加强直觉思维训练提高学生数学能力

陈菊芬

【内容摘要】有效地培养和运用数学直觉思维，可以开发学生的智力，形成学生良好的思维品质。本文结合初中数学教学实践，阐述了加强直觉思维训练，提高学生数学素养的问题。

【关键词】直觉思维 数学训练 能力培养

数学直觉是一瞬间的思维灵感和顿悟，虽然表现形式高度简化，却是人们长期积累的一种思维升华。数学直觉思维让学生有清醒的自我意识、恰当的自我分析、及时的自我调整，努力减少解决问题过程中的盲目性，增强自觉性，从而使得问题得以顺利地解决，有助于学生数学学习能力的提高，而更大的效果是培养学生的创新精神和创造能力。在初中数学教学中，逻辑思维与直觉思维是不可割离的数学思维，而教师往往重视学生数学逻辑思维的培养，却常常忽视培养学生的直觉思维，甚至把两者割裂开来，这样就在无意中限制了学生的直觉思维的运用，忽视学生有创造性的见解。因此，我们教师应该加强学生的直觉思维，提高学生的综合数学能力。

一、恰当设置教学情景，促进学生整体思考

对学生来说，对于意识孕育成熟的课题，深入钻研，将心理活动推向高潮，形成“挥之不去，驱之不散，才下眉头，又上心头”的思想白热化状态，也就形成了一触即发的待发势态，从而激起题感和丰富的联想。就教师而言，在实施有效的时标和效标的调控下，要充分发挥感情动力的呼唤功能，具体动作时可采用如下方式创设学生的创造心境：（1）角色转换；（2）问题变更；（3）激发联想；（4）奇异刺激；（5）美感诱发；（6）点示哲理等。心理学研究表明：情感是人的意识和潜意识行为最深层的动力因素，它能使人的注意、感知、思维倾向于某一研究对象，促使其潜能得到最佳发挥。例如在《多边形》的教学中，我先让学生欣赏如下图之类的一些图片，让学生在美的享受中启迪心灵，引起精神的升华，调动学生大脑对世界的直接洞察。我借机又给学生课后布置了一个题目：你们能否从中得到启发，比蜜蜂更高明，先在自己的头脑中建筑自己的“蜂房”，再把它画出来，或者利用更多的几何图形设计更富有寓意的图案？学生热情异常活跃，设计了很多出乎意料的图案，让人惊叹，发挥了他们的创造性，从而最大程度地发挥了其直觉思维。

二、引导发现内在联系，帮助寻找直觉思维点

1.利用概念特征

许多数学题中有明显的数学概念，利用概念很容易产生直觉思维，进行简捷解题。例如对于一些容易混淆的概念，单靠教师的灌输强记，往往难以达到预期的教学效果，而通过类比的方法，将概念的本质属性用最集中、最精确的形式显示出来，学生就会在鲜明的对比中澄清对概念的模糊认识。如学生初学“幂”这个概念时，常与“乘方”混淆，教师可设计下列板书：

幂：乘方运算的结果；积：乘法运算的结果；和：加法运算的结果

通过对比，学生能利用原来对“加法——和”、对“乘法——积”的概念的理解来理解“乘方——幂”关系，从而顿悟这两个概念的联系与区别。

2.利用数字特征

数字在数学题中大量存在，仔细观察数字，把握其中特征，这些数字往往预示着解题的途径和方法。

3.利用结构特征

有时题设条件不易直接代入或直接应用，可进一步观察其结构是否有内在联系，借助于结构特征，有时可找到捷径。例如求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。在解这题之前学生必须有五种方法常用的判定三角形全等（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）的方法灵活的应用。首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。一题解毕应引导学生进行解题回顾：5个（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）在这些方法的条件中都至少包含一条边。还要探讨多种解法：引导学生对图形的结构和角度数特征进行分析。经过一段时间的探索，学生突然提出新方案——换另一条边证明等。

