基于多目标规划理论的财险公司定价决策模型

（南开大学 经济学院，天津 300071）

一、引言

近年来我国财产险公司承保利润持续下滑，其中愈演愈烈的非理性价格竞争是导致利润下滑的重要原因。定价决策是保险公司运营管理的核心环节，合理的产品价格对公司的发展至关重要。过高的产品价格会降低销售者的积极性和消费者的购买意愿，影响产品销量，导致保险公司丧失竞争优势；而过低的定价不仅会降低公司的盈利能力，而且其潜在偿还风险可能会给保险公司带来致命打击。因此，研究制定合理的产品价格决策对于保险公司来说具有非常重要的现实意义。

保险定价是管理者在精算费率拟定的基础上，充分考虑消费者、经营者、监管者、销售者、股东等利益相关者的要求或期望后综合制定的一个合理价格。在制定价格的过程中，管理者需要多角度全方位地考虑多个目标和约束条件。首先，消费者追求高性价比的产品；销售者追求利于销售的产品，通常意味着较低的产品价格；经营者和股东追求能够满足公司利润最大化、规模最大化或者公司价值最大化等目标的产品价格；此外，处于中立位置的监管者希望产品的定价能够公平合理，各类风险都能够最小。其次，定价过程受到多重约束，最重要的约束是成本约束，主要包括精算成本、管理成本、佣金成本和税收成本等；由于保险公司需持有与业务规模相匹配的资本才能开展业务。因此，最优价格同时受到资本成本（融资成本、摩擦成本等）的影响。

基于以上分析，保险产品定价是具有多目标属性，需要引入多目标规划理论来进行分析。在实际操作中，对于具体的保险产品，其设计的目的只为满足保险公司的某一或某些目标。本文针对财险公司的特性，基于多目标规划方法构建最优定价模型，通过将定价过程与投资过程以及风险管理过程有机结合，满足公司对利润、投资风险、破产概率等目标的追求。

二、文献综述

目前两类比较重要的保险定价方法分别是应用概率论、精算科学的精算定价模型和产生于现代金融理论的金融定价模型［1］。精算模型和金融模型的共同特点是均假设保险价格与销售量相互独立、利润外生，没有考虑保险价格变动对保单销售数量的影响。而目前学术界已有大量文献从实证角度证实了保险价格对保费收入的影响，以及保险价格弹性的存在性。

Piyawadee具体考察了美国市场上机动车辆保险的价格对保费收入的影响，文中以损失率的倒数代替保险价格，得到了保费收入与价格反向相关的结论［2］。徐良君以南方某保险公司财产险的保费和保费金额为例，认为此保险需求与保险价格反向相关，但是弹性很小，因此保险产品属于必需品，与价格关系不大［3］。因此定价决策时忽略价格弹性的假定与实际经营情况不相吻合。

Kliger和Levikson从经济学和概率论角度建立了一个期望利润最大化的定价模型，该模型假设保险价格与保险销售量负相关，并将保险公司期望利润定义为由出售保险产品所带来的净收益与期望破产成本之差，得到最优的保险价格和保单数量［4］。Hong和Krzysztof认为资本数量会影响到保险公司期望利润和偿付能力等，因此资本管理也是定价决策中必须要考虑到的部分［5］，但这两篇文章都没有考虑到资本投资行为对最优价格以及偿付能力的影响。

Sommer在期权定价理论的框架下研究了财险公司的投资决策和投资风险，其假设的需求函数是偿付能力风险的减函数［6］。Emms和Haberman考察了需求函数的两类表现形式，分别是指数需求函数和需求弹性不变的需求函数［7］。Hong Mao和Carson假设产品价格、投资收益、损失是相互关联的随机过程，通过最大化保险人终身收益的效用函数同时得到保险合同的最优价格和保险人的最优投资策略，其需求函数假设为价格需求弹性不变［8］。虽然这些研究都假设了需求弹性以及需求函数的存在性，然而通过分析不难发现，他们的研究都只针对于保险公司的单一目标。因此，在设定决策变量时，往往只考虑了两个方面，最优价格与资产配置，或者最优价格与偿付能力等，没有考察最优价格、资产配置、偿付能力三者之间的相互影响。

本文从经济学的角度建立了一个多目标的定价决策模型，以利润最大化和风险最小化为目标，假设被保险人数与保单价格成反比，将定价决策、投资管理、风险管理决策融合起来，以期实现各种决策同时达到最优。

