小概率原理在实际生活中的应用

赵彦玲

（郑州工业应用技术学院，河南 郑州 451100）

随着社会的不断进步和发展，社会生活在经济、气象、交通、医学等不同领域已经越来越广泛地使用概率论与数理统计的相关原理来发现问题、分析问题和解决问题.而小概率原理作为概论中一个基本而又重要的原理，也在生活的方方面面被广泛应用.通过研究小概率原理来发现小概率事件的基本规律，进而掌握避免或促使小概率事件发生的方法，将会给人们的生活带来更多的便利.

1 小概率原理

伯努利大数定理的独立实验中，设定事件A发生的概率为P(A)=p，那么在n次试验中事件A发生的频率为fn(A)，刚试验次数达到无穷多次时，概率向着事件A的概率p收敛，这对于任何一个正数ε，都有：

从伯努利定律可知，事情会发生的频率fn（A）向着事件A发生的概率p收敛.换句话说，当为n接近无穷大时，事件A发生的频率与其发生的概率之间的偏差越来越小.那么如果事件A本身发生的频率就很小，当P（A）=0.001时，也就是说试验1000次，事情A发生的次数才是1次.因此，如果今天试验1次的话，小概率事件A发生的可能性是非常小的.在概率论中，这种事情被称为实际不可能事件.在1次试验中，这种实际不可能事件发生的可能性非常小，这即为小概率原理，又叫做小概率事件的实际不可能性原理.小概率原理是人们在长期的生活实践中总结和归纳出来的一条具有较强实用性的原理，它同样是用来统计接受假设还是假设检验决定推翻的重要依据.

2 小概率事件的定义

概率是一个用来形容某一事件发生可能性大小的数量指标.在概率论中如果某一个事件发生的概率接近于0，那么我们就称这个事件为小概率事件.比如说买彩票中大奖是小概率事件汽车，抛锚是小概率事件，吃鱼被鱼刺卡到、所乘坐的飞机出现故障灯都是小概率事件.一般来说，如果某一个事件发生的概率小于0.05，那么我们就可以把这个事件成为小概率事件.而在一些特殊的场合或实验中，如果某一事件产生的后果非常的严重，如沉船或飞机失事等事故，一般会采用0.01或0.005这两小概率标准对事件进行衡量，如果事件发生的概率小于0.005或0.01，也可以把这种会带来严重后果的事件被称为小概率事件.

例如说关于某地近百年来水文资料的数据表明，此地仅发生过一、二次洪峰，然而在建设普通人行便桥时，如果发生极大洪峰的事件，即使此时发生的概率不超过0.02，它也是小概率事件.但是针对发射宇宙飞船的事件，因为发射100次就会有一、二次失败，所以即便发射失败的概率小于0.02，发生宇宙飞船发射失败也不是小概率事件.总之，小概率事件就是发生概率非常小的事件，但并不代表它是永远不会发生的事件.因为无论某一个事件发生的概率有多小，都说明它存在发生的可能性.因此，小概率事件发生概率小于或等于0的情况是永远不会存在的.

3 小概率事件与不可能事件之间的区别

小概率事件由于其发生的概率非常小，因此经常被人们将其与不可能事件发生混淆.然而就二者的本质来说，它们之间是存在区别的.小概率事件虽然发生的可能性非常小，但是在长期的试验中，它也是有机会发生的，小概率事件发生的概率是中大于0.然而不可能事件是指从头到尾都不可能发生的事件，它发生的概率为零.比如说某个人同时在甲地又在乙地，这是自相矛盾的，是一个不可能事件.唐山没有发生过大地震是对历史上发生事件的否定，也是对必然事件的否定，那么这个事件发生的概率自然为零.

然而对小概率事件而言，不管只概率有多小，当试验次数达到无穷多次时，小概率事件中终究会发生，并且随着试验次数的不断增加，其发生的次数也会增加.而不可能事件是指无论试验次数有多少，事件终究不会发生.这就是小概率事件和不可能事件在本质上的区别.

4 小概率原理在实际生活中的应用

在实际生活中，由于人们在心理因素和综合素质等方面存在的差异，导致对小概率事件通常持有不同的反应和态度：有的人认为小概率事件在一次试验中是不可能发生的，如果发生了就不可能是必然现象，而是因为必然有某些偶然因素的存在.这就在一定程度上解释了，为什么人们明明知道飞机可能失事，仍然选择乘坐飞机出行的原因.还有一部分人坚信小概率事件是会发生的，如人们虽然知道买彩票中奖的概率几乎为零，但是人们仍然保持着较高的购买热情.这一方面可以理解成一部分人愿意为体育和福利事业做出贡献，但绝大部分人还是希望中奖这个小概率事件可以在尽可能少的试验中发生.

