也谈函数的零点问题及解法

文[1]指出函数零点问题的类型及解决方法，并给有简洁、到位的点评;从问题的具体特征出发，选择恰当的解题策略，使问题解决能更简便、准确.

1 水尽疑无路

笔者根据题型一的解法求解题1（2011年山东卷理16题）：

已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2<a<3<b<4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*.则n= .

解答明显是“小题大做”，且计算过程繁琐;题解过程也不显有优势.顿生疑惑：为何不能顺利解决？

2 花明又一村

探究发现，利用零点的存在性定理解决该类问题，特别是零点所存在区间的这类开放性问题时，应适当辅以数形结合思想，如此才能使区间的确定更直观自然、快捷准确.

题1可以如下分析：将问题转化为方程logax=-x+b的根所在区间问题，若令g（x）=logax，h（x）=-x+b，从而就可以转化为函数y=g（x）与y=h（x）图像交点问题.简图如图1：

图1

由图可知零点在（1，3）中，另得f（1）<0，f（2）<0，f（3）>0;故可得函数的零点x0∈（2，3），即n=2.

简评 针对这类函数零点存在的区间问题，利用数形结合思想将函数对应的方程进行恰当变形，构造出相对简单的两个常见函数.然后绘出两端的函数图像，通过这两个函数交点的情况来判断，使得复杂的零点存在区间问题简单化.

另反思文[1]中题型五根据零点求参数，采用分离变量的常规处理方法，将含参的复杂函数f（x）的零点问题，巧妙借零点与根之间的关系等价转化.

文中例5：（2011年辽宁卷文第16题）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 .

解题思路是：f（x）=ex-2x+a的零点可以转化为ex-2x+a=0的根的问题，从而最终等价转化为a=-ex+2x的存在性问题.

若借鉴题1的解法，函数f（x）=ex-2x+a有零点方程ex-2x+a=0有实根函数y=ex与y=2x-a图像有交点.借图2：

图2

分析可得：若直线l：y=2x-a0与y=ex相切于P（x0，y0），利用导数可求其切点P的坐标，不难求得是（ln2，2）;此时-a0=2-2ln2，得a0=-2+2ln2.

根据图2可以判断只要在y轴上的截距-a≥-a0，就可得两函数图像必然有公共点;即a≤2ln2-2为所求.

类似文[2]中二次函数在有限开区间内的零点问题，高考常有所考查;也可以利用上述的思路解答.有兴趣的读者可以研究2009年全国高等学校招生统一考试数学浙江卷理科第22题第（Ⅰ）问的具体的解题过程，在此不作赘述.

3 更上一层楼

零点问题是高考的热点问题，常出现于涉及利用函数的导数研究单调性的问题中;是每年的必考知识点.要确定区间上导函数的正负，则导函数的零点是关键.而有时导函数对应的方程是一个超越方程，高中生的知识能力水平，非常规方程的根求而不得;这种“隐零点”问题，可以单独作为一种重要的函数零点的问题类型.“隐零点”问题常规的处理方式是：一阶求导求不到，借高阶研究;或者是设而不求，适时回代.笔者选例2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学理21题（Ⅱ）问：已知函数f（x）=ex-ln（x+m），（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解答如下：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2）.故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上单调递增;又f′（-1）<0，f′（0）>0，故f′（x）=0在（-2，+∞）有唯一实根x0∈（-1，0）.

当x∈（-2，x0）时，f′（x）<0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）>0;从而当x=x0时f（x）取得最小值.

由此得ex0=1x0+2ln（x0+2）=-x0，故f（x）≥f（x0）=1x0+2+（x0+2）-2≥0

综上可证明：当m≤2时，f（x）>0.

简评 导函数存在零点即方程存在实根，但是无法求解出;故先暂且设而不求，等到求最值时，代入替换达到预期的证明效果.

零点是函数部分的常考知识点，厘清问题类型，针对性突破，使解题有的放矢;但也不可思维定势，限制了学生数学思维的灵活性.高考注重对学生数学思维能力的综合考查，学生只有通过解题后反思、探究、总结，才能对知识点理解透彻、方法掌握灵活、解题融会贯通、智能获得提升;从而获得处理问题的数学思想，提高思维的严密性、灵活性和创造性.

参考文献

[1] 梁建.零点问题的类型及解决方法[J].中学数学（上），2014（3）：45-46.

[2] 杨华.二次函数在有限开的区间内有零点的条件[J].中学数学教学参考（上旬），2013（6）：44-45.

作者简介 卫小国，男，1979年1月生，湖北武汉人，中学一级教师.主要研究解题教学、自主招生试题解法和高中数学建模.