弹在飞行过程中的不稳定现象多数以不收敛的锥形运动形式出现，即弹体纵轴和速度矢量之间的夹角与其设计值的偏差不断增大或维持一个较大的值不变。不收敛锥形运动引起的诱导阻力，将会大幅度削弱旋转弹的设计性能，降低其完成预定任务的能力，严重时甚至会引起掉弹。这类现象在诸多无控和有控的旋转弹上均有体现，如西班牙的140 mm火箭弹，在28次飞行试验中出现了9次不收敛的锥形运动，使飞行速度在1.5 s内降低了60%[1]。国内在无控火箭弹[2]、有控火箭弹[3]的研制过程中也曾受到过不收敛锥形运动的困扰。因此，锥形运动稳定性的研究一直是旋转弹领域的研究热点。

目前，围绕无控旋转弹和双通道控制旋转弹的锥形运动稳定性问题已取得了丰富的研究成果，如Murphy[4]以一类无控对称旋转弹为例，创造性地在非旋转弹体坐标系内建立了其动力学模型，并基于线性系统理论，获得了锥形运动的稳定条件。杨树兴等[5]针对一类双通道控制的旋转体制火箭弹，在详细揭示控制交联产生机理的基础上，分别建立了旋转弹在多种类型自动驾驶仪作用下的弹体角运动方程，给出了锥形运动稳定的解析式条件，并指出执行机构的延迟，将严重影响控制回路设计参数的稳定边界。但在单通道控制旋转弹的锥形运动稳定性研究方面，研究成果尚显不足。任天荣等[6]在RAM构型的单通道控制旋转弹飞行实验中，观测到了足以影响性能指标的不收敛锥形运动。Cooper等[7]指出一对鸭式舵面存在的气动不对称，将导致旋转弹出现不收敛的锥形运动，并采用数值方法，给出了其不稳定区域。

本文以Cooper等[7]的研究成果为基础，利用劳斯判据，直接给出了一对鸭舵作用下的单通道控制旋转弹锥形运动稳定条件，并采用数值仿真进行验证，为单通道控制旋转弹的锥形运动稳定性研究提供了另一种思路。同时，本文还修正了参考文献[7]中的部分疏漏，研究成果对于单通道控制旋转弹的转速设计具有重要参考价值。

1 单通道控制旋转弹的动力学特性

1.1 坐标系的定义

对于单通道控制的旋转弹来说，由于其一对鸭舵的相位角之差为180°(大于2π/3)，将不能忽略弹体旋转引起的气动不对称性[8]。为了描述这种不对称性对其角运动的影响，需要在随弹体旋转的弹体坐标系(简称为弹体坐标系，下同)内建立角运动方程。弹体坐标系的定义可描述为原点O位于弹体瞬时质心，Ox轴沿弹体对称轴，且指向弹体头部为正，Oy轴垂直于弹体对称面，Oz轴由右手定则确定，且指向下为正，如图1所示。

图1 弹体坐标系示意图Fig.1 Sketch of body coordinates

1.2 动力学模型

采用Cooper等[7]建立一对鸭舵控制旋转弹的动力学建模方法，假设：

(1)弹体速度、转速、质量以及空气动力系数在小段时间内均保持不变；

(2)小角度假设，即有sinα=α，cosα=1，u≈V；

(3)攻角和侧滑角可近似用式(1)计算：

(1)

由此得单通道控制旋转弹的线性化角运动方程：

(2)

其中，系统矩阵T可表示为

A=πρD3CNA/(8m)，B=πρpD5CYPALMAG/(16ITV)

C=πρD4CNALCO/(8IT)，E=πρD5CMQ/(16IT)

F=pDIX/ITV，V2=-πρD3CNAC/(4m)

V3=πρD2ΔxcCNAC/(4m)，M2=πρD4ΔxcCNAC/(4IT)

M3=-πρD3Δxc2CNAC/(4IT)