三、多目标规划定价模型

假设存在一个垄断竞争的保险市场，该市场中有N 个风险厌恶的潜在客户，每个人面临的可能财产损失为Xi，Xi，i=1，2，3…N 是独立同分布的随机变量，均值为μ，标准差为σ。假设该市场中的某家财险公司计划针对这些潜在的客户出售完全保险，期初收取保费，期末支付赔款。由于每个潜在被保险人的效用函数不同，他们的最低消费意愿也不尽相同，随着保单价格的下降，购买保险的人数会逐步增加。假设保单销售量为q，q=f（p），是产品价格p的函数，f（·）是该公司面临的斜率为负的保险需求函数，总保费收入P0=pq。

产品费用假设为总保费收入的函数，记为C0=c（P0）。与保费收入相匹配的初始资本记为R0，初始时刻保险公司的总资产为A0=P0+R0-C0。由于保费收入与支出之间存在时间差，保险公司可将资产进行投资来增加利润。经过一年期的投资期末资产总值为A1=A0（1+I），其中I为总投资收益率，，…，M 是每种资产的投资比例，ij，j=1，…，M 是每种资产的收益率。期末的索赔总额为与保单销售量有关。

在上述模型设定的基础上考虑资本成本，在市场经济条件下，资本成本即为资本的价格。保险公司持有资本的成本包括：税收成本、代理成本、财务困境成本和融资成本等，本文中主要考虑融资成本和财务困境成本。融资成本指公司为了取得资金和使用资金而支付的成本，不同来源的资本其所承担的风险不同，所要求的报酬不同，因而融资成本也不同，融资成本表示为αR0。

财务困境成本主要指公司陷入财务困境时产生的成本，公司陷入财务困境后极可能破产，财务困境成本分为直接财务困境成本和间接财务困境成本，前者包括与清偿或重组相关的法律、会计和管理费用；后者则指财务困境对公司经营能力的伤害。假设K 是破产成本，包括未来现金流的损失和重新建立新公司的必要资金。财务困境成本等于破产成本与破产概率的乘积：BC=K＊Prob。破产概率为期末总损失超过期末总资本的概率：

（一）目标的设定

本文设定的第一个目标是期望净利润最大化目标。保险公司是盈利性的公司，以利润最大化为主要经营目的，若不能够获得一定利润，股东将对公司的发展失去信心，公司必将难以为继。同时由于保险产品的特殊性质，保险公司收入在前，支出在后，为了防止过度降价导致偿付能力不足风险，本文将破产成本作为惩罚函数加入利润函数。期望净利润为：profit=A1-L1-αR0-R0-BC，由承保利润和投资利润两部分组成。

本文设定的第二个目标是投资风险最小化目标。投资风险是指保险公司投资过程中可能会遭受收益率波动，信用违约等风险。投资收益高的资产可能会带来高利润，同时也会带来高风险，高波动的投资收益率可能会给保险公司带来巨额损失。在定价决策中须考虑投资风险的问题，在假设不同资产的风险和收益是确定的条件下，投资风险可用投资收益率的标准差和相关系数来表示：

其中M 指可投资的资产总类，σi是第i种资产收益率的标准差，ρi，j是第i种资产和第j种资产的相关系数。

（二）主要约束条件

1.精算成本约束。保险公司的产品价格必须大于其精算成本，否则保险公司卖出的每一份产品将带来损失而非利润。实际中，当投资收益率较高时，保险公司为了增加保费收入，从而迅速积聚可用于投资的资金规模，可能会采取降低费率的价格竞争手段来增加保险费收入，用投资收益弥补承保亏损，违背了保险的传统意义。根据精算定价原理，保费收入应足够补偿期望的损失和费用，即期望承保利润必须为正。本文的实际承保利润为：（P0-C0）（1+r0）-L1，其中r0为无风险利率，实际损失在定价初期是未知的，本文用期望承保利润代替：

2.投资比例约束和偿付能力约束。在投资比例约束方面，中国保险监督管理委员会颁布的《保险资金运用管理暂行办法》对保险资金的运用形式和投资比例上下限有着明确规定。在偿付能力方面，《保险公司偿付能力管理规定》指出，保险公司应当具有与其风险和业务规模相适应的资本，确保偿付能力充足率不低于100%。根据最低资本的计算原则，本文假定保险公司期初、期末的资本总额必须大于当年保费收入的17%，同时也大于期望损失的26%。综合考虑以上分析与假设，建立多目标财险公司定价决策模型如下：

四、模型的求解

多目标问题的常见解法是将多目标规划转化成为单目标规划来求解，转化方法包括线性加权法、主要目标法、极大极小点法以及理想点法，本文主要使用线性加权法进行求解，根据决策者的偏好关系来确定权重信息，将多目标转化为单目标。一般情况下，不同的目标权重可能会导致不同的求解结果。

