椭圆中两个最值问题的探讨

姜坤崇

椭圆中蕴含着许多最值问题，本文给出其中的两个（一类）并进行探讨.

问题1 给定椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m≥0，m≠a）是x轴非负半轴上的一定点，过M引动直线l交E于不同的两点A、B.

（1）当0≤m<a时，求MA·MB的最大值与最小值;

（2）当m>a时，求MA·MB的最大值.

解 （1）当m=0（即M为原点）时易得结论：当l与x轴重合时MA·MB取得最大值a2，当l与x轴垂直时MA·MB取得最小值b2.以下设m>0.

图1 图2

如图1（0<m<a的情形）和图2（m>a的情形），设A（x1，y1）、B（x2，y2），其在x轴上的射影分别为A′、B′，直线l的倾斜角为α（0≤α<π），斜率为k，当α≠0，α≠π2时，t=1k=1tanα，直线l的方程为x=ty+m，代入E的方程整理得

（b2t2+a2）y2+2b2mty+b2（m2-a2）=0. ①

由于y1、y2是关于y的二次方程①的两个实根，故由韦达定理得

y1y2=b2（m2-a2）b2t2+a2. ②

在Rt△AA′M中由∠A′MA=α或π-α可得，AM2

=AA′2sin2α=（t2+1）y21;在Rt△BB′M中由∠B′MB=α或π-α可得，BM2=（t2+1）y22，于是由②式得

MA·MB=（t2+1）y1y2

=b2（t2+1）b2t2+a2·m2-a2. ③

（1）若0<m<a，则由③式得

MA·MB=b2（a2-m2）（t2+1）b2t2+a2.

令u=b2t2+a2，v=1u，f（v）=MA·MB，c2=a2-b2（以下同），则上式可化为

f（v）=（a2-m2）（u-c2）u

=（a2-m2）（-c2u+1）

=（a2-m2）（-c2v+1）. ④

由v=1b2t2+a2及t2>0得0<v<1a2，故由④式知f（v）是（0，1a2）上的一次函数且为减函数，所以f（1a2）<f（v）<f（0），即b2（a2-m2）a2<f（v）<a2-m2.

又当l与x轴重合（即α=0）时可得MA·MB=a2-m2，当l与x轴垂直（即α=π2）时可得MA·MB=b2（a2-m2）a2，故当l与x轴重合时MA·MB取得最大值a2-m2，当l与x轴垂直时MA·MB取得最小值b2（a2-m2）a2.

（2）若m>a，则由③式得

f（v）=b2（m2-a2）（t2+1）b2t2+a2

=（m2-a2）（-c2v+1）. ⑤

设当l与E相切时对应的斜率为k1，对应的v1=1b2t21+a2（t1=1k1），则由①式的判别式等于零可得b2t21+a2=m2，即v1=1m2，从而0<v<1m2，于是由⑤式知一次函数f（v）在（0，1m2）上为减函数，所以f（1m2）<f（v）<f（0），即（m2-a2）（m2-c2）a2<f（v）<m2-a2.

又当l与x轴重合时可得MA·MB=m2-a2，故当l与x轴重合时MA·MB取得最大值m2-a2.

若设l与E的一个切点为C，则可得MC2=（m2-a2）（m2-c2）a2，于是还可得MA·MB

>MC2.

由以上探讨可得如下两个结论：

命题1 给定椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m≥0，m≠a）是x轴非负半轴上的一定点，过M引动直线l交E于不同的两点A、B.

（1）若0≤m<a，则当l与x轴重合时MA·MB取得最大值a2-m2，当l与x轴垂直时MA·MB取得最小值b2（a2-m2）a2;

（2）若m>a，则当l与x轴重合时MA·MB取得最大值m2-a2.

命题2 给定椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>a）是x轴上的一定点，过M引动直线l交E于不同的两点A、B，l与E的一个切点为C，则MA·MB>MC2.

问题2 给定椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m≥0，m≠b）是y轴非负半轴上的一定点，过M引动直线l交E于不同的两点A、B.

（1）当0≤m<b时，求MA·MB的最大值与最小值;

（2）当m>b时，求MA·MB的最小值.

解 （1）当m=0（即M在原点）时易得结论：当l与y轴垂直时MA·MB取得最大值a2，当l与y轴重合时MA·MB取得最小值b2.以下设m>0.

图3

如图3（0<m<b的情形），设A（x1，y1）、B（x2，y2），其在y轴上的射影分别为A′、B′，直线l的倾斜角为α（0≤α<

π），斜率k=tanα（α≠π2），直线l的方程为y=kx+m，代入E的方程整理得

（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）

=0.⑥

由于x1、x2是关于x的二次方程⑥的两个实根，则由韦达定理得

x1x2=a2（m2-b2）a2k2+b2. ⑦

在Rt△AA′M中由∠A′AM=α或π-α可得，MA2=AA′2cos2α=（k2+1）x21;在Rt△BB′M中由∠B′BM=α或π-α可得MB2=（k2+1）x22，于是由⑦式得

MA·MB=（k2+1）x1x2

=a2（k2+1）a2k2+b2·m2-b2. ⑧

（1）若0<m<b，则由⑧式得

MA·MB=a2（b2-m2）（k2+1）a2k2+b2.

令u=a2k2+b2，v=1u，f（v）=MA·MB，则上式可化为

f（v）=（b2-m2）（u+c2）u

=（b2-m2）（c2u+1）

=（b2-m2）（c2v+1）. ⑨

由v=1a2k2+b2及k2>0得0<v<1b2，故由⑨式知f（v）是（0，1b2）上的一次函数且为增函数，所以f（0）<f（v）<f（1b2），即b2-m2<f（v）<a2（b2-m2）b2.

又当l与y轴重合（即α=π2）时可得MA·MB=b2-m2，当l与y轴垂直（即α=0）时可得MA·MB=a2（b2-m2）b2，故当l与y轴重合时MA·MB取得最小值b2-m2，当l与y轴垂直时MA·MB取得最大值a2（b2-m2）b2.

（2）若m>b，则由⑧式得

f（v）=a2（m2-b2）（k2+1）a2k2+b2.

=（m2-b2）（c2v+1）. ⑩

设当l与E相切时对应的斜率为k1，对应的v1=1a2k21+b2，则由⑥式的判别式等于零可得a2k21+b2=m2，即v1=1m2，从而0<v<1m2，于是由⑩式知一次函数f（v）在（0，1m2）上为增函数，所以f（0）<f（v）<f（1m2），即m2-b2<f（v）<（m2-b2）（m2+c2）m2.

又当l与y轴重合时可得MA·MB=m2-b2，故当l与y轴重合时MA·MB取得最小值m2-b2.

若设l与E的一个切点为C，则可得MC2=（m2-b2）（m2+c2）a2，于是还可得MA·MB

<MC2.

由以上探讨可得如下两个结论：

命题3 给定椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m≥0，m≠b）是y轴非负半轴上的一定点，过M引动直线l交E于不同的两点A、B.

（1）若0≤m<b，则当l与y轴垂直时MA·MB取得最大值a2（b2-m2）b2，当l与y轴重合时MA·MB取得最小值b2-m2;

（2）若m>b，则当l与y轴重合时MA·MB取得最小值m2-b2.

命题4 给定椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>b）是y轴上的一定点，过M引动直线l交E于不同的两点A、B，l与E的一个切点为C，则MA·MB<MC2.