真空无奇点黑洞的拟正则模:无质量标量场扰动

奉勇辉, 刘道军

(上海师范大学 天体物理研究中心,上海 200234)

真空无奇点黑洞的拟正则模:无质量标量场扰动

奉勇辉, 刘道军

(上海师范大学 天体物理研究中心,上海 200234)

摘要:研究带有de Sitter中心的球对称黑洞在标量场扰动下的拟正则模.几何上来讲,这种黑洞在半径r很大的时候趋近与史瓦西解形式,在r 趋于0 的时候是de Sitter 解形式的.在这里通过变化参数r0 (它与宇宙学常数有关),角量子数l,泛音数n和黑洞质量M 来研究这个黑洞的拟正则模ω .计算结果发现:拟正则模在随r0 的变化出现极大值和极小值,同时对于一定范围的r0,当拟正则模随泛音数n变化时也会出现极值现象,这是值得关注的.

关键词:真空无奇点黑洞; 拟正则模; 6阶WKB近似

黑洞是爱因斯坦广义相对论的重要预言之一.根据霍金和彭罗斯的黑洞奇点理论[1],黑洞中不可避免地存在时空奇点.然而,奇点的存在使一切物理定律在这里都失效.因此,怎样避免黑洞中的奇点是非常重要的研究方向.1968 年Bardeen 构造了第一个无奇点黑洞,即存在事件视界的无奇点的黑洞,而且满足弱能量条件[2].尽管Bardeen 黑洞在理论上是自洽的,但它在物理解释上一直不令人满意.原因是爱因斯坦方程在中心处不存在真空解,如果要得到真空解必须引入额外的物质形式或者修改引力.直到Ayon-Beato 和Garcia[3]把它解释为与某种非线性磁单极子耦合的引力场,Bardeen 黑洞才得到大家的重视.

1992年,Dymnikova根据一个特殊形式的球对称的真空能动张量获得爱因斯坦方程的一个精确解析解,当r足够大时,它与史瓦西解一致,当r很小时,它的性质与de Sitter 解类似,但它在任何地方都不存在奇点[4].这个爱因斯坦方程解没有用到电动力学或其他的理论,所以通过对这个黑洞的扰动的拟正则模的研究,将有助于了解对不带电的无奇点黑洞的性质.

众所周知,存在于人们周围的每个物体当它们受到扰动时都产生专属于自己的振动的特征模.当黑洞受到物质场的扰动时,它会以引力波的形式产生辐射,从而产生属于自己的振动特征模.一般情况下只考虑线性微扰,这样扰动的能动张量在黑洞的背景度规中通过最低阶的线性近似才能被忽略不计.引力波在时空中的演化可以恰当地分为3个阶段,引力波的初始爆发阶段,此阶段依赖于扰动的初始条件,持续时间短,因此一般不作为研究对象.拟正则模阶段,属于较长时间的固有振荡的衰减期,它与初始条件无关,是黑洞的内禀振荡.晚期拖尾阶段,这个阶段引力波的衰减受到黑洞远处时空的反向散射,对于渐进平坦黑洞,拟正则模的衰减被幂律形式的衰减代替.

近年来,黑洞(包括非广义相对论中的黑洞)的拟正则模得到了广泛研究比如[5-6],这方面的详细综述可见[7-8].其原因首先源于实验的兴趣.在不久的将来引力波很可能被LIGO,VIRGO和LISA 等引力探测器探测到.由于拟正则模只与黑洞的物理性质有关,所以这些探测将有助于鉴别黑洞的物理特性.另一方面则由于Ads/CFT 对应.AdS/CFT为应对一些困难的问题提供了新的思考问题的角度,例如黑洞信息不守恒,黑洞奇点的性质和量子引力等[9].在计算拟正则模方面,主要有连分数法,WKB 近似,Poshl-Teller 势近似法,半解析的单值法等等,这方面的详细综述可见[10].这里本文作者应用Konoplya 给出的六阶WKB近似公式计算拟正则模[11].

1真空无奇点黑洞的无质量标量场扰动

在这一节,将引入真空无奇点黑洞的无质量标量场的扰动.真空无奇点黑洞的度规[4]

(1)

其中,G=c=1,

(2)

弯曲空间中的无质量标量场Φ满足克莱因-高登方程

(3)

上式可以通过假设标量方程Φ分离变量,

(4)

(5)

其中

(6)

这里l是球谐函数的角动量量子数.当r→,x→∞ 而且r→r+,x→+∞.所以,满足物理性质的边界条件为

(7)

如前文所述,真空无质量黑洞当r足够大时,它与史瓦西解一致,当r适当小时,它的性质与de Sitter 解类似,但它在任何地方都不存在奇点.而其拟正则模只与黑洞视界的外部有关,度规函数f(r)和有效势V(r) 随相关参数的变化如图1和图2所示:

从图1和图2可以看出,有效势在视界视界外是正定的.因此,根据钱德拉塞卡的观点,真空无奇点黑洞在无质量标量场的扰动下是稳定的[12].