（一）参数的设定

本文中需求函数、损失参数和破产成本的设定均参照Kliger文章中的数据［4］，假定保险需求函数为线性需求函数p-μ=c-dq，其中c=300，d=0.0150；μ=2500，σ=12500；破产成本K 约等于破产所损失的未来三年的保费收入之和4500000。初始资本R0依据模型约束条件可设为10000000①。可投资的资产类别为：无风险资产（包括国债和银行存款）、公司债券、股票和基金。公司债券、股票和基金收益率假设服从正态分布。为了更好地体现不同资产收益率和波动率的差别，本文主要依据近几年上证股票、基金、国债、公司债指数数据来计算不同风险资产的平均收益率、标准差和相关系数。根据保监会有关保险资金运营的规定，这里假设无风险资产的比例不低于20%，债券投资的比例不超过60%，股票和基金的投资比例不超过40%。其他参数设置如表1所示。

表1 其他参数设置

此时多目标模型可转化为：

（二）模型求解

求解思路：设定初始的利润和风险的目标权重比为1∶1。由于破产概率prob形式复杂，无法直接求出表达式，这里使用模拟的方法求解。为了增加模拟结果的可信度，本文中单次求解的模拟次数均为10万次。求解结果如表2所示。

表2 初始资本为10000000时的求解结果

最优保险价格为2671，投资到无风险资产、债券、股票的资产比例分别为20%、58.85%和21.15%。此时的净利润为3127222，破产概率为0。通过设定不同的初始资本我们可以得到一系列不同的最优解。在不考虑初始资本约束的情况下，图1～5分别给出了当初始资本变动时，保单价格、保单销售量、股票和债券的投资比例、破产概率以及期望净利润的变化轨迹。

图1揭示了，初始资本对产品价格的影响较小，随着初始资本的增加，产品价格有微弱的上升趋势。图2揭示了，在初始资本从10000000到16000000的增加过程中，保单销售量经历了较为明显的变化，其余阶段基本保持不变。

图1 保单价格的变化轨迹

图2 保单销售量的变化轨迹

图3 债券、股票投资比例的变化轨迹

图4 破产概率的变化轨迹

图3表明，投资资产中债券所占比例较为稳定，随着初始资本的增加从开始的50%左右逐渐增加至投资比例上限60%；反之，股票投资比例的变化非常明显，随着初始资本的增加，股票投资比例从30%以上降低到20%以下。初始资本对保险公司的资产配置影响较大，随着初始资本的增加，保险公司将采取更加保守的投资策略。从图4中，我们可以看出，在其他条件保持不变时，大于5000000的初始资本能够保证极小的破产概率（在10万次的模拟次数下，破产次数接近于0）。初始资本的增加能够显著地减少保险公司的破产风险，提高保险公司的偿付能力。

图5则给出了期望净利润的变化轨迹。虽然初始资本较少时破产概率较高，但此时较高的投资收益弥补了较高的惩罚成本。期望净利润在R0=2000000左右时达到最高点，之后随着初始资本的增加一直在减少。在R0∈［12000000，16000000］区间望利润基本保持不变，当R0≥16000000时，期望利润直线减少。

通过上述的分析我们可以发现当初始资本的值大于2000000时，利润最大化目标要求最优的初始资本的值是越少越好。然而初始资本的值是受到约束的，因此满足约束的最低初始资本即是我们所求的最优初始资本。由图1和图2可以确定最优保费价格和销售量的变化区间，进而求出保费收入和期望索赔的最大值，将最大值带入偿付能力约束，可重新设定出新的资本约束的初始值为R0=6000000，重复上述计算过程我们可以得到新的最优价格、销售量以及初始资本约束。通过多次迭代，我们可以得到最优的初始资本为R0=5584800，其他结果见表3，与R0=10000000时的结果相比，不仅净利润增加，投资风险也有所降低。

图5 期望净利润的变化轨迹

表3 初始资本最优时的求解结果

上述的分析结果表明：第一，其他条件不变时，安全性能较高的保险公司可以收取较高的保费收入。在本文的模型中表现为破产概率与产品价格成反比，破产概率越低，公司安全性能越高；产品价格越低，保费收入越高。第二，资本短缺的保险公司倾向于降低价格收取更多保费。在本文的模型中表现为价格变动与初始资本的变动反向相关。

（三）目标权重比对求解结果的影响分析

以上的求解过程是在目标权重比为1∶1的基础上进行的，以下通过对模型中各个目标选择不同的权重，将求解得到的最优决策进行比较分析，得到最优决策结果见表4。

表4 不同目标权重的求解结果

表4表明，随着利润目标权重的增加，最优价格逐渐降低，购买保险的人数大幅增加；与此同时，股票资产的比例随着利润偏好的增加而增加。由此可见，保险公司为了增加利润，一方面通过降低产品价格促进产品销售来增加保费收入，另一方面通过增加对股票等风险资产的投资来增加投资利润。利润增加，风险资产占比增加的同时带来了破产概率的剧增。

