教材这样定义有问题吗？

叶景辉　吴伟朝

数学是一门有趣的学科，有许多问题都值得我们深入探究与思考.在人教版（A版）高中数学必修1中，教材对“两个函数相等”定义为：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等[1].也就是说，“两个函数相等”必须满足两个条件：①定义域相同；②对应关系相同.例如，函数f（x）=x0（x≠0）与g（x）=1（x≠0）相等，函数f（x）=x与g（x）=x2也相等.然而，笔者就此问题曾提出这样的质疑：如果两个函数的定义域相同，对应关系不同，那么这两个函数还有可能相等吗？

为此，笔者列举了这样的例子：已知函数f（x）=x+1与g（x）=x2+1的定义域都是x∈{0，1}，试判断这两个函数是否相等？事实上，这两个函数在平面直角坐标系中代表两个点，即（0，1）和（1，2），由此可知这两个函数是相等的.又如函数f（x）=x与g（x）=x4的定义域都是{-1，0，1}，则这两个函数也相等.于是我们得出这样的结论：如果两个函数的定义域相同，对应关系不同，那么这两个函数也有可能相等.

后来，笔者又查阅许多资料，偶然在一本大学教材《数学分析》也找到“两个函数相等”的定义，即：如果两个函数f与g有相同的定义域D，且对每个x∈D，两个函数的函数值f（x）与g（x）相等，则称这两个函数相等，记为f=g或f（x）=g（x）[2].相比较而言，笔者认为此处对“两个函数相等”的定义表述得更加合理，更为严谨，而人教版高中数学教材对定义的表述存在歧义.

古人云：“穷则思，思则变，变则通.”在教学过程中，当你对某些数学问题产生质疑时，若能善于思考，灵活变通，或许你会发现更多有价值的数学问题.以上观点如有不足之处，也欢迎广大教师批评指正.

参考文献

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007：18.

[2]品冠国等.数学分析（上册）[M].北京：科学出版社，2006：12.

作者简介叶景辉，男，广东龙川人，广州大学数学与信息科学学院研究生，主要研究数学课程与教学论（含奥林匹克数学）.吴伟朝，男，浙江宁波人，副教授.研究方向：基础数学、奥林匹克数学.