随机事件的概率

本知识点主要考查随机事件的概率求解，对于文科考生来说重点是古典概型的概率求解，且随机事件所含的基本事件数及基本事件总数只要求会用列举法求得即可，但对理科考生来说不仅要达到对文科考生的要求，还要会用排列、组合的相关知识求随机事件所含的基本事件数，尤其是条件概率对理科考生来说难度较大. 高考中选择题、填空题、解答题均有可能出现概率问题，难度属中等偏难.

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式.

（3）理解古典概型、几何概型及其概率计算公式.

（4）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率具有的以下几个方面的性质非常重要：0≤P（A）≤1；P（A）=1-P（ ）；若A，B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；若A，B相互独立，则P（AB）=P（A）·P（B）；P（BA）= . 这是解决概率问题的关键. 另外，古典概型的概率求解一般按以下步骤进行：①先求出基本事件总数；②再求出事件A所包含的基本事件数；③最后利用公式P（A）= 求得概率. 几何概型与古典概型的共同点是每个基本事件出现的可能性都是相等的，区别是试验中所有可能出现的基本事件有有限和无限之别. 显然求概率P（A）最为关键之处是“求事件A所包含的基本事件数”. 无论是用列举法还是用排列、组合有关知识来求解，务必保证所有可能的结果不重不漏，否则就会出错.

例1 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图5所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求x和y的值；

（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.

甲 乙

8 9 7 6

5 x 0 8 1 1 y

6 2 9 1 1 6

图5

破解思路 此题第一问考查的是平均数、中位数的运算，第二问考查的是随机事件的概率求解. 此问的概率求解，依据随机事件概率求解公式，先求基本事件总数，再求事件“甲班至少有一名学生”所包含的基本事件数，两个事件的求解都是利用列举法求得. 注意列举时，有规律地列举是保证不重复、不遗漏的前提. 此题还可以利用概率性质P（A）=1-P（ ）来求，即“甲班至少有一名学生”的概率等于1与“乙班有两名学生”的概率的差. 当复杂事件所包含的互斥事件较多时，用对立事件解决较为简便，这就是“正难则反”的思想，特别适合于“至多”“至少”型问题.

答案详解 （1）甲班学生的平均分是85，即 =85. 所以x=5. 因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y=3.

（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E. 从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）. 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）. 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则P（M）= .

例2 有七名同学随机地站成一排照毕业纪念照，则甲恰好站在正中间，并且乙、丙两位同学站在一起的概率为________.

破解思路 此题先求基本事件的总数，再求事件“甲恰好站在正中间，并且乙、丙两位同学站在一起”所包含的基本事件数，都需要利用排列、组合的知识来求解.

答案详解 七名同学随机地站成一排照毕业纪念照，共有A 种不同的站法，其中事件“甲恰好站在正中间，并且乙、丙两位同学站在一起”包含的基本事件数可以这样来计算：首先将乙、丙绑定在一起，站法有A A 种；然后将甲排在中间位置，但此时有不符合条件的情况，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间，应去掉，共有A ·A 种，则符合条件的站法有A ·A -A ·A =192种，故所求的概率是 = .

1. 某校从年度优秀的6位老师中选出4人分别到黄山、九华山、天柱山、齐云山四座名山游览，要求每座名山有一人览，每人只能游览一座名山，则这6人中甲不去黄山、乙不去九华山游览的概率为______.

2. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者. 现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图6所示.

图6

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，则应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.endprint