对数学高考一题多空填空题命制的探讨

●曹凤山(余杭高级中学浙江杭州311100)

对数学高考一题多空填空题命制的探讨

●曹凤山(余杭高级中学浙江杭州311100)

填空题被称为数学高考命题的“试验田”，其命题形式、内容等方面都处在不断变革和完善之中，一题多空是命题技术创新的形式之一.2004年北京市数学高考试卷中开始出现一题两空，一些省市(如湖南、湖北、广东、天津等)相继引入这种题型.

1 一题多空是对填空题题型功能的进一步优化与完善

填空题通过提供一个不完整的叙述，让考生根据要求填写空缺的部分(定量或者定性)，形成一个正确的命题，填写内容可以是条件，也可以是结论，命题形式比较灵活，主要考查基本概念、基本技能.

填空题与选择题同属客观题，题型的特点与功能都很突出.如试题形式简洁，考查针对性强、单题立意鲜明;评分客观、快捷，定量化的试题还可以考虑计算机辅助阅卷;单题知识点有效控制，一组试题又有比较理想的知识覆盖率等.

相比选择题，填空题没有备选项，既没有提示，又避免了干扰，能更真实地反映学生的客观水平，显示出这种题型在考查双基方面的优势.相对于解答题，由于不显示解题步骤，没有过程分，一笔失误与根本不会的结果没有任何区别，填空题也成为考生最头疼的题型之一，得分率相对较低，区分度也受到一定影响.另外，一题一空的填空形式，命题时考查的知识点数量与考查深度必须严格控制，如求解的过程宜短，不宜超过3步，否则难以保证信度，也势必降低区分度.一题多空形式在发挥一题一空题型优势的同时，设立“中间站”，体现局部结果，部分弥补了填空题的不足:一方面可以增加考查内容，扩大知识覆盖面，一个主题下分解成2个(或者更多)答题点，考查更多的双基，考生可以更加“知无不言”，避免没有步骤造成考生一笔写错，整体失分，更真实地反映客观水平;另一方面，对于难度较大的试题，一些学生“分步得分”，体现考生之间的差异，在送出一定分数的基础上，提高一些试题的考查深度，既丰富了命题形式，又可以提高试卷的区分度，从而更好地完成高考在人才选拔中的任务.

2 一题多空填空题的数量、试题位置及评分标准丰富了试卷模式

整卷整体在布局，单题重在立意.由于没有选择项提示，在解法上，填空题直接求解较多，一些间接方法的使用远不如选择题有效、准确，解题速度明显低于选择题.在一张试卷中填空题的数量要充分考虑考生的实际，合理安排，使用太多会给考生造成心理负担，使用过少则不能显示其在调整区分度、体现选拔等方面的作用.

续表1

从表1可以看出:各省市使用一题多空(基本都是一题两空)试题的数量都不一样，同一省市不同年份的试卷中试题数量也有区别;从试题位置来看，同样不固定，根据选材、内容等特点，灵活摆放其位置，命题人一般根据素材的类型和难度预设、预估，按照难度次序从易到难排列，有些与一题一空混合排列，有些则集中出现，没有固定次序.试卷模式每年都可能有变化，打破“八股”模式，灵活构筑令人耳目一新的高考试卷.

从评分的角度看，一题多空丰富了评分模式.如一些省份一道一题两空(共5分)的选择题，根据试题难度、考查目的、功能定位等，可以前空2分后空3分，或者前空3分后空2分，或者只对一空得2分、2空都对得5分，更客观地体现了“按劳取酬、优工优酬、体现侧重”的原则.

3 一题多空填空题的设计示例

在一题一空填空题的基础上，一题多空试题设计形式更加多样.根据不同的分类标准分为不同的类型，当然，这些分类不是绝对的，没有绝对的零点、分界线.

3.1 从考查目的看

可以分为概念型、计算型、推理型以及阅读理解型等.概念型填空题，一般是通过实例检测学生对数学概念的理解是否正确，一题多空可以在一个主干知识下考查几个相关的知识点，使主干知识的考查更加突出，避免蜻蜓点水式的点到为止.同样，计算型填空题通过一些运算，检测对算理、公式、性质的理解和运算的准确性，一题多空可以有简单的计算，也可以有一定程度的推演与算理考查;推理型填空题主要通过推理能力的训练与考查，检测学生是否熟练掌握推理能力，是否熟练掌握相关的数学基本性质，一题多空一般前特殊后一般，步步推进;阅读理解型又称新定义问题，通过给出的材料“命题作文”，一题多空可以更真实地反映考生的阅读理解以及进一步学习的潜能.

例1已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______.

(2010年北京市数学高考试题第13题)

分析本题属概念型问题.主要考查双曲线离心率、焦点、渐近线、椭圆的焦点等基本概念，基本没有计算量，体现“会即对”的特点.双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出焦点坐标为(±4，0)，又双曲线的离心率为2，即，c=4，故a=2，，渐近线方程为

类题再现从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图1所示).由图1中的数据可知a= ______.若要从身高在［120，130)，［130，140)，［140，150］这3组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为______(答案:0.030，3).

