二次函数图像的对称性与满足Sm=Sn的等差数列

二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图像（抛物线）关于直线x=-b2a对称.如果有f（p）=f（q），且p≠q，则f（p+q）=c.简证如下：

法1f（p）=f（q），因为对称轴方程为x=-b2a=p+q2，所以，p+q=-ba.所以f（p+q）=f（-ba）=a（-ba）2+b（-ba）+c=c.

法2由f（p）=f（q）可得对于对应法则f，自变量和为p+q的函数的两个值相等，所以f（p+q）=f（0）=c.

法3由图像可得（不妨设a>0），如图1.

图1可将二次函数图像的这一性质推广到等差数列中来.

等差数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d，前n项的和Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，

将Sn看成函数y，n看成自变量x，这个二次函数的解析式有两个特性：

（1）定义域x∈N*（即n∈N*）；

（2）常数项为0（即函数图像过原点）.

所以，在等差数列{an}中，设前k项的和为Sk，若Sm=Sn（m，n∈N*，且m≠n），则Sm+n=0.对应函数图像：

图2图3当等差数列{an}为递增数列时，d>0，抛物线开口向上，此时a1=S1<0，如图2；

当等差数列{an}为递减数列时，d<0，抛物线开口向下，此时a1=S1>0，如图3.

例1（2003年北京东城三模第12题）设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S10=S20，则S30的值是.

略解由上述命题显然S30=0.

例2（2011年高考辽宁卷文第15题）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=.

略解显然S8=0，所以8（a1+a8）2=0，得a1+a8=0=a4+a5，所以a5=-1.

评注也可这么做：S6-S2=a3+a4+a5+a6=2（a4+a5）=0，所以a5=-1.

例3在等差数列{an}中，a1>0，前n项的和为Sn，若S3=S11，则Sn取得最大值时，n的值为（）.

A.5B.6C.7D.8

解法1显然S14=0，所以14（a1+132d）=0，得d=-213a1，又a1>0，所以d<0，所以，an=a1+（n-1）（-213a1）=a113（15-2n），令an=0得n=152.

a7=a113（15-2×7）>0，a8=a113（15-2×8）<0.

所以S7取得最大值，此时n=7.故选C.

解法2由S3=S11得S7=S7，又a1>0，得d<0，所以S7取得最大值，此时n=7.故选C.

评注（1）解法1灵活运用Sn=n（a1+n-12d）找到a1与d的关系是本题不同于上例的一个亮点.

（2）解法2直接利用等差数列Sn是关于n的二次函数且过原点的图像性质得.

作者简介岳昌庆，男，河南人，1967年10月生，硕士，副编审.主要从事中学数学教学研究.已在30余种报刊发文50余篇.