波面位移非线性特征数值研究

韩晓鹏 , 宋金宝

(1.中国科学院海洋研究所, 山东 青岛 266071; 2.中国科学院大学, 北京 100049)

海表面波面模拟和建模方法主要有3种[1]: 第一种是基于物理方法, 即从海浪的物理特性出发, 通过求解流体所满足的 Navier-Stokes方程, 获得流体质点在各个时间的运动状态; 第二种是基于海浪谱的建模方法, 即利用海浪统计和经验模型合成不同的正弦波, 来获得海面的仿真效果; 第三种是基于几何方法, 即通过构造一定的数学函数来模拟水波的外形, 合成一个海洋表面图像。由于基于海浪谱的建模方法物理概念清晰, 计算方便迅速, 且模拟结果和实际海浪吻合度高, 而得到广泛应用。

基于海浪谱的海浪建模方法是指采用适当的海浪谱模型模拟海浪。经典的线性模型将海浪视为由多个不同振幅、不同角频率和不同随机位相的波迭加而成, 这样形成的波面位移的统计分布满足正态分布[2], 但对实际海浪而言, 由于不同组成波之间的非线性相互作用而导致其统计分布偏离正态分布,尤其是在浅水的条件下[3-4]或者是在深水中具有较大陡波[5-7]时。 Longuest-Higgins[8]根据弱非线性理论,给出了非线性波面统计模型, Song[9]在有限水深且有均匀背景流场条件下, 根据摄动方法导出波面位移二阶表达式, 这个表达式是 Sharma和 Dean[10]导出波面位移二阶表达式在均匀背景流场中的推广。本文根据 Longuest-Higgins模型[8]和 Song给出的结果[9], 采用 Combi海浪频谱[12], 通过模拟和计算定点波面位移线性项和二阶非线性项时间序列及其波面位移概率密度分布, 分析了不同海况条件下波面二阶非线性项的特征及其随风速、水深、反波龄和均匀背景流的变化规律。

1 定点波面位移的计算方法

考虑二维随机海浪在有限水深且有均匀背景流的环境中传播, 假设流体是均匀、无黏、不可压缩和无旋的, 背景流场速度方向平行于x轴(x轴沿风速方向), 根据 Longuest-Higgins[8]非线性波面模型,Song[9]导出的定点波面位移表达式为

其中,

这里η1和η2分别表示一阶波面位移项和二阶波面位移项,η表示总波面位移, 它为η1和η2的和,ai为第i个波分量的振幅,bi=ai( 1 - (kiU/ωi))为加入背景流场影响后的振幅,ωi为角频率,ki为波数,ψi=kix-ωit+εi,x表示水平一维坐标,εi代表随机位相, 如果εi是独立的随机变量且均匀分布于(0,2π), 则线性波面位移η1满足高斯分布。U表示均匀背景流场的流速,h表示水深, 频散关系为(ωikiU)2=gkit anh(kih)。

为了下面讨论方便, 我们定义

其中,为波面位移统计平均值,的方差为σ2, 表面波能量为在随后讨论中,我们选取参数λ3(偏度)和λ4(峰度)作为波面位移统计特征量, 研究不同风速、水深、反波龄和不同均匀背景流条件下波面的特征和变化规律。

根据以上波面位移二阶表达式, 选取JONSWAP谱的修正形式 Combi谱[12], 谱的最大频率取为谱峰频率的 10倍, 模拟定点波面位移。Combi谱的形式为

这里,fp=gΩ/2πU10为谱峰频率,Ω表示反波龄,U10表示海平面上 10 m 处的风速,α=0.006Ω0.55表示平衡域常数,ft=2.5g/πU10为跃迁频率,σ= 0.08[1 + 4Ω-3]为谱峰宽度,γD为增长因子,其形式为

同时, 由于随机相位εi会对单次模拟的波面位移产生影响, 这里采用重复模拟多次波面位移, 对其进行多次平均, 以达到消除随机位相εi影响的目的。

2 波面位移随风速、水深、反波龄和均匀背景流的变化

2.1 二阶非线性项的特征

首先考虑波面位移中二阶非线性项的特征, 采用公式(7)表示的 Combi谱, 这里选取风速为 5 m/s,水深为5 m, 反波龄为0.833 3, 在忽略背景流场的条件下, 分别模拟线性项波面位移的时间序列和总的波面位移的时间序列, 其相应波面位移的概率密度分布见图1。

图1 风速5 m/s, 水深5 m, 反波龄为0.833 3, 忽略背景流场的条件下, 定点波面位移的概率密度分布Fig.1 The probability density functions of wave surface elevation for wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, an inverse wave age of 0.8333, and no background current

根据图1, 二阶非线性项使得总的波面位移分布偏离于线性波面位移所满足的正态分布, 与正态分布相比, 波面位移分布范围变大, 最大概率密度值降低且对应的波面位移值降低, 产生大的波面位移的概率增加, 且波峰对应波面位移大于波谷处的波面位移, 使得波面概率分布具有明显的非对称特征。