2六阶WKB近似法计算拟正则模

应用六阶WKB近似公式计算拟正则模.由上节给出的有效势公式,可以计算真空无奇点黑洞的拟正则模如下[11],

(8)

其中V0是有效势的最大值,V0″是有效势最大值处的二次导数的值.Λ2,Λ3可以在S.Iyer和C.M Wil的文章[13]中找到,Λ4,Λ5,Λ6可以在 Konoplya的文章[11]中得到.这里n是泛音数,拟正则模记作w=wR-wI.

下面计算真空无奇点黑洞的拟正则模随质量M的变化结果如图3和图4.

从图3和图4可以看出,随着质量M的增大,拟正则模的实部和虚部也同时减小.它们的变换与史瓦西黑洞的情况相同.对比Bardeen 黑洞的拟正则模也具有相同的性质[14].

下面,计算真空无奇点黑洞的拟正则模随角量子数l的变化,结果如图5~6所示.这里要注意,WKB 近似方法在l>n时的计算结果更为精确,所以选择泛音数n=1作为比较.

从图5~6可以看出,对于n=1,拟正则模的实部随角量子数l的增加呈线性增加,虚部随角量子数l的增加而减小,最终随角量子数l的增大趋于一个稳定值.对比S.Fernando 和J.Correa 计算的Bardeen黑洞的拟正则模也存在相同的变换性质[14].

3结论

参考文献:

[1]HAWKING S W,PENROSE R.The singularities of gravitational collapse and cosmology[M].London:Proc Roy Soc Lon A,1970.

[2]BARDEEN J M.Proceedings of GR5[M].USSR:Tbilisi,1968.

[4]DYMNIKOVA I.Vacuum Nonsingular Black Hole[J].Gen Relativ Gravit,1992,24:235-242.

[5]LI X Z,HAO J G,LIU D J.Quasinormal modes of string black hole[J].Phy Lett B,2001,507:312-361.

[6]LIU D J,YANG B,ZHAI Y J,et al.Quasinormal modes for asymptotic safe black holes[J].Class Quantum Gravity,2012,29:145009.

[7]NOLLERT H P.Quasinormal modes:the characteristic ′sound′ of black holes and neutron stars[J].Class Quantum Gravity,1999,16:159-216.

[8]BERTI E,CARDOSO V,STARINETS A O.Quasinormal modes of black holes and black branes[J].Classical Quantum Gravity,2009,26:163001.

[9]HOD S.Bohr′s Correspondence Principle and the Area Spectrum of Quantum Black Holes [J].Phys Rev Lett,1998,81:4293-4296.

[10]KONOPLYA R A,ZHIDENKO A.Quasinormal modes of black holes:From astrophysics to string theory[J].Rev Mod Phys,2011,83(3):793-836.

[11]KONOPLYA L R A.Quasinormal behavior of the D-dimensional Schwarzschild black hole and the higher order WKB approach[J].Phys Rev D,2003,68:024018.

[12]CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].London:Oxford University Press,1992.

[13]IYER S,WILL C M.Black-hole normal modes:A WKB approach.I.Foundations and application of a higher-order WKB analysis of potential-barrier scattering[J].Phys Rev D,1987,35(12):3621-3631.

(责任编辑：顾浩然)

[14]FERNANDO S,CORREA J.Quasinormal modes of the Bardeen black hole:Scalar perturbations[J].Phys Rev D,2012,86:064039.PENROSE R.The singularities of gravitational collapse and cosmology[M].London:Proc Roy Soc Lon A,1970.

Quasinormal mode of a vacuum non-singular black hole:masslesssscalar perturbationsFENG Yonghui, LIU Daojun

(Shanghai United Center for Astrophysics,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

Abstract: :In this paper,we investigate quasinormal mode(QNM) of the spherically symmetric BH with de Sitter centre due to scalar perturbations.This BH is,geometrically,asymptotically Schwarzschild for large r and asymptotically de Sitter as r → 0.We analyze the QNM ω by varying the parameter r0 (it is related to cosmological constant),spherical harmonic index l,overtune n and the BH mass M. According to calculations,we find that the QNM Lhave maximum and minimum with a changing r0,and for some r0 it is worthy to attention that the QNM have extreme with a changing overtune n

Key words:vacuum non-singular BH; QNM; 6-order WKB approximation

通信作者:奉勇辉,中国上海市徐汇区桂林路100号,上海师范大学天体物理研究中心,邮编:200234,E-mail:1046240759@qq.com

基金项目:上海市自然科学基金项目(12ZR1421700)

收稿日期:2014-11-12

中图分类号:P 142.9

文献标志码:A

文章编号:1000-5137(2015)02-0122-05