图1

(2010年北京市数学高考试题第11题)

例2设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且f(x)＞0.对任意a＞0，b＞0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b).例如，当f(x)=1(其中x＞0)时，可得，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数.

1)当f(x)=______(其中x＞0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数;

2)当f(x)=______(其中x＞0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数

(以上2空各只需写出1个符合要求的函数即可.)

(2014年湖北省数学高考试题第14题)

分析本题属于阅读理解型(新定义)，这类问题常出现教材中没有学过的一些概念、运算、符号，要求考生读懂题意并结合已有的知识加以理解，根据新定义进行运算、推理.阅读理解型问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力等.如果一题一空则显得题干大而无当，利用率太低，一题两空可以充分显示考生的理解深度.

本题中，定义了c为a，b关于函数f(x)的平均数，实际上本题还考查了直线的相关知识.同时，试题结论呈现开放性，考生可以根据自己的理解与熟练程度选择不同的函数形式.过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线的方程为

类题再现回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个:11，22，33，…，99，3位回文数有90个:101，111，121，…，191，202，…，999，则

1)4位回文数有______个;

2)2n+1(n∈N+)位回文数有______个.

(答案:90，9×10n.)

(2012年湖北省数学高考试题第13题)

例3已知离散型随机变量X的分布列如图2所示.若EX=1，DX=1，则a= ______，b =______.

图2

(2009年广东省数学高考试题第12题)

分析本题属于计算型问题.主要考查利用离散型随机变量的分布列、方差、数学期望的相应公式与性质，通过建立方程组，求解方程组解决问题，显示了一个完整的问题形式.由题意知

(2011年北京市数学高考试题第11题)

例4如图3放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为______;y=f(x)在其2个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为______.

图3

(2010年北京市数学高考试题第14题)

说明“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.

分析本题属于探索型问题.探索型问题可以是条件探索型，也可以是结论探索型，或者存在型.与阅读理解问题类似，一题多空有利于题目设计的完整性、考查的深刻性.

不难想象，从某一个顶点(比如点A)落在x轴上时开始计算，到下一次点A落在x轴上，这个过程中4个顶点依次落在了x轴上，而每2个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4.

下面考察点P的运动轨迹.不妨考察正方形向右滚动，点P从x轴上开始运动的时候，首先是围绕点A运动(轨迹是一个圆)，该圆半径为1;然后以点B为中心，滚动到点C落地，期间是以BP为半径，旋转90°;然后以点C为圆心，再旋转90°，这时候的圆以CP为半径，因此最终构成图像如图4所示:

图4

因此不难算出这块区域的面积为π+1.

类题再现设N=2n(其中n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个位置，得到排列P1=x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成2段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2;当 2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1.例如，当N=8时，P2= x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.

1)当N=16时，x7位于P2中的第______个位置;

2)当N=2n(其中n≥8)时，x173位于P4中的第______个位置.

(答案:6，3×2n－4+11.)

(2012年湖南省数学高考试题第16题)

3.2 从层次结构看

可以分为并列型、递进型.并列型的多空问题之间知识内容、思维层次没有前后关系，各自独立求解，只是增加考查知识的覆盖面;递进型，前一空的解决是后一空解决的必需，第1空的解决为第2空作铺垫，难度拾阶而上，既有区分度又让一些学生得到部分分数.

例5如图5，双曲线(其中a＞0， b＞0)的2个顶点为A1，A2，虚轴2个端点为B1，B2，2个焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则

图5

1)双曲线的离心率e= ______;

2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=______.

(2012年湖北省数学高考试题第14题)

分析本题属于递进型问题.主要考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.其中，第2空的解决要依靠第1空的结果.

1)由于以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，因此点O到直线F2B2的距离为a，又由于虚轴2个端点为B1，B2，因此OB2的长为b.在△F2OB2中，由三角形的面积公式知

又c2=a2+b2，联立可得

2)设∠F2OB2=θ，显然∠F2A2O=∠AOB2=θ，因此

在△F2OB2中，求得

菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，再根据第1)小题中求得的e值可以得出

类题再现椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=______;∠F1PF2的大小为______(答案:2，120°).

(2009年北京市数学高考试题第12题)

例6已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为______的最大值为______.

图6

(2012年北京市数学高考试题第13题)

分析本题属于并列型问题，2个问题同一题干，前后没有因果关系，可以独自求解，难度上一般是依次递增.根据平面向量的数量积公式

类题再现已知数列{an}满足:a4n－3=1，a4n－1=0，a2n=an(其中n∈N*)，则a2009= ______，a2014=______(答案:1，0).

(2009年北京市数学高考试题第14题)

对于一题多空填空题的求解，与一题一空类似，主要是采用直接推演，即由因导果法，它是解填空题的基本方法.根据填空题的题设条件，通过定义、公理、定理、公式等经过计算、变形、分析、推理或判断，得出正确的结论.只是一题多空要注意前后填写内容之间的逻辑关系，采取分步得分、跳步得分、阶梯得分等策略，当然，在一定条件下，也要注意特殊化方法、数形结合方法等特殊解法的运用.

［1］教育部考试中心.高考数学测量理论与实践［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］曹凤山，赵冬梅.高考数学试题是如何考查继续学习潜能的［J］.中学数学教学参考:上旬，2011(11):45-48.