详细的推导过程可参考文献[7]。

式(2)中，V2、V3、M2和M3是非对称气动力的数学表现，如果将此4项设为0，就是对称气动布局旋转弹的六自由度运动方程；δ为正弦式鸭舵偏转函数，可表示为

δ=Δsin(kt),Δ=10°

(3)

分别对对称旋转弹(同时忽略非对称气动力和式(2)右边第二项表示的非对称控制力)、固定鸭舵旋转弹(仅仅忽略非对称气动力)和具有活动鸭舵旋转弹(完整式(2))的角运动特性进行数值仿真。选取转速p=30 rad/s，控制频率k=p。

图2为上述3种情况下的角运动特性曲线，为便于观察，将攻角和侧滑角在非旋转弹体坐标系上表示。非旋转弹体坐标系上的攻角αN和侧滑角βN可通过弹体坐标系上的攻角α和侧滑角β变换得到，变换公式为

(4)

式中αN和βN为非旋转弹体坐标系内的攻角和侧滑角；φ为弹体滚转角。

(a) 对称旋转弹 (b) 一对固定鸭舵旋转弹 (c) 一对活动鸭舵旋转弹

图2 旋转弹的角运动特性

Fig.2 Angular motion of spinning missiles

由图2可见，在同样的初始条件下，完全忽略气动非对称性时的稳态攻角为0°，仅仅考虑固定鸭舵产生的非对称气动力时的稳态攻角约为2°，正弦式鸭舵造成的稳态攻角约为3°。即对于这类一对鸭舵控制下的单通道旋转弹来说，气动非对称性对其角运动特性具有重要影响，在研究其角运动特性时，必须考虑其气动非对称性。基于线性系统稳定性理论，可将式(2)右端第二项看作受迫扰动，通过系统矩阵T来考察其稳定性。

2 锥形运动稳定性分析

2.1 稳定条件

由式(2)，系统矩阵可表示为如下格式：

(5)

特征方程可写作：

Δ(λ)=b4λ4+b3λ3+b2λ2+b1λ+b0

(6)

式(6)中，各项系数如下：

(7)

根据劳斯判据，可得系统稳定的解析式充要条件为

(8)

由式(2)、式(5)、式(6)及式(7)可看出，对于指定的单通道控制旋转弹来说，b4、b3、b2、b1和b0都是转速p的函数，可将式(8)所示的锥形运动稳定条件等价为锥形运动稳定情况下的转速取值范围。

将表1所示的某型单通道控制旋转弹的特征参数代入式(8)，经转换可得，锥形运动稳定条件下的转速范围为

(9)

为验证上述求解方法的正确性，选取不同的转速进行数值仿真，相应的角运动特性如图3所示。可看出，在p=12 rad/s时，旋转弹的角运动在短时间内快速发散，系统不稳定；在p=30 rad/s时，旋转弹的角运动在一段时间内收敛，系统稳定；在p=80 rad/s时，旋转弹的角运动逐渐发散，系统不稳定。对比p=12 rad/s和p=80 rad/s时的发散速度，可推测系统这两种转速情况下具有不同的特征根实部，且p=12 rad/s时的特征根实部明显更大。

表1 弹体参数Table1 Parameters of a spining missile

(a)p=12 rad/s (b)p=30 rad/s (c)p=80 rad/s

转速p与特征根实部的关系如图4所示。其中，慢模态曲线的尖点对应虚部为零的情况。需要指出的是本文快、慢模态的变化趋势与文献[7]不同。经分析可知，快模态的衰减幅度较大。所以，其实部绝对值应该大于慢模态实部绝对值，而不是文献[7]中的慢模态实部绝对值大于快模态实部绝对值。

