正则FBR0-代数的弱t-模及其应用*

2015-03-27牛超慧吴洪博

计算机工程与科学 2015年1期

关键词：偏序正则代数

牛超慧，吴洪博

(陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安 710062)

正则FBR0-代数的弱t-模及其应用*

牛超慧，吴洪博

(陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安 710062)

吴望名教授建立的FI-代数(模糊蕴涵代数)是重要的基础逻辑代数, 且通过弱化WBR0-代数建立的FBR0-代数与FI-代数有相同的代数结构。对FBR0-代数进行了较细致的研究。首先,证明了正则的FBR0-代数与RBR0-代数有相同的代数结构; 其次,讨论了正则FBR0代数中弱t-模的基本性质; 最后,给出了正则FBR0-代数的弱t-模表示形式。

逻辑代数;正则FBR0-代数;RBR0-代数;伴随对;弱t模

1 引言

作为非经典数理逻辑的一个重要分支，模糊逻辑是人工智能与信息科学等许多领域中推理机制的基础，逻辑代数作为模糊逻辑的语义部分成为一个重要的研究方向。文献[1]引入了模糊蕴涵代数的概念(简称FI-代数)。文献[2]将格与蕴涵代数结合在一起，建立了格蕴涵代数。文献[3～5]建立了模糊命题演算的形式演绎系统L*和与之相匹配的R0-代数。文献[6] 建立了基础L*系统和与之相应的BR0-代数。文献[7]通过对BR0-代数的再研究，给出BR0-代数的经典代数模式的无序表示形式，并基于它的无序表示形式建立了一个具有更加广泛应用的逻辑代数—WBR0-代数。

目前在WBR0-代数的研究方面已经取得一些成果[8～17]。文献[9]讨论了WBR0-代数的正则性并建立了WBR0-代数与其他逻辑代数的联系。文献[10]给出了WBR0-代数的∧-半格的表示形式。文献[11]将WBR0-代数的条件继续弱化后建立了FBR0-代数和RBR0-代数，并证明了FBR0-代数与FI-代数具有相同的代数结构，RBR0-代数与正则FI-代数具有相同的代数结构。本文通过对文献[11]的较深入研究，将FBR0-代数条件加强后成正则FBR0-代数。证明了正则FBR0-代数与RBR0-代数有相同的代数结构。进而，讨论了正则FBR0-代数的伴随对性质并给出了它的弱t-模表示形式。本文的研究结果是对WBR0-代数研究内容的一个有益的补充。