4.利用条件暗示

有些数学题条件非常明了，利用已知条件可以很简捷地得出结论；而有的数学题，结论与条件没有明显的内在联系，要得出结论有点儿摸不着“路”，此时不妨从已知条件去考虑。例如在《垂直于弦的直径》这一课教学时，我出示：

已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为_____。（2或14）

学生一看题目，感到奇怪：“为什么这个题目没有图形？”直觉告诉他们：图形可以任意画出来，或者有不同的画法而不影响对题目的解答。当大家都画好后在认真解题的时候，他们又感到奇怪：“弦AB很快可以画出来了，弦CD到底画在哪里好呢？”带着这些惊奇，他们有了不同的想法：“画在圆心的同一侧”；“画在圆心的不同侧”；“有两种情况，一种是画在圆心的同一侧，另一种是画在圆心的不同侧。”这个问题带给学生惊奇，随着这些“惊奇”的扩大，黑板上出现了如下两个图形，问题最后得到了解决。只有思维周密的人是最正确的！

5.利用结论特征

有时解题很难从题设入手，但若以结论特征去考虑，可很快找到解决问题的突破口。

6.利用数形结合

教科书中渗透着大量的数形结合思想，从数轴开始，就非常重视学生这方面思维的培养，充分运用数形结合，利用数式特征和几何图形提供的直觉信息相结合，往往可以找到解题的新思路。

例如：观察反比例函数y= 的图象，回答下列问题：

（1）写出A1和A2的坐标

A1（2，___）和A2（-2，___）

（2）分别过点A1和A2作x轴的垂线，垂足分别

是B1和B2，则下列说法正确吗？为什么？

①OA1=OA2

②∠A1OB1=∠A2OB2

③点A，O，A在同一直线上。

本题对于初学函数的八年级学生来说，有了一定的难度，他们对于函数比较熟悉的是由已知条件利用待定系数法求解析式，进而求出函数值，而对于数形结合则比较陌生，此时，我们只要启发学生从要说明的几何形式的结论出发，或从A1和A2两点的坐标特点分析，前者是图中存在的两个三角形的边和角，而通过三角形全等证明边和角相等是学生知识储备中的基础，只要具备了这一知识，本题就极易解决了；若从坐标特点来看，只要具备轴对称（尚未学中心对称）知识，把OA1关于x轴和y轴进行两次轴对称变换就能得到OA2，问题也就解决了。进而可向学生渗透数形结合是解决函数题最常用的一种数学方法。

7.运用“类比联想”

数学类比联想是将两个或两个以上数学现象进行对照，交合类比，找出它们在某一方面的类似点，从而把其中一个数学对象的有关性质，移植到另一数学对象中去，引起联想，在不同对象中找到相似和相异的地方，通过直觉思维，在类比中联想。正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”在《方差》这一节教学时，我出示题目：农科院为了选出适合某种种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种各用10块试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量如下表，根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议呢？

学生一看到这种问题，学生的直觉就是用平均数和极差，这两种计算比较简单，而学生刚刚学了极差，所以他们就很容易想到，于是他们得到了以下结论：

极差甲=0.25，极差乙=0.14

这两组数据的平均数与极差显然都不一样，如果根据平均数，学生会选择甲，根据极差，学生会选择乙，所以在课堂中就产生了两种不同的意见，这样就在比较中产生了直觉冲突，让学生更有学习新内容的意愿与求知欲望，为进一步培养学生的直觉思维奠定基础。

学生做完上题后，有一个学生问：“老师，既然利用方差也是可以比较的，那为什么我们平时考试的成绩不用方差来衡量，而都是用总分或平均分呢？”我说：“这个问题问得很有水平！”于是我就借机出示下题：

例题：为了从甲乙两人中选拔一人参加初中数学能力竞赛，每个月对他们进行一次测验，如图给出了两个人赛前的5次测验成绩。如果你是他们的辅导老师，应该选派哪位学生参加这次竞赛，请你结合图形简要说明理由。

在比较中让学生产生了广泛联想，开阔思路，并解决了学生的疑问，同时让学生产生一种直觉习惯，他们会对方差、平均数和极差进行区分，并加以灵活地应用，达到了教学目的，培养了学生的直觉思维。

