代数中“生成”概念的教学思考

代数中“生成”概念的教学思考

赵正俊

(安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246011)

[摘要]由从事代数教学的经验出发，探讨了代数中一组向量生成线性子空间、一组元素生成子群、子环，以及环(或者域)添加元素所生成的扩环(或者扩域)这些概念的教学，强调“生成”概念由“最小”的角度的解释的重要性.另外，从“最小”观点解释整环扩张所生成的分式域出发，揭示了分式化、代数扩域、代数闭包及整闭包等概念的“生成”实质.

[关键词]生成； 最小； 代数教学； 线性子空间

[收稿日期]2015-01-31

[基金项目]国家自然科学基金(11326052)； 安庆师范学院科研启动基金

[中图分类号]G47[文献标识码]C

1引言

大学数学系课程中代数的内容存在着一些对初学者来说较难理解的知识点，其中比较典型的如“生成”这一概念.关于它最为常见的例子有：在一个线性空间中，选取一组向量，由这组向量生成的线性子空间；在一个群(或者环)中，一组元素生成的子群(或者子环)；环(或者域)添加元素所生成的扩环(或者扩域)，整环扩张所生成的分式域等等.由此可见“生成”无疑是研究代数系统的一个重要的方法.实质上，这种方法不仅限于代数.比如在拓扑学中给定某集合的一族子集S生成的拓扑，实际上即为包含S的“最小”拓扑.

初学者最大的问题是首次看到这些概念不知道这些“生成”的代数系统中大致该有哪些元素，知道该代数系统的具体内容后又不知道为什么有这些元素.

本文作者在实际教学中曾经采用的代数教材，例如[2]，[3]和[5]，参考过的教材如[1]，[4]和[6]，将“生成”这个概念讲的都很透彻，但是均没有突出对那些与“生成”相关的实例给出从“最小”角度的统一诠释，因此许多学生没有在整体的角度建立对“生成”这一常见概念的统一认识.本文展示作者在教学中的强调“最小”角度一点尝试，把这些“生成”的典型实例的教学放在一起加以分析.

2“生成”的典型实例的“最小”解释

2.1　子空间、子群与理想

在一个代数系统内部选取一组元素生成一个子代数系统是研究代数系统的常见方法.

也是“生成”这一概念的最基本的形式.教学中如能适当强调其“极小”的一面，则可以使学生更容易理解“生成”的内涵.

例如，在研究齐次线性方程组Ax=0的解集S的结构时，学生已经初步接触到“生成”的概念：S其实是由基础解系Σ生成的线性子空间.如果深入研究就会发现Σ“生成”S的含义是：任意S中向量是Σ的线性组合；Σ的线性组合一定在S中.这样可以看到在包含意义下S是包含Σ的“最小”线性子空间.

这是一个典型例子.它提供了在给定代数系统的一个子集的情况下，“生成”指定子代数系统的基本模式.揭示了“生成”的实质为考虑必需的运算，给出包含这一集合的“最小”代数系统的过程.具体地，在上述例子中用一个向量的集合生成线性子空间等价于，考虑每个向量的倍数然后再相加后所得全体向量的过程.而保持加法与数乘封闭恰好是线性子空间的定义.

几乎所有“生成”代数系统的过程都与之类似，但是具体来说彼此之间又有细微的差别.对学生来说，理解的最常见的困难来自元素以及运算的多寡.

比如，群中一个元素生成的循环群的结构是较容易理解的.因为群中只考虑一种运算，而包含一个元素时必然包含该元素的一切整数次方幂(群中运算除了特别强调始终认为是乘法)，而这些方幂恰好能够形成一个群.但是如果遇到的是多个元素——可能是任意多个元素——生成的子群，学生通常很难理解其中元素的形式.如果从“最小”的角度——也可以说，至少含有哪些内容——来讲述，包含元素的形式就较易理解：包含一个元素的子群至少包含该元素的一切整数次方幂，包含两个元素的子群至少包含这两个元素的乘积，因此包含一组元素的子群至少包含这组元素中任意有限多元素的乘积，这些有限乘积的全体恰是一个子群，再由这组元素生成的子群是包含这组元素的“最小”子群，可知这些有限乘积即为所求.