2.2 波面位移概率密度分布随风速和水深的变化

为了能够更好地了解二阶非线性项对波面位移统计分布的影响, 我们引入无量纲波面位移可以得到ξ的平均值为 0, 标准偏差为1。同时得到归一化的波面位移概率密度分布P(ξ)与波面位移的概率密度分布f(η)满足关系式

通常情况下P(ξ)偏离高斯分布, 这些差异通常用偏度和峰度来表示[14]。偏度λ3是一个表征波面位移垂向不对称性的统计量,λ4表示波面位移分布相对于标准分布的峰度。

首先考虑完全发展的海况, 即Ω= 0.8333, 并且忽略背景流场, 此时波面位移的状态只和风速和水深有关。这里我们只考虑弱非线性条件, 选取风速U10≤ 1 0m/s和水深h≥5m的情况, 其不同风速和水深条件下参数C、E、λ3和λ4的值见表1。对10 m风速U10=5 m/s、U10= 7.5 m/s和U10=10 m/s, 线性波面位移所对应的波浪能量E1的值分别为 0.034 5 m2,0.172 2 m2和 0.543 3 m2。

表1 不同风速和水深下参数C, E, λ3, λ4的值Tab.1 Values of C, E, λ3, andλ4 for various wind speeds U10and water depths h

由表1可以看出, 参数C、E、λ3和λ4在不同风速下随水深的变化趋势相同。在此, 我们只选取风速为10 m/s的情况进行讨论。当水深取为1 000 m时, 波面偏移量C≈0, 峰度λ4≈0, 说明在无限水深条件下波面位移分布相对于正态分布的峰度相同并且平均值为 0, 但是能量E= 0.5605m2,E1=0.5433m2,E≠E1, 并且偏度λ3趋近于常数0.144,说明即使在深水中, 波面位移关于平均水平面垂向分布存在不对称性, 非线性效应也不能完全忽略,二阶非线性项引起的能量和偏度变化依然存在。当水深从1000 m变浅至5 m时, 波面偏移量C的绝对值由0增大到0.040 5, 能量E由0.560 5 m2增大到0.897 7 m2, 偏度λ3由0.143 6增加到1.243, 峰度λ4由0.007 8增大到0.265 1, 并且随着风速的减小, 以上统计量增加的速率变小, 说明随着水深变浅, 波浪变陡, 二阶非线性相互作用增强, 使得平均波面位移逐渐降低, 二阶能量所占总能量的比率增大,波面位移关于平均水平面垂向分布不对称性加剧,无量纲波面概率密度分布峰度增大。不同水深下波面位移的概率密度分布见图2, 为了清楚起见, 这里只给出了h=5 m, 7.5 m和100 m三种情况下波面位移的概率密度分布。

图2 风速5 m/s, 反波龄为0.833 3, 忽略背景流场的条件下, 不同水深下波面位移的概率密度分布Fig.2 The probability density functions of wave surface elevation for various water depths, wind speed at 5 m/s, an inverse wave age of 0.8333, and no background current

同理, 选取水深为 5 m的情况下讨论不同风速对波面位移的影响。当风速为5 m/s时, 波面偏移量C=-0.004 5, 能量E= 0.0359m2,E1= 0.0345m2,偏度λ3= 0.1646, 峰度λ4= 0.0173。当风速由5 m/s增至10 m/s时, 波面偏移量C的绝对值由0.004 5增大到0.040 5, 能量E由0.035 9 m2增大到0.897 7 m2,E1由0.034 5 m2增大到0.543 3 m2,E1/E的比率减小, 偏度λ3由0.143 6增加到1.243, 峰度λ4由0.017 3增大到0.265 1, 说明随着风速增大, 波浪吸收风的能量增加, 导致二阶非线性波波相互作用加强, 使得平均波面位移逐渐降低, 二阶能量所占总能量的比率增大,波面位移关于平均水平面垂向分布不对称性加剧, 无量纲波面概率密度分布相对峰度增大。不同风速下波面位移的概率密度分布如图3。

图3 水深5 m, 反波龄为0.833 3, 忽略背景流场的条件下, 不同风速下波面位移的概率密度分布Fig.3 The probability density functions of wave surface elevation for various wind speeds, water depth at 5 m,an inverse wave age of 0.8333, and no background current

2.3 波面位移随反波龄的变化

选取风速U10= 1 0 m/s和水深h=5 m, 且忽略背景流场, 计算得到的不同反波龄条件下参数C、E、E1、λ3和λ4的值见表2。当反波龄Ω= 0.8333时,波面偏移量C= -0.040 5, 能量E= 0.8977m2,E1= 0.5433m2, 偏度λ3= 1.2430, 峰度λ4= 0.2651。当反波龄Ω由0.833 3增加到5时, 波面偏移量C的绝对值由 0.040 5减小到 0.000 5, 能量E由 0.897 7 m2减小到0.001 3 m2,E1由0.543 3 m2减小到0.001 2 m2,E1/E的比率增大, 偏度λ3由1.243 0减小到0.143 0, 峰度λ4由0.265 1减小到0.005 9, 说明随着反波龄增大, 二阶非线性项的作用减弱, 使得平均波面位移逐渐回复到静止水面状态, 二阶能量所占总能量的比率减小, 波面位移关于平均水平面垂向分布趋向对称, 无量纲波面概率密度分布相对峰度降低。不同反波龄下波面位移的概率密度分布见图4, 为了清楚起见, 这里只给出了Ω=0.8333,Ω=1和Ω=5三种情况下波面位移的概率密度分布。

