回归教材，注重过程，展现套路——一道中考题的特色赏析及教学启示

☉浙江省嘉兴市东北师范大学南湖实验学校 钟伟

☉浙江省嘉兴市东北师范大学南湖实验学校周立志

回归教材，注重过程，展现套路
——一道中考题的特色赏析及教学启示

☉浙江省嘉兴市东北师范大学南湖实验学校 钟伟

☉浙江省嘉兴市东北师范大学南湖实验学校周立志

一、试题呈现

题目（2014年浙江省嘉兴卷第23题）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，求∠C、∠D的度数．

（2）在探究“等对角四边形”的性质时，

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明此结论．

②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．

图2

图1

本题是一道“图形新定义”试题，因其新颖独特而受到众多关注.如文1从试题考查知识、能力、思想方法及设问方式上细细咀嚼，让人欣赏到了本题的诸多特色；文2呈现了本题编制的详细过程，从中可以管窥命题者在本题上凝结的心血与智慧，更让人感受到一道好题的来之不易．但一道好的中考试题除了在呈现方式上凸显公平、有探究味、注重开放等形式之外，也应该注重对教学的导向与引领作用，发挥中考题的“方向标”功能．基于这样的视角，笔者对本题进一步阐述其有特色之处，并由此思考本题给数学教学带来的四点启示．

二、三点特色

特色1：倡导了一种回归教材的命题取向

文1提及，本题源自教材．试题通过命题者的智慧加工与改造，在问题焕然一新的同时，仍能让学生因熟悉的图形而产生亲切感．这样注重对教材内容的深入钻研与挖掘的命题方式，使得考题源于教材，又高于教材，是一种值得倡导的命题取向．倡导命题紧扣教材，回归教材，既是对考生公平测试的有力保障，也是对数学教学应重视教材、中考复习应回归教材的积极引导．特别是在网络普及、信息便捷的当下，回归教材的命题取向，更是对“拿来主义”命题现象的有力抵制．

特色2：突出了一条考查过程的评价主线

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称“课标（2011版）”）强调数学过程，指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验……等活动过程”．［3］但过程是数学学习中的概括性描述，学生是否经历了上述过程，除了现场观察统计，我们难以找到其他有效的方式来刻画．如何通过纸笔测试来显性考查学生经历知识的形成过程与应用过程，是一个值得命题者思考的问题，也是对“课标（2011版）”有效实施的有力保障．

本题以“等对角四边形”这一图形知识的发生、发展过程为载体，以“边—角—对角线”的研究对象为主线，为学生的探究搭建平台，引导学生不断思考，变考试过程为学习、研究的过程．学生在解决这一系列问题的过程中，可以表现出自己的作图、观察、猜想、推理证明等数学活动方面的能力，鲜活地再现了学生数学学习的全过程，有效考查了学生的数学素养．

特色3：展现了一个研究图形的“基本套路”

章建跃博士曾撰文指出，数学教学要教给学生一些“基本套路”．如几何教学应让学生懂得从“定义、相关概念、表示法、分类、性质定理”等研究图形这样的“基本套路”［4］．本题从外部框架的构建来看，题干简洁、精练地给出定义——等对角四边形，需要学生解答的问题则按照“定义理解—探索性质—运用性质”这样的线索设置，让学生经历“观察—猜想—论证—应用”的全过程，引导学生按照研究图形的“基本套路”来思考问题.可以说，解决本题的过程，就是研究探索一个新图形的过程，从而自然、贴切地考查了学生的能力.

三、给教学带来的四点启示

1.要发挥教材的引领作用

教材是学科专家反复打磨、精心编写的，其内容及结构体系是反复考量的，例题和习题大多蕴含着典型的数学思想与方法，具有很强的代表性.因此，教师在教学中，要正确研读教材，合理利用教材，有效发挥教材对教学的引领作用.

教师利用教材时，首先应努力研读教材内容，力求领会教材编写意图，充分发挥教材的功能.例如，在浙教版八年级上册“1.3证明（1）”［5］中安排了合作学习的内容（见图3），不少教师将这一内容当成可有可无的“鸡肋”处理，或者作为激趣素材简单带过.

图3

事实上，学生从上一节的“定义与命题”转向本节课学习时，有一些不可忽视的问题需要思考，如为什么要学习证明？怎样逻辑连贯地从命题的学习转向证明的学习？我们若仔细研读教材内容，便不难发现，本节合作学学习的两个问题旨在让学生经历观察、由特例作不完全归纳的猜想等方式都不能严谨判定一个命题是真命题的过程，于是就有必要寻找更合适的方法来判定命题的正确性，即本节课的学习.由此可见，此处的合作学习，发挥着承上启下、揭示本节新课学习的缘由等重要作用，认识到这些作用，离不开教师对内容的研读与思考.

教师利用教材时，还需要重视对例题、习题价值的挖掘.教师要精心挑选出具有基础性、典型性、示范性的题目进行分析讲解，让学生达到巩固知识、发展能力、掌握思想方法的目的.事实上，教材中的典型题目也是命题专家命题时改造或重组的重要素材之一.文2再现了根据教材习题创编一道优秀中考试题的全过程，给我们提供了一个很好的范例.所以讲题时，教师不能仅仅只是就题论题，就题教题，还要学会将教材例题或习题拓展延伸，适当变式.比如，在几何命题的证明中实施一题多证、一题多变的教学，教师注重引导学生从多角度、多渠道探索解题思路，不仅有助于巩固所学知识，还可以加深学生对知识内部关联的认识，更能有效积累解题后的基本活动经验，充分发挥教材例题、习题的引领作用.

