2014年高考线性规划“亮题”

综观近几年线性规划的命题，最初单纯考查可行域的画法、目标函数的几何意义，经过几年的演变，现在更关注线性规划与其它知识模块之间的综合.题型越来越活泼开放，从单一的、静态的线性规划发展到较为全面的、动态的线性规划.本文例举几道2014年高考线性规划“亮题”与诸位共同欣赏.

1 线性规划与函数交汇

例1 （2014年山东理）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，

2x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为（ ）.

A.5 B.4 C.5 D.2

答案 B.

解析 画出可行域（如图1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by经过直线2x-y-3=0与直线x-y-1=0的交点A（2，1）时，z取最小值25.将A（2，1）代入目标函数，得2a+b=25，以下用两种方法求a2+b2的最小值：

图1

方法1 （转化为二次函数求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），当a=455时，a2+b2的最小值是4.

方法2 （利用几何意义）转化为求直线2a+b=25上的点到原点距离平方的最小值，即原点到直线2a+b=25的距离的平方，利用点到直线的距离公式即得.

考点 将简单的线性规划与非线性目标函数的最值相结合，考查简单线性规划的应用，二次函数的图像与性质，点到直线距离的几何意义.对于解决非线性目标函数最值问题的关键在于深挖目标函数的几何意义，利用数形结合思想求出最值.

拓展探究 若实数x，y 满足不等式组

y≤x-1，

x≤3，x+5y≥4，则x2y 的最小值是（ ）.

2 线性规划与全称、存在量词结合

例2 （2014年全国课标1）不等式组

x+y≥1，

x-2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：

p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，

p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，

p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，

p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.

其中真命题是（ ）.

A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3

答案 C.

图2

解析 画出可行域（如图2），将四个命题依次代入检验，对于命题p1，可行域内的点恒在直线x+2y=-2的上方，即对所有可行域内的点都满足不等式x+2y≥-2（图3）;

图3 图4

同理对命题p2，可行域内存在点在直线x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（图4）.

其他两个命题经检验不合适.

考点 考查不等式（组）表示的平面区域，全称、存在量词的含义.

3 线性规划与“不等式恒成立”问题融合

例3 （2014年浙江）当实数x，y满足

x+2y-4≤0，

x-y-1≤0，

x≥1，时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 .

答案 1，32.

解析 画出可行域，欲使不等式组1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域内的点恒在两条平行线之间，两条平行线斜率为-a，分别恒过（0，1），（0，4）点，如图5、图6可得a的取值范围.

图5

图6

考点 本题将线性规划与不等式恒成立问题相结合，本质是动态可行域问题，所谓动态的可行域，即在约束条件中含有使可行域发生变化的参数.对于动态的可行域问题，要注意切入的角度、方向，抓住一些不变的量，变动为静，向熟悉的、已有的知识转化，从而化解问题.本题两条平行线斜率含有参变量a，不变的量是两条平行线所过的定点，切入点是直线所过的定点.

拓展探究 （2014年湖南）若变量x，y满足约束条件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值为-6，则k= .

4 线性规划与概率融汇

例4 （2014年湖北）由不等式

x≤0，

y≥0，

y-x-2≤0，确定的平面区域记为Ω1，不等式x+y≤1，

x+y≥-2，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）.

A.18 B.14 C.34 D.78

答案 D.

图7

解析 依题意，不等式组表示的平面区域（如图7），

由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P=

12×2×2-12×1×1212×2×2=78，选D.

考点 本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，属于中档题.

拓展探究 （2014年重庆）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.（用数字答）

2014年线性规划高考题多以客观题形式考查，小巧玲珑，韵味十足.综合课标卷，各省市自主命题卷，都在创新上不遗余力，在能力立意的基础上，大胆的深化，为题目的命制提供新颖的背景，巧妙的条件，深度的设问.因此对于线性规划的高考复习要拓宽思路，改变程序化，特别注重线性规划与其他知识模块之间的综合.在牢固掌握基础知识和基本思想方法的同时，注重横向联系，善于挖掘其中的几何背景，抓住问题的实质，并通过一定的训练，切实提高学生的综合应用能力.

作者简介 刘亮，女，1979年生，山东济南人，一级教师.荣获全国高中青年数学教师优质课二等奖，山东省中学数学教师创新课堂一等奖，山东省中学数学教师优质课一等奖.多篇论文分别获得教育部全国高中数学课程论文比赛二等奖，山东省教育科研成果评选一等奖.发表多篇文章.