图4 快模态和慢模态特征值实部vs转速pFig.4 Real parts of fast and slow modes vs spin rate p

根据线性系统稳定的充要条件是系统特征根的实部为负数可知，在转速满足0

2.2 控制频率对稳定性的影响

图5 控制频率k与全攻角曲线图Fig.5 Change of full angle of attack with control frequency k

同样，与文献[7]不同，本文所得结论是当控制频率k在慢模态衰减频率附近时，将引起系统强烈的共振不稳定。从过渡过程角度分析，慢模态运动将主导过渡过程，故本文结果更符合物理事实。因此，在选择旋转弹的控制频率时，要避开慢模态运动的衰减频率，以避免系统出现共振不稳定。

3 结论

(1)本文通过数值仿真，揭示了单通道控制旋转弹的气动非对称性对弹体角运动特性的影响规律，一对正弦式鸭舵造成的稳态攻角约为3°。

(2)通过劳斯判据，给出了解析形式的锥形运动稳定条件，该稳定条件可方便的等价为锥形运动稳定情况下的旋转弹转速范围，为单通道控制旋转弹的锥形运动稳定性研究提供了另外一种思路，不同转速下的数值仿真结果证明了该方法的正确性。

(3)单通道控制旋转弹的锥形运动不稳定主要表现为慢模态运动的失稳，当控制频率k在慢模态衰减频率附近时，将引起系统强烈的共振不稳定。

[1] Morote J,Liao G.Stability analysis and flight trials of a clipped wrap around fin configuration[C]//AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit.Providence,Rhode Island,August 2004.

[2] 赵良玉,杨树兴,焦清介.提高卷弧翼火箭弹圆锥运动渐近稳定性的几个方法[J].固体火箭技术,2010,33(4):369-372.

[3] Yan Xiao-yong,Yang Shu-xing,Zhang Cheng.Coning motion of spinning missiles induced by the rate loop[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2010,33(5):1490-1499.

[4] Murphy C H.Free flight motion of symmetric missiles[R].U.S.Army Ballistic Research Laboratories,Rept.1216,1963.

[5] Yan Xiao-yong,Yang Shu-xing,Xiong Fen-fen.Stability limits of spinning missiles with attitude autopilot[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2011,34(1):278-283.

[6] 任天荣,马建敏.基于陀螺力学的旋转导弹锥形运动分析[J].宇航学报,2010,31(9):2082-2087.

[7] Cooper G,Fresconi F,Costello M.Flight stability of an asymmetric projectile with activating canards[J].Journal of Spacecraft and Rockets,2012,49(1):130-135.

[8] Murphy C H. Angular motion of spinning almost-symmetric missiles[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1979,2(6):504-510.

(编辑：吕耀辉)

Research on coning motion stability of a spinning missile with one pair of canards

SHI Zhong-jiao1, XIE Hao-yi1, LIN Wei2, ZHAO Liang-yu1,3

(1.School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2.China North Industries Corp., Beijing 100053, China;3.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle, Ministry of Education, Beijing 100081, China)

The coning motion is a basic angular behavior of spinning missiles,and the research on the stability of coning motion has been the heated topic in the field of spinning missle.The linearized 6-DOF equations of angular motion for a spinning missile with one pair of canards were established in the rolling body frame. The influence of aerodynamic asymmetry due to the canards on the angular motion was revealed via numerical simulations.The analytical stability condition of coning motion was given by Routh criterion, which can be transformed to be an equivalent of rotation rate with stable coning motion. Simulations under different spinning rate demonstrate that the stability condition was reliable.In the case of a given spinning rate,the sinusoidal canard with activating frequency in the neighborhood of the slow mode can induce strong resonance instability.The research results can provide references to the system design, guidance and control design of spinning missiles with one single pair of canards.

spinning missiles;aerodynamic asymmetry;stability;coning motion;canards

2014-04-12；

：2014-05-21。

国家自然科学基金项目(11202023)。

石忠佼(1991—)，男，硕士研究生，研究方向为飞行器动力学与控制。E-mail:371088433@bit.edu.cn

赵良玉(1981—)，男，博士/副教授，研究方向为飞行器总体设计。E-mail:zhaoly@bit.edu.cn

V411

A

1006-2793(2015)02-0156-04

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.002