2014年高考山东数学理科卷21题解法研究

胡翠霞

题目 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.

（Ⅰ）求C的方程;

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标;

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值;若不存在，请说明理由.

解析（Ⅰ）抛物线C的方程：y2=4x;（略）

（Ⅱ）（ⅰ）（法一）导数法（与2013年山东理科22题（3）问导数法一样）：

设A（x0，y0）（x0y0≠0）、D（xD，0）（xD>0），因为FA=FD，所以xD-1=x0+1，xD=x0+2kAB=-y02;

又因为y2′=4x′2yy′=4，所以y′=2ykAB=2yE=-y02，所以yE=-4y0，xE=4y20.

AE=（4y20-x0，-4y0-y0）;AF=（1-x0，-y0）满足：AE∥AF，所以A，F，E三点共线！

（由对称性及特殊情况“通径”在解答之前就已经知道答案是（1，0）！

图1

（法二）光学性质+几何法（与2013年山东理科22题光学法类似）：

如图1，

做EG∥x轴，交AB于G，由抛物线的光学入射及反射原理知：

∠DAE=∠AEH=∠GEW=∠EGA=∠FDA=∠DAF;

所以A，F，E三点共线;

（Ⅱ）（ⅱ）（法一）巧用切线转化三角形面积，与2014青岛二模20题类似.

设A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0），因为FA=FD，所以xD-1=x0+1，xD=x0+2kAB=-y02;

又因为y2′=4x′2yy′=4所以y′=2ykAB=2yE=-y02，所以yE=-4y0=yG.

lAB：y-y0=-y02（x-x0），即：x=-2y0y+x0+2，代入y2=4x得：y2+8y0y-4x0-8=0y0+yB=-8y0.

如图1：结合yB=-y0-8y0，不难求得：

H（-4y20，0）=（-1x0，0），

S△ABE=12HDy0-yB

=12x0+1x0+2y0+y0+8y0

=12x0+1x0+22y0+8y0≥16.

当且仅当x0=1且y0=±2时取等号.

（Ⅱ）（ⅱ）（法二）光学原理+几何性质.

做EG∥x轴，交AB于G，由抛物线的光学入射及反射原理知：

设A（x0，y0）（x0y0≠0）、D（xD，0）（xD>0），因为FA=FD，所以xD-1=x0+1，xD=x0+2kAB=-y02;

又因为y2′=4x′2yy′=4所以y′=2ykAB=2yE=-y02，所以yE=-4y0=yG.

又因为kAB=y0-yBx0-xB=y0-yBy204-y2B4=4y0+yB=-y02=2yGyG=y0+yB2G为AB中点.

所以S△ABE=2S△AGE=AEGEsinθ=AE2sinθ=4sin2θ2sinθ=16sin3θ≥16，

等号当且仅当θ=90°，即AE斜率不存在时取得.其中，焦点弦公式AE=2psin2θ，θ为直线AE的倾斜角.