国内外工科院校高等数学教材比较研究

国内外工科院校高等数学教材比较研究

陈文彦,马红铝

(东南大学数学系，南京211189)

[摘要]微积分课程的教学对高校创新型人才的培养具有重要的作用，其教材建设受到普遍关注.本文以中美两部具有代表性的微积分教材为比较对象，着重对两本教材在数学内容、编排、数学在其他领域的应用、与计算机的结合、知识呈现等各方面进行了比较.力图从中展示出中美高等教育在教学思想和表现形式上的某些不同之处，由此得到一些有益的启示.

[关键词]微积分； 教材； 比较

[收稿日期]2015-04-11

[中图分类号]O29；TE312[文献标识码]C

1引言

2数学内容的总体比较

就两类教材所覆盖的数学知识点而言，有差异但并不很大，基本包括了一元函数和多元函数的微积分学、级数、常微分方程初步以及空间解析几何的知识.国外教材中有时会有一些平面解析几何及其它属于初等数学的内容，我国大多数学生在中学中已经学过这些内容.数学内容从整体上看，基本相同，都是高等数学中经典的内容，是应用最广泛的内容，也是绝大多数工科学生必须具备的经典微积分的基础知识.数学内容从编排顺序，编写风格，难度或深度要求上看都存在较大的差异.

3内容编排的比较

中国绝大多数高校使用的高等数学教材在内容编排的顺序上除去一些细微的差异之外，大体相同，且多少年来变化很少.美国不同教材之间在内容编排的顺序上往往存在一定的差异，这种差异不仅体现在内容体系的总体安排上，也反映在具体细节的处理上.

对教材内容，即所覆盖的知识点的角度，郭景明在[5]中对两种教材分章节进行一些具体的比较.笔者也根据这几年的教学经验，提出美国教材中的几点不足之处：

(i) 出于一种认为并非很必要的严格性的考虑，美国教材将对数函数和指数函数放到定积分的那一章才介绍.同时，美国教材通常会将数列极限和单调有界收敛准则放入级数内容的那一章，造成关于无理数e的重要极限无法及时给出证明，从而累及对数函数和指数函数的导数运算公式无法及时给出证明.造成涉及有关这两类函数的求极限、求导数以及求积分这些内容与国内教材相比有明显的差异.美国教材对这部分内容的处理显得比较费时，且给人以支离破碎的感觉.

(ii) 美国教材大多不提无穷小的概念，不讲无穷小的比较，这不仅使学生缺少了一种求极限的有效方法，而且造成诸多后续概念讲解时的不方便.洛必达法则放到积分学后面才出现，不利于学生尽早完整掌握一元函数极限的求法并加以应用.

(iii) 对定积分这一部分内容的处理，美国教材往往会出现前后交叉、重复处较多的现象，从而显得脉络不清.在推导二重积分计算公式时，在讲富必尼定理时是先讲矩形区域而后推广到一般区域，但也只用平行截面法说明定理结论，重复啰嗦而无关键性的证明.同时，美国教材一般不讲三重积分的“切片法”.

在进行新课前，学生已掌握了借贷记账法的基本知识，本课的教法为任务驱动法，学法为自主探究法、小组合作法。教学目标设计为：知识目标为理解会计分录的概念以及种类，明确会计分录的三要素；能力目标是能够熟练地对经济业务进行分析；德育目标为感受小组合作学习的乐趣。

(iv) 对曲线、曲面积分这部分内容，美国教材不明确区分两种不同类型的曲线积分与曲面积分，不突出第二型曲线积分和曲面积分的数量函数表示形式，使得教和学都有一定的难度.

(v) 在常微分方程这部分内容的处理方式上，美国教材没有独立成章，涉及的方程类型和解法少，对用到的理论也不作介绍.

(vi) 关于逻辑推理的训练偏少.以微分中值定理为例，美国教材[1]在处理这个问题时将较难证明的Fermat引理、Roll定理作简要说明，Cauchy定理是在洛必达法则一节中给出证明，在微分中值定理一节中，只给出Lagrange定理的证明，习题也只配了少量的证明题.

当然，这些看起来的不足和中外不同的初等教育体系有关，也和中美的教学要求不同有关.但是在国内的土壤下，是不适合完全照搬这套教材的.不过，下面几点还是可以拿来使用，是值得在今后编写中文教材中借鉴的.

(i) 美国教材通过大量实例说明导数作为函数变化率的实际意义，给学生印象深刻；又将极值问题与较为简单的数学建模紧密结合，引进大量有客观实际背景的应用问题，对提高学生应用导数解决实际问题的能力有帮助.

(ii) 美国教材要多一些向量值函数的导数及其物理意义的介绍，突出等量线(面)、梯度等概念和向量值函数的应用，突出对条件极值和拉格朗日乘子法的几何解释.突出了曲面的参数表示，紧密结合物理应用，内容、方法和术语都要现代一些.

