对中考中滚动与展开问题的一些思考

2015-04-06江苏省徐州市第三十一中学刘睿

中学数学杂志 2015年24期

☉江苏省徐州市第三十一中学刘睿

对中考中滚动与展开问题的一些思考

☉江苏省徐州市第三十一中学刘睿

中考中的滚动与展开问题，归根到底研究的是与圆有关的弧长问题，此类问题在当今的中考试卷中反复出现，对学生来说也是一个难点，从中考试卷得分率上面来分析，此类问题的丢分情况非常严重，很多学生甚至无法正确作出图形，也很难进行有效的分析和解答.本文就针对中考中的一些实例，剖析解决此类问题的一些方法和思考.

一、准确画图解决多边形的滚动问题

对于多边形的滚动问题而言，准确地作出图形并进行相应的分析是解决问题的关键，以下以2015年的一个中考实例进行剖析：

例1（2015年湖南邵阳）如图1，矩形ABCD中，已知相邻两边长AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至①的位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至②的位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至③的位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至④的位置，这样连续旋转2015次后，请你求出顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）.

图1

A．2015πB．3019.5π

C．3018πD．3024π

分析：四次翻滚过程恰好回到起点位置，于是思路就可以这样来设计，首先求得每一次转动的路线的长，发现每四次循环，找到规律然后计算即可．

第四次A恰好为顶点，则转动以后的路线长是0，

由此可得，四次重复一循环，然后不断地进行下去.

因为2015÷4=503余3，那么，可得总的路线长度= 6π×504=3024π．

反思：通过以上分析可知D为正确选项，本题的主要考点是探索弧长公式的运用和规律问题，解决这一问题的关键是发现其中隐含的规律.

二、以静制动解决圆的滚动问题

圆的滚动问题也是近年来常考的一个专题，相对于多边形的滚动而言，圆的滚动情况相对要简单一些：如图2，⊙O在直线AB上滚动，设⊙O的半径为r，当⊙O自转1圈时，圆心O经过的路径长是2πr；当⊙O自转2圈时，圆心O经过的路径长是4πr；当⊙O自转3圈时，圆心O经过的路径长是6πr；…；当⊙O自转n圈时，圆心O经过的路径长是2nπr.反之，当圆心O经过的路径长是2πr时，⊙O自转1圈；当圆心O经过的路径长是4πr时，⊙O自转2圈；当圆心O经过的路径长是6πr时，⊙O自转3圈；…；当圆心O经过的路径长是2nπr时，⊙O自转n圈．因此，当圆在直线上滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度，圆滚动的圈数等于圆心O经过的路径长除以圆O的周长．

上面的解答过程实际也用到了一种“以静制动”的解题策略：硬币滚动时，虽然上面的每点都在运动，各个点的运动规律也不便把握，但硬币的圆心始终在一个固定的圆上运动，这是解答本题的关键．抓住了这点，问题就迎刃而解了．

图2

例2（2009年河南）操作应用：如图3中，若AB=2c，则⊙O自转____周；若AB=l，则⊙O自转____周．在图3中，若∠ABC=120°，则⊙O在点B处自转____周；若∠ABC=60°，则⊙O在点B处自转____周．

图3

拓展联想：（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

图4

图5

（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某条边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，最后又回到起始位置点D处，请直接写出⊙O自转的周数．

如果两枚硬币的大小不同，又该怎样计算？

变式1：如图6，一个小圆币，绕一个直径4倍大的圆片边缘滚动一周，回到原处．试问，在以上过程中，小圆币一共转了几圈？

图6

图7

解析：如图7，设小圆的半径为r，则大圆的半径为4r，由之前的分析和解答过程很容易得到此时小圆滚动的

图8

变式1是小圆沿大圆滚动，如果大圆沿小圆滚动，情况又该怎样呢？

变式2：如图8，两枚大小不同的硬币⊙O1和⊙O2，其中⊙O1的半径为⊙O2的半径的2倍，⊙O2固定不动，⊙O1沿⊙O2周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（相切）．当硬币⊙O1沿⊙O2周围滚动一圈，回到原来的位置时，硬币⊙O1自转了______圈．

解析：按照上面的分析和解答过程，很容易得到此时大硬币滚动的圈数为

可见，对于一类圆的滚动问题，抓住关键转了几圈，问题便能很好地得到解决了.

三、展开问题思滚动，异曲同工巧解决

对于圆锥的侧面展开问题，看似与滚动问题无关，实则展开即为滚动，其实质是求侧面展开的扇形所对的圆弧长度，下面来看一道今年的中考原题：

例3（2015年呼和浩特）已知，一圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积可以表示为_____.

分析：圆锥展开相关公式，结合圆的滚动问题的特点，思考如何使用方程思想来审题和解答.在这个问题中，需要进行如下的思考：什么是圆锥的全面积？侧面积加上底面圆的面积.在初中阶段，什么是方程思想？给出的定义是：为了在解题过程中让没有具体数值的变量参与运算或推导，我们把这个变量设成未知数，这个未知数不是我们要的最终结果，所以称为中间未知数，叫做过渡量，那么在你的运算或推导过程中，有可能解出这个过渡量的具体值，也有可能在过程中这个量被约掉或消掉.根据你之前的经验，你算过一些圆锥展开的题目，其中大部分用到底面圆的半径，题目中没有，就设出来.

对于这个问题，我们可以这样理解，不妨设该圆锥底面圆的半径为r，画出草图（图9）来，因为正确地作图往往可以帮助你更好地解决问题，而且也不容易出现思考上的盲点.圆锥的侧面积实际上就是圆锥展开后得到的扇形面积，根据扇形面积公式，可以很快地建立如下的方程观察这个方程，其中只含有一个未知数r，得到r=2，此时可以很快地得到答案4π，不过在解决这一问题的时候，还需要关注一个关键词“全面积”，这也是有些学生在答题时容易忽视的.

最后，通过以上三个问题的解答，笔者归纳一下今后中考可能出现的试题方向，综合以上三类问题的共同特点结合起来命题可能是一个很好的方向.