2.要注重教学的过程性

瑞士心理学家皮亚杰指出：“教师不应企图将知识硬塞给学生，而应该找出能引起学生兴趣、刺激学生的材料，然后让学生自己去解决问题.”可见，教学中教师应引导学生改变单一、枯燥、被动接受的学习方式，让学生“有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”［3］，注重教学的过程性.本文所展示的试题正是对过程考查的典型范例.题目通过3个问题再现对图形性质的猜想、质疑、论证等探索过程，很有甄别效果地考查学生在这些过程中所表现出的作图、猜想、质疑、推理证明等能力差异，较好地指引教师平时应注重过程教学.

例如，教师在概念教学中，应努力改变简单机械、重记忆轻理解、重枝节轻本质、重内容轻生成等现象，让学生不仅知道概念本身，而且要关注它的实际背景与形成过程，充分经历概念的概括、抽象等形成过程.这样有利于学生理解概念的来龙去脉，对概念引出的必要性、概念的本质及其功能有更深刻的认识.对于定理、性质或公式等知识的学习，应基于学生现有发展水平和经验，教师通过精心设计若干问题，让学生经历结论的获得过程.比如，教师在“二次根式的性教学中可以创设如下问题引导学生经历结论的获得过程.

以上5个问题，相对于教材原有的设计，探索的内容更丰富全面，经历的过程更完整.由特例体验、孕育猜想到总结归纳、证明结论，彻底摒弃了让学生记结论、用结论的简单机械方式，引导学生在经历“从特殊到一般”的过程中猜想、质疑、探究，感受和体验数学结论的产生、发展过程，促进学生的学习方式由“重结论轻结果”向“过程与结论并重”的方向发展，使数学学习成为再发现、再创造的过程．

3．要注重教学的整体性

“课标（2011版）”指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性．”［3］.本文中的试题正是以“等对角四边形”为探究的生长点，通过若干问题呈现了一条“边—角—对角线”的研究主线，较好地让学生整体感受到了研究“等对角四边形”这一图形的“整体观”．

目前的初中数学教材，基本都以“点”为单位来编排教学内容，其目的在于让重要的数学概念与数学思想体现螺旋上升的原则．但完全按照教材编排内容教学，也会产生“容易迷失在局部，见木不见林”的弊端．所以数学教学应根据教学内容和学生具体情况凸显整体性，在整体教学中让学生学会一些“基本套路”．

例如，在四边形和特殊平行四边形的教学时，教师可以尝试以平行四边形为例，展示从定义、性质、判定来研究的路径，同时该图形的性质和判定又可以从边、角、对角线等元素来展开思考．基于这样的“整体观”，给学生“构建一个研究图形的整体框架”［7］，则在后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形时，学生就会很清楚地知道自己所学内容在整体框架中所处的位置，知道下一步要学什么，并知道可以按照怎样的方式来思考，真正“使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”［7］．

4．要注重数学思想的感悟

文1提及本文试题以经验与思想作引擎，彰显了思维之美，如“数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想在问题的解答过程中有很明显的体现”．事实上，帮助学生感悟数学思想是提升数学素养的重要途径．英国数学家怀特海曾说：“真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体事例．在随后的实践中，这些成人将会忘记你教他们的那些特殊的细节，但他们潜意识中的判断力会使他们想起如何将这些原理应用于当时具体的情况．”［8］因此，作为授课教师，不应该只教给学生知识，更应当以数学知识作为教学的载体，让学生在学习的过程中感悟数学思想．但数学思想是“无形”的、“默会”的知识，是“蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”［3］，所以数学思想的形成并不是靠简单的一两节课就能实现的，它的形成要经过长期的积累，而且要经历一个由易到难、螺旋上升的过程．

综上，我们透过一道对教学极具引领价值的中考题，折射出教师在平时的教学中应坚持以教材为本，让学生经历数学知识发生、形成、发展和应用的过程，注重整体教学，及时引导学生反思概括，感悟并提炼数学思想，并在后续教学中适时拓展运用，加深巩固，更大程度地发挥数学教学的育人效果．

最后，嘉兴市南湖区教育研训中心顾建峰老师对本文试题的解读提供了诸多建议，谨致谢意！

1.顾建锋，张志坚．知识与能力齐驱经验和思想联动［J］．中学数学教学参考（中），2014（9）．

2.陈世文，姜黄飞．一道中考“图形新定义”试题的命制及其反思［J］．中学数学教学参考（中），2014（12）．

3.中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．

4.章建跃．课堂教学要注重数学的整体性［J］．中小学数学（高中），2013（5）.

5.范良火，主编．义务教育教科书·数学（八年级上册）［M］．杭州：浙江教育出版社，2013．

6.范良火，主编．义务教育教科书·数学（八年级下册）［M］．杭州：浙江教育出版社，2013．

7.章建跃，陈向兰．数学教育之取势明道优术［J］．数学通报，2014（10）．

8.怀特海，著.教育的目的［M］．徐汝舟，译．北京：生活·读书·新知三联书店，2002．

9.郦兴江．创新考查载体引领教学导向［J］．中学数学（下），2014（10）．Z