图6表示当保险公司只注重风险目标时，最优的结果是风险值为0，此时保单价格为2800，潜在被保险人选择不购买保险，保险公司的利润为0。当利润占比从0增加到20%时，期望净利润值大幅增加。图7给出了破产概率随利润目标权重比的变化轨迹。从图中我们可以看出，当利润目标的权重占比在70%以下时，破产概率小于1%。结合图6和图7，可以得到，虽然利润权重的选择是由经营者的主观偏好决定的，但是太低或太高的利润占比都不利于保险公司的发展，最优的利润占比应该控制在20%～70%之间。

图6 利润、风险随目标权重的变化轨迹

图7 破产概率随目标权重的变化轨迹

以上分析结果表明：第一，多目标模型可避免只关注单一目标时造成的公司发展困境，降低破产概率，减少投资风险，同时达到一定的利润目标。第二，多目标权重的选择对结果的影响很大，保险公司在运用多目标定价模型时，需在最优权重的限制范围内，根据保险公司当时的具体经营目标进行权衡选择。

五、结论

随着保险主体逐渐增多，市场竞争日益加剧，费率竞争已经成为各大保险公司提高保费收入、抢占市场份额的一个重要手段。在这种情况下，无序的费率竞争很容易影响保险公司的偿付能力，损害保单持有人利益，此时保险公司在定价决策时需要考虑多个目标来避免竞争的无效率。

本文构建了基于多目标理论的保险定价决策模型，以利润最大化和投资风险最小化为目标，在假设向下倾斜保险产品需求函数的基础上，考察初始资本、资产配置和偿付能力对最优价格和保单销售量的影响。本文的主要结论如下：第一，初始资本对最优价格的影响较小；对破产概率的影响较大。实际操作中，保险公司在确定最优产品价格时，可以不用过多考虑初始资本，但从公司整体利润最大化角度来看，存在最优的初始资本额。第二，保守的资产配置对应着较高的保单价格。保单价格较高时，每个保单都对应着较高的承保利润，保险公司应该选择更安全的投资组合来避免受到偿付能力不足的惩罚。保险价格对保险公司的影响是多方面的，价格通过影响保险公司的保费收入规模，进而影响公司的总资产额、资产配置方案和偿付能力。因此保险公司在进行定价时，需结合精算成本、市场需求和公司发展等多方面因素进行决策。

本文还发现目标的权重对于最后的定价结果产生非常重要的影响。为了保证定价决策的合理有效性，必须深入挖掘相关的偏好信息。建议首先从公司的性质出发，使产品定价、产品结构与公司的股权结构、资产规模相匹配。然后从决策者本身的偏好出发，设定目标层级和权重关系。最后为了保证定价目标的实现，各主体需要约束自身片面追求个体利益的行为，使各个经营环节的经营结果与预期目标趋于一致。

注释：

①本文为了方便计算，给定了初始资本初始值，通过精算成本约束和最低初始资本约束可计算出最高初始资本的约束下界为9807200，因此设定初始资本为10000000来满足约束条件限制。

［1］J.David Cummins.Statistical and Financial Models of Insurance Pricing and the Insurance Firm［J］.The Journal of Risk and Insurance，1991，58（2）：261—302.

［2］Khovidhunkit，Piyawadee.Demand for Automobile Insurance in the United States［D］.Philadelphia，PA：Temple University，2005.

［3］徐君良.保险需求价格弹性与保险监管政策选择［J］.广东金融学院学报.2007，22（5）：94—96.

［4］Doron Kliger，Benny Levikson.Pricing Insurance Contracts：An Economic Viewpoint［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1998，（22）：243—249.

［5］Hong Mao，Krzysztof Ostaszewski.Pricing Insurance Contracts and Determining Optimal Capital of Insurers［Z］.IEEM（Industrial Engineering and Engineering Management）International Conference，2010.

［6］David W.Sommer.The Impact of Firm Risk on Property-liability Insurance Prices［J］.The Journal of Risk and Insurance，1996，63（3）：501—514.

［7］P.Emms，S.Haberman，I.Savoulli.Optimal Strategies for Pricing General Insurance［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2007，40（1）：15—34.

［8］Hong Mao，James M.Carson，Krzysztof M.Ostaszewski，Zhongkai Wen.Optimal Decision on Dynamic Insurance Price and Investment Portfolio of an Insurer［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2013，52（2）：359—369.