图4 风速5 m/s, 水深5 m, 忽略背景流场的条件下, 不同反波龄下波面位移的概率密度分布Fig.4 The probability density functions of wave surface elevation for various inverse wave ages, wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, and no background current

表2 不同反波龄下参数C、E、E1、λ3和λ4的值Tab.2 Values of C, E, E1, λ3, and λ4 for various inverse wave agesΩ

2.4 均匀背景流对波面位移随的影响

选取风速U10=10m/s, 水深h=5m和反波龄Ω= 0.8333, 这里假定均匀背景流与风速同向或逆向, 计算得到的不同均匀背景流速(流速为正值时代表风和流同向, 流速为负值时代表风和流逆向)条件下的参数C、E、E1、λ3和λ4值见表3。当忽略背景流时, 所得到的波面偏移量C=-0.040 5, 能量E= 0.8977 m2,E1= 0.5433 m2, 偏度λ3= 1.2430,峰度λ4= 0.2651, 当风和流方向相同且流速从 0增加至0.4 m/s时, 波面偏移量C的绝对值由0.040 5增大到0.043 8, 能量E由0.897 7 m2减小到0.739 5 m2,E1由0.543 3 m2减小到0.481 8 m2,E1/E的比率增大, 偏度λ3由1.243 0减小到0.306 4, 峰度λ4由0.265 1减小到0.027 1, 这表明当背景流存在且与风速相同时, 随着流速的增大, 使得波浪吸收能量的能力减弱, 二阶非线性项的作用变弱, 平均波面位移逐渐降低, 二阶能量所占总能量的比率减小, 波面位移关于平均水平面垂向分布趋向对称, 峰度降低。当风和流的方向相反时, 当流速从 0变为-0.4 m/s时, 波面偏移量C的绝对值由0.040 5减小到0.018 2, 能量E由0.897 7 m2增加到1.407 4 m2,E1由0.543 3 m2增加到 0.620 7 m2,E1/E的比率减小, 偏度λ3由1.243 0增大到1.801 7, 峰度λ4由0.265 1增大到0.290 2, 这表明当背景流存在且与风速相反时, 随着流速的增大, 使得波浪吸收能量的能力增加, 二阶非线性项的作用变强, 平均波面位移逐渐趋于零, 二阶能量所占总能量的比率增大, 波面位移关于平均水平面垂向分布不对称性加剧, 峰度增大。不同背景流速下波面位移的概率密度分布如下图5, 为了清楚起见, 这里只给出了U=0.4 m/s,U=0 m/s和U=-0.4 m/s三种情况下波面位移的概率密度分布。

图5 风速5 m/s, 水深5 m, 反波龄为0.833 3, 不同均匀背景流速下波面位移的概率密度分布Fig.5 The probability density functions of wave surface elevation for various steady and uniform current speeds,wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, and an inverse wave age of 0.8333

表3 不同均匀背景流速下参数C、E、E1、λ3和λ4的值Tab.3 Values of C, E, E1, λ3, and λ4 for various steady and uniform current speeds U

3 结论与讨论

本文基于 Longuest-Higgins非线性海浪模型[8],在有限水深且存在均匀背景流场的条件下, 根据Song(2006)[9]导出的波面位移二阶表达式, 采用Combi谱[12]模拟和计算了定点波面位移线性项和二阶项时间序列及其相应的波面位移概率密度分布,通过在不同风速、水深、反波龄和均匀背景流速条件下对其特征量C、E、E1、λ3和λ4的分析, 得到以下结论。

1) 二阶非线性项使得波面位移分布偏离于线性波面位移所满足的正态分布, 与正态分布相比, 波面位移分布范围变大, 最大概率密度值降低且对应的波面位移值降低, 产生大的波面位移的概率增加,且波峰对应波面位移大于波谷处的波面位移, 使得波面概率分布具有明显的非对称特征。

2) 波面位移的状态受风速、水深、反波龄和均匀背景流共同作用。即使在深水中, 二阶非线性项引起的能量和偏度变化依然存在, 它使得波面位移关于平均水平面垂向分布不对称, 波的能量增加, 导致非线性效应不能忽略。风速增大、水深降低、反波龄减小或者均匀背景流和风速方向相反均使得二阶能量所占总能量的比率增大, 二阶非线性项的作用加强, 无因次波面位移概率密度分布的偏度和峰度随之增大。反之, 二阶能量所占总能量的比率减小,二阶非线性项的作用减弱, 无因次波面位移概率密度分布的偏度和峰度随之减小。

3) 当均匀背景流和风速相同时, 虽然非线性项的作用加强, 但平均波面位移反而比平均水平面降低, 当均匀背景流和风速相反时, 虽然非线性作用增强, 但平均波面位移反而趋于平均水平面。

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