2 预备知识

定义1[11]一个(2,2,0,0)型代数(M,⊕,→,0,1)称为模糊BR0-代数，若∀a,b,c∈M,以下条件成立：

(FB1)a⊕0=a；

(FB2)a⊕b=b⊕a；

(FB3)a→(b→c)=b→(a→c)；

(FB4)(b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(FB5)a→(a⊕b)=1；

(FB6) 1→a=a；

(FB7) 若a→b=1,b→a=1时，a=b。

模糊BR0-代数简记为FBR0-代数。

引理1[11]在FBR0-代数M上定义≤:∀a,b∈M,a≤b当且仅当a→b=1，则关系≤是M上的偏序关系，且∀a,b,c∈M，则下列性质成立：

(P1) 0≤a≤1；

(P2) 若a≤b，则c→a≤c→b,b→c≤a→c。

定义2[5]设(L,≤,1)是以1为最大元的有界格，若⊗:L×L→L满足条件:∀a,b,c∈L，

(T1)a⊗b=b⊗a；

(T2) (a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c)；

(T3) 若a≤b，则a⊗c≤b⊗c；

(T4)a⊗1=a。

则称⊗为L上的三角模，简称t-模。

定义3[5]设(P,≤)是偏序集，P上的二元运算⊗和→叫做互为伴随，若以下条件成立：

(1)⊗:P×P→P是单调递增的；

(2)→:P×P→P关于第一变量是不增的, 关于第二变量是不减的；

(3)a⊗b≤c当且仅当a≤b→c，其中∀a,b,c∈P。

这时称(⊗,→)为P上的伴随对。

3 正则FBR0-代数与RBR0-代数的同一性

定义4 一个FBR0-代数(M,⊕,→,0,1)称为正则FBR0-代数，若∀a∈M，

(FB8) (a→0)→0=a。

定义5[11]一个(2,2,0,0)型代数(M,⊕,→,0,1)称为正则BR0-代数，若∀a,b,c∈M，以下条件成立：

(RB1)a⊕0=a；

(RB2)a⊕b=b⊕a；

(RB3)a→b=(b→0)→(a→0)；

(RB4) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(RB5)a→(a⊕b)=1；

(RB6) 1→a=a；

(RB7) 若a→b=1,b→a=1时，a=b。

正则BR0-代数简记为RBR0-代数。

命题1 设M是正则FBR0-代数，∀a,b,c∈M，则有：

(1) (a→b)→((b→c)→(a→c))=1；

(2)a→b=(b→0)→(a→0)。

证明 (1)由(FB3)和(FB4)知：

(a→b)→((b→c)→(a→c))=(b→c)→((a→b)→(a→c))=1

(2)由(1)知：

(a→b)→((b→0)→(a→0))=1

由(1)和(FB8)知：

((b→0)→(a→0))→(((a→0)→0)→((b→0)→0))=((b→0)→(a→0))→(a→b)=1。

综上，结合(FB7)得：a→b=(b→0)→(a→0)。

□

引理2 正则FBR0-代数是RBR0-代数。

证明由命题1的(2)可知，在正则FBR0-代数中(RB3)成立，所以由定义4和定义5可知，正则FBR0-代数是RBR0-代数。

□

引理3RBR0-代数是正则FBR0-代数。

证明由文献[11]知，RBR0-代数是FBR0-代数；又设a是RBR0-代数中的元素，由(RB3)和(RB6)知：

(a→0)→0=(a→0)→(1→0)=1→a=a。

所以，RBR0-代数是正则FBR0-代数。

□

定理1 正则FBR0-代数和RBR0-代数是同一代数结构。

证明这是引理2和引理3的直接结果。

□

4 正则FBR0代数的性质

定义6 设(P,≤,1)是以1为最大元的有界偏序集，若⊗:P×P→P满足以下条件：∀a,b,c∈P，

(T1)a⊗b=b⊗a；

(T2) (a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c)；

(T3) 若a≤b，则a⊗c≤b⊗c；

(T4)a⊗1=a。

则称⊗为P上的三角模，简称弱t-模。

注意，对比定义2和定义6知：弱t-模是定义于有界偏序集上的三角模，t-模是定义于有界格上的三角模。

命题2 设M是正则FBR0-代数，定义二元运算⊗:M2→M如下：

∀a,b∈M,a⊗b=(a→(b→0))→0

则⊗是M上的弱t-模。

证明首先，由引理1可知：正则FBR0-代数M是有界偏序集，且1是它的最大元。

其次，∀a,b,c∈M，

(1)由(FB3)得：

a⊗b=(a→(b→0))→0=(b→(a→0))→0=b⊗a

(2)由命题1的(2)、(FB3)及(1)得：

(a⊗b)⊗c=

((a⊗b)→(c→0))→0=

(((a→(b→0))→0)→(c→0))→0=

(c→(a→(b→0)))→0=

(a→(c→(b→0)))→0=(a→(b→(c→0)))→0=

(((b→(c→0))→0)→(a→0))→0=

(b⊗c)⊗a=a⊗(b⊗c)

(3)设a≤b，则由引理1(P2)知：b→(c→0)≤a→(c→0)，再结合引理1(P2)得：

a⊗c=(a→(c→0))→0≤(b→(c→0))→0=b⊗c

(4)由(FB3)、(FB6)和(FB8)得：

a⊗1=(a→(1→0))→0=(1→(a→0))→0=(a→0)→0=a

综上可知：由→算子导出的⊗是弱t-模。

□

定义7 设M是正则FBR0-代数，称命题2中定义的二元运算⊗:M2→M为M上由→算子导出的弱t-模。

命题3 设(M,⊕,→,0,1)是正则FBR0-代数，⊗是M上由→算子导出的弱t-模，则(⊗,→)是M上的伴随对。

证明 (1)由命题2知，⊗:M2→M是单调递增的。

(2)由引理1(P2)知，→：M×M→M关于第一变量是不增的，关于第二变量是不减的。

(3)在正则的FBR0-代数中，∀a,b,c∈M，首先由命题1的(2)、(FB8)和(FB3)得：

(a⊗b)→c=

((a→(b→0))→0)→c=

(c→0)→(((a→(b→0))→0)→0)=

(c→0)→(a→(b→0))=

a→((c→0)→(b→0))=

a→(b→c)

