解题研究三例研出三个性质

解题研究是提高数学教师解题能力、解题教学水平、专业素质的一种好方法，是数学教师专业成长的阶梯，是提高数学教师专业素养的必经历程.优秀数学教师的成长过程离不开不断的解题研究.最近，笔者在研究以下典型试题时，发现以下试题可以引申、推广得到方程f（f（x））=x的实根情况的性质.

题1（2013年高考四川卷·文10）设函数f（x）=ex+x-a（a∈R，e为自然对数的底数）.若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）.

A.[1，e]B.[1，1+e]

C.[e，1+e]D.[0，1]

解析因为函数f（x）=ex+x-a在其定义域上是增函数，且f（x）≥0，所以当x∈[0，1]时，只能有f（x）=x（若不然，（1）f（x）>x，则f（f（x））>f（x）>x，与条件f（f（x））=x矛盾；（2）若f（x）

解答完此题后，笔者试想，有一般性结论吗？经过探究，有如下性质1.

图1性质1若由连续函数y=f（x）构造的方程f（f（x））=x有实根，则方程f（x）=x有实根.

证明因为方程

f（f（x））=x有实根，所以设x0为其实根，即f（f（x0））=x0.

令t0=f（x0），于是f（t0）=x0.从而，函数y=f（x）的图象过点P（x0，t0）与Q（t0，x0）.又因为点P和Q关于直线y=x对称，如图1，且函数y=f（x）连续，所以函数y=f（x）的图象与直线y=x有交点，故方程f（x）=x有实根.

题2（2008年上海交通大学自主招生考试题）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（x）=x没有实数根.问：f（f（x））=x是否有实数根？并证明你的结论.

解析此问题的解法较多，我们提供以下三种解法.

解法1先介绍一个引理.

引理若M={x|f（x）=x}，N={x|f（f（x））=x}，则MN.

引理的证明x0∈M，有f（x0）=x0，故f（f（x0））=f（x0）=x0x0∈N，由x0的任意性知MN.

回到原题.f（f（x））=x即af2（x）+bf（x）+c=x，这是一个4次方程，由上述引理知，f（f（x））-x一定可以分解出f（x）-x这样一个因式.

af2（x）+bf（x）+c-x=0af2（x）+bf（x）+（ax2+bx+c）-ax2-bx-x=0，

即a（f2（x）-x2）+b（f（x）-x）+f（x）-x=0

a（f（x）+x）（f（x）-x）+b（f（x）-x）+f（x）-x=0（f（x）-x）[a（f（x）+x）+b+1]=0.

由于f（x）-x=0无实根，下面只要求出方程a（f（x）+x）+b+1=0是否有实根即可.

a（f（x）+x）+b+1=a2x2+（ab+a）x+ac+b+1，其判别式Δ=（ab+a）2-4a2（ac+b+1）=a2（b2-2b+1-4ac-4）=a2[（b-1）2-4ac-4].

又f（x）-x=0无实根，故判别式Δ′=（b-1）2-4ac<0.由此可知Δ<0.所以方程a（f（x）+x）+b+1=0亦无实根.

综上，f（f（x））=x也无实根.

解法2数形结合法.

若a>0，由于f（x）=x无实根，则对任意实数x，f（x）>x，从而f（f（x））>f（x）>x，故f（f（x））=x无实根，如图2.

图2图3同理，若a<0，则对任意实数x，f（x）

解法3反证法.

若存在f（f（x0））=x0，令f（x0）=t，则f（t）=x0，即（t，x0）是y=f（x）图象上的点；又f（x0）=t，即（x0，t）也是y=f（x）图象上的点.显然这两点不重合，且这两点关于直线y=x对称.而y=f（x）=ax2+bx+c是连续函数，故y=f（x）=ax2+bx+c与y=x必有交点，从而f（x）=x有实数解，矛盾！

从解法3可以看出，此题的结论不只针对二次函数f（x）是对的，对一般的连续函数都有一样的结论.那么一般性结论是什么呢？经过反复思考，发现根据原命题与逆否命题同真假这一性质，由上述性质1有如下性质2.

性质2若方程f（x）=x没有实根，则方程f（f（x））=x没有实根.

题3（2010年浙江大学自主招生考试题）设集合M={x|f（x）=x}，N={x|f（f（x））=x}.

（1）求证：MN；

（2）若f（x）是一个在R上单调递增的函数，是否有M=N？若是，请证明.

解析（1）若M=，显然MN成立；若M≠，任取x0∈M，即有f（x0）=x0，则f（f（x0））=f（x0）=x0，即x0∈N，故MN.

（2）结论是M=N.下证NM.

若N=，显然结论成立；若N≠，任取x0∈N，即有f（f（x0））=x0，下证f（x0）=x0.若f（x0）≠x0，不妨先设f（x0）>x0，由于f（x）是一个在R上单调递增的函数，故f（f（x0））>f（x0）>x0，与f（f（x0））=x0矛盾！同理，f（x0）

结合（1），证得N=M.

本题的第（2）问中用的是反证法，值得细细体会.

由此题的解答过程可以看出有如下性质3.

性质3如果连续函数f（x）是其定义域上的单调函数，那么

（1）方程f（f（x））=x没有实根方程f（x）=x没有实根.

（2）方程f（f（x））=x有实根方程f（x）=x有实根.

作者简介武增明，男，1965年年生，云南省玉溪市易门县人，中学高级教师，玉溪市数学学科带头人，玉溪市劳模.在省级及以上数学专业刊物上发表教育教学论文130余篇.主要从事高中数学教学及其研究.