利用极线极点的性质巧解有关圆的几何题

黄燕华　林生放

笔者在解决高中几何题时，经常会碰到这类问题：在圆中，做圆的各种切线、割线，再引出一系列问题.此类题目看似错综复杂，实则都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，研究透彻它的性质，看似复杂的几何题便可迎刃而解.

1知识介绍

定义设A、B关于⊙O互为反演点，过B作OA的垂线l称为点A关于⊙O的极线；A称为l的极点.

注：若点A在⊙O外，过A做⊙O的两条切线，切点为B、C，则BC是点A的极线.

性质1（配极原则）设A在D的极线上，则D也在A的极线上.一般称A、D关于⊙O互为共轭点.

性质2设过两共轭点A、D的直线交⊙O于两点B、C，则A，B，D，C为调和点列.

由性质1和2，可得

性质3若点A的极线为l，过A作⊙O的割线ABC与l交于点D，则A，B，D，C为调和点列.反之亦然.

性质4A，B，C，D是⊙O上四点，直线AB与CD、AC与BD、AD与BC分别交于点P，Q，R.则三点中任意两点的连线的极点是第三点[1].

2巧解几何题

例1（2013年美国国家队选拔考试）在锐角△ABC中，以AC为直径的圆Γ1与边BC交于点F（异于点C），以BC为直径的圆Γ2与边AC交于点E（异于点C），射线AF与圆Γ2交于两点K、M，且AK

分析性质4是证明三线共点的有利工具.结合待证的结论和图1可知，只需证明K，L，M，N四点共圆，便可利用性质4立即得证.从已知条件易得K，L，M，N四点共圆.整道题的证明可谓水到渠成，一气呵成.

图1证明如图1，设CD⊥AB于点D，H为△ABC的垂心.则圆Γ1、Γ2均与AB交于点D.

由圆幂定理知LH·HN=CH·HD=KH·HM，因此，K、L、M、N四点共圆.注意到，AC、BC分别是四边形KLMN对角线LN、KM的中垂线，则四边形KLMN的外接圆的圆心为C.因为∠ANC=∠ALC=90°，所以，AN、AL与四边形KLMN的外接圆⊙C分别切于点N，L.

由性质1，点H在A关于⊙C的极线上.同理，点H在B关于⊙C的极线上.

由性质4，知ML与NK的交点在H关于⊙C的极线AB上.证毕.

例2（2009年IMO中国国家队选拔考试）设D是△ABC的边BC上一点，满足∠CAD=∠CBA.⊙O经过点B、D，并分别与线段AB、AD交于点E、F，BF与DE交于点G，M是AG的中点.求证：CM⊥AO[3].

图2分析本题欲证CM⊥AO，只需证CM平行于点A的极线.又利用性质3的调和分割性质，结合题目构造出点A的极线便可轻松证明.一道复杂的几何题利用极线极点便可轻松解决，可见极线极点在几何题中的妙用.

证明连接EF并延长，与BC交于点P，连接AP，连接GP并延长分别交AB、AD于I、K，交AC延长线于L，延长AG与BC交于H.

因为∠DFP=∠ABD=∠DAC，所以PF∥CA.

由完全四边形BDPFEG的调和性可知A、F、K、D四点调和，A、E、I、B四点调和，于是得到2AF·KD=AK·FD，可得AFFD·KDAK=12，

因为AFFD=PCPD，所以PCPD·KDAK=12.

考察△ADC被直线KPL所截ALLC·PCPD·KDAK=1，得到ALLC=2，所以C为AL的中点，所以CM∥PG.

下面运用极线极点证明PG⊥AO.

A、E、I、B四点调和，A，F，K，D四点调和，由性质3得到PI的连线为点A关于⊙O的极线.由极线的定义，可得PG⊥AO，因为CM∥PG，所以CM⊥AO.

证毕.

例3（2010年全国高中数学联赛加试）如图3，已知锐角△ABC的外心为O，K是边BC上的一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆[4].

图3分析原题提供的解答，用了十分复杂且麻烦的方法证明了当A、B、D、C四点共圆时，OK⊥MN.再利用反证法证明了结论.但是若知道极线极点的性质，我们可以很快的证明出垂直来.

证明先证当A，B，D，C四点共圆时，OK⊥MN.

当A，B，D，C四点共圆时，由性质4，可得点K关于⊙O的极线是MN.根据极线的定义，可得OK⊥MN.再利用反证法，便可很快证出结论.此处不再赘述.

参考文献

[1]单墫译.近代欧氏几何学[M].哈尔滨工业大学出版社，2012.

[2]2013美国国家队选拔考试[J].中等数学，2014（8）.

[3]2009年IMO中国国家队选拔考试[J].中等数学，2009（7）.

[4]2010全国高中数学联合竞赛[J].中等数学，2010（12）.

作者简介黄燕华，女，广东汕头人，1990年2月生，华南师范大学研究生.林生放，男，广东陆河人，1989年12月生，广东省广州市真光中学数学教师，二级教师.