其次，由引理1得：

a⊗b≤c当且仅当(a⊗b)→c=1当且仅当a→(b→c)=1当且仅当a≤b→c。

综上，结合定义3得：(⊗,→)是M上的伴随对。

□

命题4 设(M,⊕,→,0,1)是正则FBR0-代数，⊗是M上由→算子导出的弱t-模，则∀a,b,c,d∈M，下列性质成立：

(1) (a⊗b)→c=a→(b→c)；

(2) (a→b)⊗a≤b；

(3)a≤b,c≤d,则a⊗c≤b⊗d；

(4) (a→b)⊗(b→c)≤a→c；

(5)a→b≤(a⊗c)→(b⊗c)；

(6) (b→a)⊗(c→d)≤(a→c)→(b→d)。

证明 (1)见命题3中(3)的证明过程。

(2)由(1)得：((a→b)⊗a)→b=(a→b)→(a→b)=1，再结合引理1得：(a→b)⊗a≤b。

(3)由命题2知，⊗是单调递增的，结合a≤b，所以a⊗c≤b⊗c，又因为c≤d知，b⊗c≤b⊗d，再结合引理1得：a⊗c≤b⊗d。

(4)由(1)和命题1的(1)得：

((a→b)⊗(b→c))→(a→c)=(a→b)→((b→c)→(a→c))=1

再结合引理1得：

(a→b)⊗(b→c)≤a→c

(5)由命题1的(2)和命题1的(1)得：

(a→b)→((a⊗c)→(b⊗c))=

(a→b)→(((a→(c→0))→0)→((b→(c→0))→0))=(a→b)→((b→(c→0))→(a→(c→0)))=1

再结合引理1得：a→b≤(a⊗c)→(b⊗c)。

(6)由命题2和(2)得：

(b→a)⊗(c→d)⊗(a→c)⊗b=

(c→d)⊗(a→c)⊗(b→a)⊗b≤

(c→d)⊗(a→c)⊗a≤

(c→d)⊗c≤d

两次运用命题3得：

(b→a)⊗(c→d)≤(a→c)→(b→d)

□

5 正则FBR0-代数的弱t-模表示

引理4 设(M,≤,0,1)是以1为最大元、0为最小元的有界偏序集，若(2,2)型代数(M,(⊗,→))满足以下条件：∀a,b,c∈M，

(F1B1)a→(b→c)=b→(a→c)；

(F1B2) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(F1B3) (a→0)→0=a；

(F1B4) 1→a=a；

(F1B5)a≤b当且仅当a→b=1；

(F1B6) ⊗:M×M→M是M上的弱t-模。

则M是正则FBR0-代数。

证明在M中定义⊕:M×M→M如下：

∀a,b∈M,a⊕b=((a→0)⊗(b→0))→0

(1)由已知条件可知，定义4中(FB3)、(FB4)、(FB6)和(FB8)成立。

(2)∀a,b∈M，若a→b=1,b→a=1，结合(F1B5)可知：a≤b,b≤a，由M是偏序集可知：a=b，即(FB7)成立。

(3)由(F1B5)，定义6(T4)及(F1B3)可得：

a⊕0=((a→0)⊗(0→0))→0=((a→0)⊗1)→0=(a→0)→0=a

所以，(FB1)成立。

(4)由定义6(T1)可知：

a⊕b=((a→0)⊗(b→0))→0=((b→0)⊗(a→0))→0=b⊕a

所以，(FB2)成立。

(5)由(F1B1)、定义6(T4)、(T3)及(F1B1)、1是最大元知：

a→(a⊕b)=

a→(((a→0)⊗(b→0))→0)=

((a→0)⊗(b→0))→(a→0)=

((a→0)⊗(b→0))→((a→0)⊗1)=1

综上所述，M是正则FBR0-代数。

□

定理2 设(M,(→,0,1))是一个(2,0,0)型代数，满足条件：∀a,b,c∈M，

(F1B1)a→(b→c)=b→(a→c)；

(F1B2) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(F1B3) (a→0)→0=a；

(F1B4) 1→a=a；

(F1B5)a→1=1；

(F1B6) ≤是M上的偏序关系且满足a→b=1当且仅当a≤b。

则M是正则FBR0-代数的充分必要条件是在M上存在弱t-模⊗。

证明 (⇒)设M是正则FBR0-代数，在M上定义二元运算⊗如下：

⊗:M×M→M,∀a,b∈M,a⊗b=(a→(b→0))→0

由命题2、引理1可知：⊗是M上的弱t-模，且(F1B1)～(F1B6)成立。

(⇐)由引理4直接可得。

□

6 结束语

本文通过对FBR0-代数更细致的研究，提出了正则FBR0-代数，并研究了FBR0-代数和RBR0-代数之间的关系，以及正则FBR0-代数的弱t-模性质和弱t-模表示。本文的结果将有助于对FBR0-代数性质及其和其它逻辑代数的关系进行进一步的研究。

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NIU Chao-hui,born in 1988,MS candidate,her research interests include topology on lattices, and non-classical mathematical logic.

吴洪博(1959-),男,陕西咸阳人，博士，教授，CCF会员(E2000062345),研究方向为格上拓扑与非经典数理逻辑。E-mail:wuhb@snnu.edu.cn

WU Hong-bo,born in 1959,PhD,professor，CCF member(E2000062345),his research interests include topology on lattices, and non-classical mathematical logic.

Weak t-norm of regular FBR0-algebras and its application

NIU Chao-hui,WU Hong-bo

(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China)

FBR0-algebras (fuzzy BR0-algebras), which are built up by weakening the conditions of WBR0-algebras, have the same algebraic structure with FI-algebras (fuzzy implication algebras) which are important and basic logic algebras proposed by professor Wu Wang-ming. FBR0-algebra is studied in detail. Firstly, it is proved that regular FBR0-algebras have the same algebraic structure with RBR0-algebras. Secondly, the basic properties of weak t-norm of regular FBR0-algebras are discussed. Finally, a representation of regular FBR0-algebras is given in the form of weak t-norm.

logic algebra;regular FBR0-algebras;RBR0-algebras;adjoint pairs;weak t-norm

1007-130X(2015)01-0099-05

2013-04-28;

2013-09-06基金项目：国家自然科学基金资助项目(11171196)

O141.1

10.3969/j.issn.1007-130X.2015.01.015