(iii) 美国教材突出一阶方程与定积分的内在联系，突出数学建模和实际应用，往往采取“以应用带出方程”的编写方法，方程与实际背景的联系比较紧密.

4应用方面的比较

国内教材中的应用题选材无论是例题还是习题，基本上都只限于微积分在物理、几何中的传统应用，多年来变化很小，很少反映出现代科学技术的发展，也很少有涉及其它领域的实例.

与国内教材比较，国外教材的的一个突出特点是：无论是例题还是习题其应用题选材内容都比较广泛、多样、新颖，与现代科学技术的发展联系较紧密，且有很多涉及建筑、生物、医学、经济、金融、军事、政治、社会发展等方面的例子，突出了数学的应用性和趣味性，容易吸引学生，提高学生的学习积极性.

5数学理论与计算机软件结合方面的比较

国内现有教材有不少版本也开始有一些数值计算和数学实验的内容，包括软件介绍，一些例题和习题.但从总体上看，仍显得比较薄弱.与国外的很多教材相比有一定的差距.

国外教材中经常穿插了大量的利用数学软件进行计算、作图或其它的一些简单的数学实验或建模的问题，中间穿插了较多的图片，这些图片或用数学软件制作，或来自于新闻图片，精美漂亮，赏心悦目，有助于提高学生的学习兴趣，让学生从一个方面感受到数学美.国外教材在数值计算方面编排的内容远远多于国内教材.

6习题配置方面的比较

国内教材大多按章或按节配置了各种类型的丰富的习题，供学生练习.这些习题大多由浅入深，循序渐进，紧扣教学内容，其中少数习题具有较高的技巧性和较强的综合性，比较注重学生的推理论证和复杂计算能力，有一定难度.通过这些练习，确实有助于学生理解和掌握所学内容.美国不同教材所配习题差异较大，大多数教材的习题量较大，且以基础题为主，对技巧性和综合性的要求不高.但同时美国部分教材在习题配置上有一些国内教材不常有的亮点：

(i) 有时会将国内教材中属于正文的某些内容编排在习题中，能够启发学生思考，利用在教材中学到的思想方法去解决教材中没有直接解决的问题.

(ii) 习题中经常会有一些简单的数值计算题和其它一些引领学生用各种电子设备完成的习题，与现代计算机技术联系较紧密.

(iii) 习题中的应用题部分选材广泛，往往涉及多个不同的领域，有些还需要学生具有将具体问题抽象为数学模型，用数学语言叙述问题，用数学方法解决问题，再用得到的结论去解释实际问题的能力.这种类型的题目在国内教材中比较少见.

(iv) 习题中有时还会出现有启发性和探索性的问题，认真思考这些题目，或将学生引入一个新的领域，开拓学生的视野，激发学生的兴趣；或引导学生对问题做更深入的探讨与研究，使学生得到科研工作的基础训练.

7启示与建议

通过对中美教材的多角度比较，我们应当在保持现有教材体系的优势的同时，积极借鉴美国教材多年改革积累的新经验新亮点，为我所用.

(i) 在概念和定理引入时或更多的介绍其历史和背景，或利用图形演示和数值模拟，使抽象的概念或推理论证过程变得更加直观，更加易于理解，增加教材的可读性.同时配置一些具有启发性和探究性的习题.

(ii) 在教材中适当增加一些来源于多个领域的各种简单而有趣的数学建模的材料，更加突出应用，同时增加教材的趣味性.

(iii) 减少教材编写中的制约因素的影响，鼓励出版适应各种不同层次需要、各具鲜明个性和特色的教材.

博采众长同时面面俱到是不现实的，一种方式可能在这种框架下是好的方式，但是在另一种框架下就显得不伦不类.我们现在能做到的是在现有框架下，在原有教材的基础上，吸收美国教材中好的并且适用我们的方面为我所用，编写出适合我国现有教育体系下的微积分教材.目前已经编写好一本这样的教材，当然，更希望在今后的实践中更加有所改进.

[参考文献]

[1]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. Calculus[M] . 北京：机械工业出版社，2010.

[2]Stewart J. Essential Calculus [M]. 5th Ed. California: Brooks / Cole, 2007.

[3]George B. Thomas. Jr，Ross L. Finney, Maurice D. Weir. Calculus and Analytic Geometry[M]. Addison-Wesley Publishing Company, 1996.

[4]罗庆来, 宋柏生. 高等数学(上册、下册)[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[5]郭镜明，朱晓平, 应明. 交流互补融合提高-中美微积分教材比较[J]. 高等数学研究[J], 2006,9(1)：6-10.

The Comparison of Two Calculus Teaching Materials with Ideas

CHENWen-yan,MAHong-lv

(Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 211189, China)

Abstract:This paper concerns on the comparisons of the calculus in the college textbook between China and America, mainly focusing on the main content, application, exercises, combination with computer. Through the analysis, we provide some idea on the reformation to calculus textbook.

Key words: calculus; teaching material; comparison; analysis