在实际生活中有很多事情发生的可能性非常小，然而正是因为其较低的发生概率，常常得不到人们的足够重视.在小概率事件中有两个重要的结论可以用于指导人们的实际生活.第一个是实际推断原理，就是说在一次实验中小概率事件发生的可能性是非常小的，或者说是几乎不可能发生的.如果发生概率非常小的事件在仅有一次的试验中发生了，那么我们就可以对假设前提的正确性提出质疑.例如，某加工厂加工产品的次品率低于0.5%，在一次抽查中，如果在产品中任意抽出200件产品就发现了5件次品，依据贝努利大数定理可以计算出在任意抽取的这200件产品中有5件次品发生的概率为：

按理来说，发生概率如此小的事件在一次抽查中应该不会发生的，但它确实发生了，根据实际推理原理，我们就有理由对该厂称自己的产品次品率小于0.5%进行质疑，而认为其次品率应该是大于0.5%.

对于小概率事件在实际生活中应用的另一个结论是，无限次数的重复某一种试验，小概率事件早晚会发生.例如，我们假设某一项试验A发生的概率大于0，则在n次试验中小概率事件发生的概率为：

P(Ak)=ε当实验次数 n达到 ∞ 时，事件A的概率越来越趋向于1，而成为一件必然事件.这就说明不管是发生概率多么小的事件，在多次试验中必然会发生.也就是说，在实际生活中我们一定要对小概率事件引起足够的重视.一件事看起来发生概率很小，几乎不可能在实际生活中发生，但在大量的重复之后其发生的可能性会越来越大，这就需要我们在实际生活和工作中一定要具备对具有危害性小概率事件发生的警惕心理并随时准备采取必要措施.在工作过程中，特别是从事具有一定风险的工作，无论他们的工作技能多么娴熟，时间久了以后也有可能会出现试过.俗话所说，“常在河边走，哪有不失鞋”、“天有不测风云，人有旦夕祸福”、“天网恢恢，疏而不漏”这些谚语都说明了概率再小的小概率事件在长期的重复中都有可能或必然会发生.

下面，笔者将通过几个生活中的典型案例，来进一步分析小概率原理在实际生活中的具体应用：

例1 现在很多人出行选择乘坐飞机，有关部门调查表明乘坐飞机是事故发生率最小的出行方式.人们之所以认为乘坐飞机是非常放心安全的，是因为“飞机失事”这个事件发生的概率是非常小的，可以说飞机失事是一个小概率事件，飞机在一次飞行过程中，几乎不会发生失事事故.但在长期的飞行的前提下，飞机发生不发生失事事故时概率为0，一旦发生了事故概率就是1，并且飞机一旦发生事故，几乎所有的人都会遭遇罹难.如果飞机在使用过程中没有定期进行检查修和维修，其发生事故的概率会逐渐增大.因此，为了将“飞机失事”这个小概率事件发生的可能性降到最低或排除其发生的条件，国家有关部门要求飞机必须定期进行检修并且要求具备雷达全程监控系统，以尽可能将“飞机失事”这个小概率事件控制在不发生的范围之内.在我们的生活中，具有很多这种具备危害性小概率事件的例子.它们发生的概率小之甚小，只要我们能够采取措施排除其发生的条件，就可以充分的利用小概率原理，避免小概率事件在长期试验的过程中发生.

例2 在实际生活中经常存在“会面问题”，如甲乙两人约定在下午三点到四点之间在城市广场见面，两个人可以分别在这一个小时之内的任意时刻到达指定地点，这个事件A“甲、乙两人在同一时刻到达”的概率有多大？

这是一个典型的用概率问题来解决实际生活中问题的例子.我们可以先假设甲乙两人到达城市广场的时刻分别为X 、Y，则根据集合概型中求概率的方法可以得知，事件A的度量|A|=0，即P（A）=0，也就是说事件A还是有可能发生的，所以说甲、乙两人在同一时刻到达城市广场并不是一件不可能事件，而应该叫做实际不可能事件.

总而言之，作为数学的一个重要分支，概率论越来越多的在企业管理、经济、金融、医学、气象、农业等领域被广泛应用并发挥重要作用.小概率事件原理在人们的实践生活中应用也非常广泛的.我们既要认识到小概率事件在一次试验中不可能发生的事实，又重视小概率事件在无数次实验中有可能发生的存在.要合理的运用小概率原理，做好准备、采取措施，将具有危害性的小概率事件发生的可能性降到最低，以减少其带来的负面影响.

〔1〕毛纲源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M].华中科技大学出版社，2003.65-80.

〔2〕张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.13.

〔3〕马洪宽，张华隆.概率论与数理统计[M].上海：上海交通大学出版社，2007.

〔4〕马小霞.有关小概率原理的分析和应用[J].淮南师范学院学报，2006，8（39）.

〔5〕何超.关于概率为零的事件和不可能事件[J].科技论坛，2006（04）：34.