使用几何画板如何找出已知椭圆的中心

张伟

已知椭圆，如何确定它的中心？这个问题有很强的实际意义，比如给出一个大口径的封头，我们要根据它的中心来设计其它配套产品.本文使用几何画板，介绍一种寻找椭圆中心的初等方法.

如图所示，我们按照下列步骤确定该椭圆的中心：

（1）在给定椭圆中任意作出两条平行弦AB，CD;

（2）将AB，CD的中点连接成直线l1;

（3）在该椭圆中作出另外两条平行弦EF，GH;

（4）将EF，GH的中点连接成直线l2;

（5）直线l1和l2的交点O即为椭圆的中心.

其中第二次作出的平行弦和第一次的平行弦不能平行.本方法的数学原理是：椭圆平行弦的中点的轨迹一定经过椭圆的中心.证明如下：

设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）内的一组平行弦的斜率为定值k，任取其中一条弦PQ，它的中点坐标为（x0，y0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆中可得：

x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1

相减得：x21-x22a2+y21-y22b2=0，

即（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0.

变形得：-b2a2=（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2），

即-b2a2=y0x0k.

所以中点的轨迹方程为：y=-b2a2kx，它是经过椭圆中心的直线.

这个原理非常简单，是点差法的最基本步骤，我们巧妙地移植过来用于寻找椭圆的中心，避开了复杂的代数运算，也显示了几何画板的巨大威力.