三、妥善安排直觉阶段，留足直觉思维空间

杨振宁教授说到自己成功的秘诀时说：“我到芝加哥大学攻读博士学位，学到一种完全不同的学习方法。老师要你注意的不是最高原则，而是一个新的现象，抓住这些现象进行探索、研究、归纳总结。”在数学教学中，应尽可能在着重讲明基本概念、观点及提示有关材料基础上，充分利用学生的各种经验，把寻求解决问题的方法的任务交给学生，从而激发其探索精神，使其直觉思维、创新思维得到培养。

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x+z=2y。

分析：整体考察可知，已知等式为x的一元二次方程。直觉猜想：解关于x的方程可以得出所要证明的结论。

证明：由已知等式得：x2+2（z-2y）x+（z-2y）2=0

于是有（x+y-2z）2=0

故x+z=2y。

例2：如图，在以AB、AC为腰的等腰△ABC外一点D，满足AD= AC，若∠BAC=40°，求∠BDC的度数。

分析：常规解法涉及到角的一系列运算，没有较强的变形能力，往往难以顺利求出结果。这时，教师可引导学生对几何图形整体观察，整体思考，从AB=AC=AD很快就有学生发现B、C、D三点在以点A为圆心，AB为半径的圆上，敏捷洞察到图形的本质，已知与未知立即沟通，于是∠BDC= ∠BAC=20°

学生的学习过程是自主建构知识的过程。每个学生的经验、知识背景都不尽相同，对同一个问题的直觉思维判断结果也不会完全相同。尖子生的直觉思维可能更严密些，后进生的直觉思维可能更奇异些，中间生的直觉思维可能更飘忽一些，教学中重点抓几个典型、重视各方面的意见，往往能更好地培养他们的直觉思维能力。

四、形成直觉判别意识，养成总结反思习惯

直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式。在数学中，直觉的判别是指人脑对客观存在的数学对象、数学现象、数学过程、数学系统的结构、特征、规律等等的一种迅速的识别、直接的理解和整体的判断。在解决数学问题时，提倡学生动用大脑中的全部知识，运用类比、联想、猜想等，充分发挥想象力，从宏观上对问题进行整体分析，抓住数学问题的框架结构和本质关系，弃掉一些次要因素的影响，确定解题的总体思路和途径。

教师鼓励学生凭直觉大胆地进行猜测，先理出大致的总体的思路，再具体着手推理、运算。同时，教师要不断地纠正学生这样的坏习惯：一拿到题目，匆匆读完后就进行具体的运算，只要能算出具体的数值就算出来再说，有了这种坏习惯的学生往往只见局部不见整体，解题时手忙脚乱，经常忙了很长时间后，才发觉是错的，由于考试时间有限，每道题目都蜻蜓点水般几个简单的得数，感觉每道题目都会点，就是不能得分。作为教师，应该使学生养成这样的好习惯：在理清思路后，运用所学知识、性质、定理、方法列出数学方程或代数式，然后作出评价判断，判断所列方程或代数式是否正确，判断问题所包含的数学情景是否都已经表达出来了，判断所列方程或代数式是否可解，判断是否还有补充方程或代数式，最后才是具体运算。

徐利治先生说：“数学直觉力的培养应成为数学教育的重要的内容之一”。而学生的数学直觉思维不是一朝一夕就能形成的，要根据学生的实际情况，通过各种有效的培养方式，坚持不懈，持之以恒，形成有效培养学生直觉思维的策略，并提高学生的思维素质，提升课堂教学的实效性。

【参考文献】

[1] 罗增儒、钟湘湖. 直觉探索方法[M]. 大象出版社，2009.

[2] 赵思林、朱德全. 试论数学直觉思维的培养策略[J]. 数学教育学报，2010（1）.

[3] 陈建. 初中数学教学中学生直觉思维能力的培养[J]. 数理化解题研究，2013（6）.

（作者单位：浙江台州市天台县实验中学）