一个说题比赛的案例

●陈芝飞(温州市第十四高级中学浙江温州32500)

一个说题比赛的案例

●陈芝飞(温州市第十四高级中学浙江温州32500)

2014年12月18日，浙江省第2届高中数学说题比赛在宁波市鄞州中学落下帷幕，本次比赛分个人赛、接力赛，共6道精彩纷呈的题目.笔者有幸聆听，感慨良多，受益匪浅.说题的对象尽管是教师，但醉翁之意不在酒，说题的目的是为了学生，正所谓此时无“生”胜有“生”.笔者就其中个人赛的第2题谈谈如何“说题”.

题目在非等腰直角△ABC中，已知∠C= 90°，D是BC的一个三等分点.若，求sin∠BAC的值.

1 说解法

解法1设BC=3a，AC=b，∠BAD=α，∠BAC=β，因为∠C=90°，所以α为锐角，又，可得.由题意知D是BC的三等分点，可得:

1)如图1，若DC=a，则

2)若DC=2a，则易得2tanβ=3tan(β－α)，又，得

图1

图2

解法2(解析法)如图2建立直角坐标系，D是BC的三等分点.若，则kAB=3kAD，又，从而

解法3不妨假设BC=3a，AC=1，D是BC的三等分点.若，则

解法4(等面积法)不妨假设BC=3a，AC=1， D是BC的三等分点.若，则

此外，本题还有向量法、正弦定理法、构造直角三角形法等.

2 说背景及本质

本题源于2013年浙江省数学高考理科试题第16题:如图3，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC= ______.

图3

其本质是解三角形问题，即求三角形的3条边及3个角的问题.将中点改为一个三等分点后，情况变复杂了，sin∠BAC的值的个数也发生了变化.

3 说教学功能

本题解法多样，是培养学生一题多解、训练和培养学生优秀思维品质的好题.既考查了学生数学思维的灵活性、发散性，也考查了学生数学思维的敏锐性与创新性.体现了浙江省客观题命制“起点低，入口宽，重通解，有内涵，能力立意，重视思想，讲究策略，小题不大做”的高考导向.既能帮助学生梳理关于解三角形问题的常用解法(如正弦、余弦定理法，向量法等)，也能培养学生优化运算能力与渗透解方程思想(如解法3、解法4，先固定AC=1，化两元为一元，再分别用余弦定理、等面积法建立关于a的一元方程求解)，既能培养学生的转化化归能力(如解法1)，也能培养学生发散思维与优化解题策略(如解法2，联想到直线斜率与倾斜角，解析法建系用到角公式解题等).

4 拓展与延伸

变式1(一解到多解)在△ABC中，已知∠C=90°，D是BC的一个三等分点.若，求tan∠BAC的值.

解设BC=3a，AC=b，∠BAD=α，∠BAC=β，因为∠C=90°，所以α为锐角，又，从而.由题意知D是BC的三等分点，可得:

延伸cos∠BAD的值将影响tan∠BAC的解的个数，为方便交流，将tan∠BAD记为m，tan∠BAC记为n，其中m＞0，n＞0，变式1也就是探讨m对n的解的个数的影响，用解析法易得:

变式2(定值到最值)在△ABC中，已知∠C=90°，D是边BC上的一个点(不含点B，C).若CD=λBC，求tan∠BAD的最大值.

解设∠BAD=α，∠BAC=β.由于∠C=90°， CD=λBC，D是边BC上的一个点(不含点B，C)，得tanβ＞0，λ∈(0，1).又由CD=λBC得

延伸本题也可以逆向设问改为求值问题:在△ABC中，已知∠C=90°，D是边BC上的一个点(不含点B，C).若CD=λBC，且tan∠BAD的最大值为，求λ的值.

关于说题的功能，笔者认为:一是能提高教师的解题素养;二是能提高教师的教学素养.这2者都是为了学生更好地学.因此，说题具有教学功能.反思学生不喜欢数学，其中一个重要原因是我们不能有效地帮助学生开窍，从而失去了数学对于学生的教育功能.通过说题，至少需要解决以下5个问题:1)解答严密吗?有没有重复和遗漏?2)这道题还有没有其他解法?3)你会变式吗，甚至把这道题目变得面目全非?4)你会用类比的方法把这道题的结论进行推广吗?5)这道题是怎么构造出来的，它的背景是什么?这些问题分别从纵向研究挖掘思维的深度、横向联系培养思维的宽度、延伸拓展成就思维的高度.触及数学本质的教学更能激发学生的学习兴趣，才能实现“减负提质”的有效教学.

［1］葛建华.让“研题”成为数学教师的解题习惯［J］.中小学教学研究，2013(7):55-57.

［2］陆学政.数学教师更需培养研题意识与研题能力［J］.中学数学，2010(5):6-8.

［3］陈柏良.中学数学教学中开展说题活动的实践与思考［J］.数学教学通讯，2002(6):20-22.