聚焦二次三项式，设计中考复习课

☉江苏省无锡市江南中学 周君

聚焦二次三项式，设计中考复习课

☉江苏省无锡市江南中学 周君

中考复习是一首老歌，年年岁岁花相似，但岁岁年年题不同.复习内容是学生已学内容，解题方法多是学生已有的解法，如何把这首老歌新唱，唱出新意，让学生对复习课同样充满好奇和渴望，一直是中考复习研讨的难点.最近，笔者有机会在本地区中考复习研讨活动中执教中考复习研讨课，精心构思了一节聚焦二次三项式的复习课，得到与会同行的热议与好评，本文梳理该课的教学设计，阐释各个教学活动的设计意图，最后再做出一些教学反思，与更多的同行研讨.

一、教学设计

活动一：复习二次三项式的概念

问题1：已知多项式x2+2x+1，5-4x+x2，-6a+8+a2，12m-4m2-9.

（1）有同学认为可以把4个多项式归到一类？你觉得他的分类标准是什么？你能设计一种分类标准，把上述4个多项式分成两类吗？

（2）当x=2时，求前面两个多项式的值.

（3）有同学觉得后面三个多项式的形式不好，你能整理成类似第一个多项式那样的形式吗？

活动预设：第（1）问本质上是写出它们的共同点和不同点，学生可以从二次三项式、完全平方式、最高次数是2、未知数等角度确定不同的分类标准，然后分类；第（2）问主要训练求代数式值的问题，与后面从函数角度研究二次三项式做好教学环节之间的呼应；第（3）问主要训练升幂或降幂排列，提高学生对多项式的整理变形能力.

链接一道考题：记多项式x2+2x+1为f（x），多项式y2-4y+4为f（y），且多项式f（x）的项数为a，f（y）的次数、一次项系数分别是b、m，数a、b、m在数轴上分别对应着点A、B、M.

（1）求代数式a2-b2的值.

（2）数轴上有一点G，且到点M、B的距离相等.

①求线段GA的长；

②若n是关于x的方程mx+b=ax的解，且数轴上点N对应着数n，比较线段NG与NB的大小.

考题讲解：（1）由题意得a=3，b=2，m=-4.所以a2-b2= 32-22=5.

（2）因为点G到点M、B的距离相等，所以点G对应着数-1，故线段GA的长为4.关于x的方程mx+b=ax，即-4x+ 2=3x，解这个方程得所以数轴上的点N对应着的数为线段NG的长为线段NB的长为故NG＜NB.

活动二：整式乘法与二次三项式

问题2：按要求解以下问题.

（1）一组计算：①（x+1）（x+1）=______；②（x-2）2+1= ______；③（a-2）·（a-4）=______；④4m（3-m）-9=______.

（2）分解因式：①-6a+8+a2；②12m-4m2-9.

（3）已知关于x的多项式4x2-mx+9是完全平方式，求m的值.

（4）若（x-a）（x-5）的展开式中不含有x的一次项，求a的值.

拓展题：如果a、b是整数，x2-x-1是ax3+bx2+1的一个因式，求a+b的值.

教学处理：这道拓展题本质上还是多项式相乘展开后不含项问题，为了追求较好的启发式讲解，笔者设计了PPT渐次呈现（截图如图1）.

图1

活动三：一元二次方程根的判别式

问题3：继续来看多项式x2+2x+1，5-4x+x2，-6a+8+ a2，12m-4m2-9．

（1）把这些多项式改成方程，得x2+2x+1=0，5-4x+x2= 0，-6a+8+a2=0，12m-4m2-9=0．请快速解方程．

预设：学生可以迅速由前面两个教学活动中的化简与变形的经验，将方程转化如下：x2+2x+1=0，x2-4x+5=0，a2-6a+8=0，-（4m2-12m+9）=0，即（x+1）2=0，（x-2）2+1=0，（a-2）（a-4）=0，-（2m-3）2=0．从而快速获解．

（2）已知关于x的方程4x2-mx+9=0有两个相等的实数根，求m的值.

（3）如果关于x的方程x2-ax-5x+5a=0的两个实数根恰互为相反数，求a的值．

对这些方程重新变式，包括无解，十字相乘法兼顾复习.

链接教材：教材“一元二次方程”的“围长方形”问题提要求并思考：

用一根120cm的细绳分别围出长方形，试一试，能围出面积大于900cm2的长方形吗？你能解释你的结论吗？

预设意图：让学生列出一元二次方程，并根据根的判别式迅速判定该方程无解，从而说明不能围绕出这样的长方形．这个习题为后续二次函数复习环节提供铺垫．

二、教学立意的进一步阐释

1.深刻理解主干知识，串起复习课堂

初中数学知识中有很多核心概念，根据我们一线教学的经验，也可称之为主干知识．像本文聚焦的二次三项式就是一个核心概念，因为它在初中阶段首次出现时，是在七年级整式加减中，然而不少初任教师并不认为这是一个重要概念，往往用力不够，没有引导学生从不同的角度理解二次三项式，以致有一些学有困难的学生到了九年级之后，对二次三项式这个名词仍然有些陌生．此外，二次三项式进入八年级整式乘除、因式分解之后，将逐渐显示出它的重要性，不仅是完全平方公式展开的结果是二次三项式，还有很多两个一次二次项乘积也是二次三项式，比如，我们在上述课例中选用的“（a-2）（a-4）”．基于上述理解，我们选择了二次三项式作为一个训练和聚焦的主线，串起一节代数复习课．其实类似的主干知识还有很多，比如，对一次二项式也可以从整式加减、乘除、因式分解、二元一次方程、不等式、一次函数等角度来构思串联．

2.精心选取高频问题，反思多解归一

在明确聚焦二次三项式这个复习主题之后，还面临着如何选择典型的二次三项式，从上面课例来看，我们最终锁定“多项式x2+2x+1，5-4x+x2，-6a+8+a2，12m-4m2-9”也是精心预设的，一方面这些多项式是高频考点，各具代表性，这在后续的教学活动中都得到了体现，比如，通过围绕这4个多项式展开的多角度问题，突破教学难点．特别是，活动二、三中的两个问题“多项式4x2-mx+9是完全平方式”、“关于x的方程4x2-mx+9=0有两个相等的实数根”，在结构上都是一类问题，学生在练习过程中可以感受到它们的一致性，从而获得“多解归一”的解题感悟．

三、写在最后

章建跃老师在《全面深化数学课改的几个关键》一文中指出：“可以非常肯定的说，我国当前数学教育中出现的问题，不在理念认同，而在理念落地．也就是说，缺少体现数学学习规律、具有可操作性的数学教学策略、方法和手段，是当前深化课改的主要问题之一．”［1］并认为“教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键，……在正确理解教学的前提下，设计‘问题串’而形成教学主线……”．当然，我们引导学生聚焦二次三项式，开发中考复习课例的这些努力还处于初步阶段，期待更多的同行实践跟进给予批评指正．

1.章建跃．全面深化数学课改的几个关键［J］．课程·教材·教法，2015（5）.

2.浦叙德，朱宸材．以小见大见微知著［J］．数学教学研究，2015（9）.

3.朱宸材，等．浅谈数学课堂教学为探究活动设计［J］．中学数学（下），2013（8）