坐标式三角形面积公式及其应用

甘志国

高考题1（2010年高考辽宁卷理科第8题）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB=b，则△OAB的面积等于（ ）

A.a2b2-（a·b）2

B.a2b2+（a·b）2

C.12a2b2-（a·b）2

D.12a2b2+（a·b）2

答案：C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理1若三点O，A，B不共线，则S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

证明S△OAB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

由此结论，还可证得

定理2若三点O，A，B不共线，且点O是坐标原点，点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则S△OAB=12x1y2-x2y1.

证法1由定理1，得

S△OAB=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1.

证法2可得直线AB的方程是

（y1-y2）x-（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）=0，所以坐标原点O到直线AB的距离是x1y2-x2y1AB，进而可得△AOB的面积是S△OAB=12AB·x1y2-x2y1AB=12x1y2-x2y1.

下面用定理2来简解几道高考题.

高考题2（2014年高考四川卷理科第10题）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）.

A.2B.3C.1728D.10

解B.得F14，0，可不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0>y2）.

由OA·OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=2，可得y1y2=-2，所以由定理2，得

S△ABO=12x1y2-x2y1=12y21y2-y22y1=12y1y2·y1-y2=y1-y2=y1-y2.

所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+12·14y1=98y1-y2≥2-98y1y2=3（可得当且仅当y1=43，y2=

-98时取等号）.

所以选B.

高考题3（2011年高考四川卷文科第12题）在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则mn=（ ）.

A.215 B.15C.415 D.13

解B.所有满足题意的向量有6个α1=（2，1），α2=（2，3），α3=（2，5），α4=（4，1），α5=（4，3），α6=（4，5），以其中的两个向量为邻边的平行四边形有n=C26=15个.

设αi=（x1，y1），αj=（x2，y2），得x1，x2∈{2，4}；y1，y2∈{1，3，5}，由定理2得，以αi，αj为邻边的平行四边形的面积是S=12x1y2-x2y1=2，可得这样的向量αi，αj有3对：（2，3），（4，5）；（2，1），（4，3）；（2，1），（4，1）.所以mn=315=15.

注用高考题3的解法还可求解2011年高考四川卷理科第12题.

高考题4（2009年高考陕西卷文科、理科第21题）已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255.

（1）求双曲线C的方程；

图1（2）如图1所示，P是双曲线C上一点， A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围.

解（1）（过程略）y24-x2=1.

（2）可设A（t，2t），B（-s，2s），s>0，t>0，由定理2及题设可得S△AOB=2st.

由AP=λPB，可得Pt-2λs1+λ，2t+2λs1+λ，把它代入双曲线C的方程，化简得（1+λ）2=4λst，所以

S△AOB=12λ+1λ+113≤λ≤2，

可得△AOB面积的取值范围是2，83.

图2高考题5（2010年高考重庆卷理科第20题）已知以原点O为中心，F（5，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=52.

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图2所示，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积.

解（1）（过程略）双曲线C的标准方程为x24-y2=1，其渐近线方程为x±2y=0.

（2）由“两点确定一直线”可得直线MN的方程为：xEx+4yEy=4.

分别解方程组xEx+4yEy=4，

x-2y=0，xEx+4yEy=4，

x+2y=0，，得G4xE+2yE，2xE+2yE，H-4xE+2yE，2xE+2yE.

因为点E在双曲线C上，所以x2E-4y2E=4.

由定理2，得S△OGH=128x2E-4y2E--8x2E-4y2E=8x2E-4y2E=84=2.

注下面将指出图2的错误：

因为点E关于x轴的对称点E′（xE，-yE）也在双曲线C上，而双曲线C在点E′处的切线方程为xEx4-（-yE）y=1即xEx+4yEy=4也即直线MN，所以直线MN与双曲线C应当相切，而不是相离.

高考题6（2008年高考海南、宁夏卷理科第21题）设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.

（1）求的解析式.

（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

答案：（1）y=x+1x-1.（2）略.（3）2.

高考题7（2008年高考海南、宁夏卷文科第21题）设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

答案：（1）y=x-3x.（2）6.

下面给出这两道高考题结论的推广.

定理3（1）双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一点的切线与两条渐近线y=bax，y=-bax围成三角形的面积是S=ab；

（2）曲线y=ax+bx（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x=0，y=ax围成三角形的面积是S=b；

（3）曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x+d=0，y=ax+c围成三角形的面积是S=b.

图3证明（1）如图3所示，可求得过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P（x0，y0）的切线方程是b2x0x-a2y0y=a2b2，还可求得它与两条渐近线y=bax，y=-bax的交点分别为Ma2bbx0-ay0，ab2bx0-ay0，Na2bbx0+ay0，-ab2bx0+ay0，再由定理2可立得欲证成立.

（2）由y=ax+bx（b≠0），得y′=a-bx2.所以过该曲线上任一点Px0，ax0+bx0的切线方程是

y-ax0-bx0=a-bx20（x-x0）.

从而可求得它与两条渐近线x=0，y=ax的交点分别为M0，2bx0，N（2x0，2ax0），再由定理2可立得欲证成立.

（3）因为y=ax+c+bx+d=a（x+d）+bx+d+c-ad，所以曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）是由曲线y=ax+bx（b≠0）沿向量（-d，c-ad）平移后得到的，所以由结论（2）立得结论（3）成立.