2.2　扩环、扩域

添加一些元素到某个代数系统生成新的代数系统，使得原代数系统成为新系统的子系统是构造新代数系统的一种基本方法.比较典型的例子如：给定一个环R，添加一个元素s生成扩环R[s].如果教学中适当弱化一些公理化的细节，即认为s的正整数次方幂以及s与R中元素的乘积与R中原有乘法一致，由“最小”的角度考虑R[s]，则可以让学生发现得到R[s]的过程与2.1节中的例子非常类似.即

如果F是域，同样可以考虑添加一个元素α生成扩域F(α).对这一过程，作者向学生强调要以上述生成扩环的过程为基础.这是因为域首先是环，所以可以首先生成包含F，α的环即F[α]，再解释包含F[α]的最小扩域即是F[α]分式域.

3由“最小”理解一些概念的“生成”本质

3.1　分式域与分式化

众所周知，整环分式域是受到由整数环构造有理数域的启发产生的概念.对于学生来说首次遇到分式域，大多数人由定义来看，不能判断它是否与“生成”有关系.但是通过从“最小”的角度对他们解释，他们就会可以发现整环D的分式域是包含D上所有方程ax=b(a≠0)的解的“最小域”.这就使他们了解到分式域也是“生成”的，但是生成的方式与前面的例子有所差别.可以认为分式域是D添加所有非零元素的逆生成的域.

如果ax=b中的a限制于D的一个乘法子集S，当然此时不需要考虑包含所有解的最小域，只需要考虑最小的环(因此上述分式域的叙述中的“最小域”可以改为“最小环”)，这时得到是D关于S的分式化S-1D.因此S-1D可以看作是D添加S中所有元素的逆生成的环.

3.2　代数扩域、代数闭包与整闭包

整环扩充得到分式域的思想在代数中有很多推广.例如代数扩域即可看成其中重要的一例.如果F是域，它的分式域是平凡的，就是它自己.如果我们在形如ax=b的方程之外再考虑某些高次方程的解，那么包含所有这些方程的解的“最小域”一般不再平凡，而它恰好是学生熟悉的F的代数扩域.而从“最小”观点理解单扩域的过程我们在2.2节中已经论及.这样从另一角度可以使学生认识到代数扩域与单扩域相同的“生成”本质.

如果把方程式选择的范围扩大到F上一切代数方程，那么包含所有这些方程的解的“最小域”即为F的一个代数闭包.因此代数闭包实质也是“生成”出来的域.

如果把域F减弱为一个整环R，在R的某个扩环S中考虑包含R上一切首1方程的解“最小环”，那么得到的是R在S中的整闭包，这样的解释也向学生揭示了整闭包的生成实质.

4结论

以“最小”的观点解释或者定义“生成”的方法相当普遍.通过教学实践，作者深切感觉到适当强调“生成”概念的“最小”解释，可以加深学生对众多“生成”概念的统一理解.本文中，作者只是选取了代数教学中较为典型的例子，相信许多从事代数教学的同行们能提出许多更深刻的实例与见解，希望本文能够起到抛砖引玉的作用.

[参考文献]

[1]冯克勤，等.近世代数引论[M].合肥:中国科技大学出版社，2006.

[2]韩世安，林磊.近世代数[M].北京:科学出版社，2004.

[3]胡冠章.应用近世代数[M]. 3版.北京:清华大学出版社，2006.

[4]石生明.近世代数初步[M].北京:高等教育出版社，2006.

[5]朱平天.近世代数[M].北京:科学出版社，2006.

[6]RotmanJJ.Advancedmodernalgebra(抽象代数)(影印版)[M].北京: 高等教育出版社，2004.

[7]刘小川，何美.高等代数教学方法的探讨[J].大学数学，2013，29(1):149-151.

[8]何立国，施武杰.以线性方程组为中心展开线性代数课程的教学[J].大学数学，2009，25(6):203-206.

OnTeachingofDefinitionforGenerationinAlgebra

ZHAO Zheng-jun

(SchoolofMathematicsandComputationScience，AnqingNormalUniversity，AnqingAnhui246133，China)

Abstract:With the help of experience of teaching in algebra， we talk over in this paper the teaching of some definitions for subspace generated by some vectors in linear space， subgroups and subrings generated by some elements in group and ring respectively and extended ring (or extended field) generated by adding elements to the given ring (or field). We stress the importance of minimality in the teaching of the definition for generation. In addition， we reveal in this paper from generation the essence of the definitions for ring of fractions， algebraic extension of fields， algebraic closure and integral closure.

Keywords:generation;minimal;teachingofalgebra;linearsubspace