爱因斯坦建立狭义相对论的关键一步——同时性定义

张元仲

(中国科学院理论物理研究所，北京 100084)

特约稿件

爱因斯坦建立狭义相对论的关键一步
——同时性定义

张元仲

(中国科学院理论物理研究所，北京 100084)

本文阐明了双程(回路)光速的数值可以由实验直接给出，但是单向光速的数值不能由实验获得而只能通过单向光速各向同性的假设使之等于双程光速的数值.有了这个(假定的)单向光速的数值就可以同步惯性系中的所有时钟，因而定义了惯性系的时间坐标，正是由于这种同时性定义，爱因斯坦才进而发现了狭义相对论.迄今为止所有测量光速的实验给出的都是双程而非单程光速的数值.为了从理论上阐述单程光速无法测量，我们介绍了爱德瓦兹同时性，它是使用双程光速不变而单程光速任意的假设来定义的；同时给出了与之相应的爱德瓦兹变换，进而讨论了这种同时性与爱因斯坦同时性的关系.通过时间膨胀和长度收缩效应阐明了二者在物理上是等价的，也就是说单向光速的效应在实验中不会显现.

狭义相对论；洛伦兹变换；单向光速；双程光速；时间膨胀；长度收缩

1 建立狭义相对论的关键一步——定义同时性

1.1 狭义相对论之前已经有许多物理现象与牛顿理论矛盾

1905年之前已经显示：电磁场方程在伽利略坐标变换下不能保持形式不变(即电磁理论不满足伽利略相对性原理)；真空光速是物体运动的极限速度且具有不变数值；寻找以太的实验都是零结果以及其他一些实验无法用牛顿理论进行解释等等；后来物理学家们通过引入各种假设和对牛顿理论修修补补，得到了用以解释新实验结果的各种公式，例如，斐兹杰惹-洛伦兹收缩假说(1892)、拉摩时钟变慢假设(1900)、质量-速度关系式(1904)、电磁理论中的质量-能量关系式、洛伦兹变换等等.在这些公式中都含有真空光速，但是它们分别来自不同的假设或不同的理论模型.只有当爱因斯坦利用单向光速不变定义了同时性并进而在1905年建立起狭义相对论[1]之后才对上述所有问题给出了统一解释.

1.2 爱因斯坦迈出的关键一步：定义同时性

爱因斯坦在1916年发表的《广义相对论基础》[2]一文中说：“狭义相对论与经典力学的分歧不在于相对性原理，而只在于真空中光速不变的假设”.彭加勒在1905年之前就已经接近了光速不变原理，例如他在1898年发表的“时间测量”的论文中写道：“光具有不变的速度，尤其是它的速度在一切方向上都是相同的，这是一个公设，没有这个公设，就无法量度光速.这个公设从来也不能直接用经验来验证”.彭加勒也讨论过使用光信号进行时钟的同步，但是并没有进一步由此引入惯性系中的时间坐标并进而获得洛伦兹变换.

爱因斯坦在1905年发表的《论动体的电动力学》论文[1]中第一节的标题就是“同时性的定义”：我们在A、B二点各放一只钟来分别定义“A时间”和“B时间”，但还没有定义对于A和B是公共的“时间”.然而，当我们通过定义光从A到B所需要的"时间"等于它从B到A所需"时间"的时候，这后一个时间也就可以定义了.有了这个公共时间(即惯性系的时间坐标)也就有了惯性系的明确定义，爱因斯坦进而利用单向光速不变以及其他显而易见的初始条件推导出了洛伦兹变换.

现在用图1具体说明单向光速各向同性的假设与光速的测量以及定义时间坐标的关系.

图1 单向光速各向同性的假设与光速的测量以及定义时间坐标的关系

正是由于爱因斯坦使用单向光速不变的假设定义了惯性系的时间坐标并且进而得到洛伦兹变换，因此才建立了狭义相对论[1].

2 爱因斯坦同时性是无穷多种等价的同时性中最简单的一种

原则上说，如果没有不依赖光信号对钟的新方法就不可能测量单向光速；但是双程光速的测量只需要放置在给定地点的与同时性无关的同一只时钟记录时间，因而其数值是可以直接测定的.假定了光速各向同性后也只是假定了单向光速等于双程光速而不是直接测量单向光速的数值.

2.1 真空中回路光速不变而单向光速可变的表达式[3-6]

至今所完成的真空光速的测量全都是对双程(闭合回路)光速的测量[5.6]，这些实验结果表明真空中双程(或说回路)光速是个不变的常数c.在真空中满足双程(回路)光速不变而单程光速可变的表达式是

其中e是光信号传播方向的单位矢量，常数矢量q表征单向光速的可变性，常数c是双程光速，ce是光信号沿e方向传播的单向速度.

现在验证方程(1)满足回路光速不变的要求；光信号沿任意闭合回路的传播时间是：

为了分析问题简单化，我们假设q的方向平行于惯性系x轴和x′轴而且在两个惯性系中相同；这样沿x轴和x′轴的光速由式(1)给出：

其中c+x和c-x分别是光信号沿正、负x和x′轴的真空光速.方程(3)自然满足在x和x′轴往返双程光速不变的要求：

2.2 惯性系中同时性定义(即时间坐标的定义)及其坐标变换[1,3-6]

现在考虑利用真空中单向速度可变的光速即方程(3)定义的同时性与爱因斯坦同时性的差别(下面的讨论对x′系完全类似).

图2 爱因斯坦同时性定义与爱德瓦兹同时性定义的关系

假定在t原点时刻光信号从(任意惯性系)x轴原点发出而后到达x点，在x点放有两只完全相同的标准时钟(参见图2)，其中一只是爱因斯坦时钟t0(即使用爱因斯坦同时性定义)，另一只称为爱德瓦兹时钟t(即使用单向光速可变的方程3对钟)，因此光信号到达x点时爱因斯坦时钟的时间t0和爱德瓦兹时钟的时间t应当分别调到

和

因此这两只在同一地点的时钟由于同时性定义不同而给出的时间差是

即

这就是爱因斯坦惯性系的时间坐标t0与爱德瓦兹惯性系的时间坐标t之间的关系.这里以及下文中使用带有下标“0”的记号代表爱因斯坦的物理量，而不带下标的代表爱德瓦兹物理量.

对于时空间隔，两种同时性定义的差别形式上完全类似

使用爱德瓦兹时钟t测得的物体速度记为v=Δx/Δt；使用爱因斯坦时钟t0测得的同一物体的速度记为u0=Δx/Δt0.利用式(7)可以得到使用两种不同时间坐标定义测得的速度之间的关系是

即

说明： 速度u是一般速度在x轴的投影，也就是速度的x方向的分量.这个公式对任何速度都一样，例如对于两个惯性系之间的速度通常用记号v和v0代替式(8)中的u和u0.

考虑两个爱因斯坦惯性系x系和x′系在开始时刻其相应的3个轴互相重合，而且x′系相对于x系以不变速度v0沿x轴运动，这两个爱因斯坦惯性系的坐标变换就是我们熟知的洛伦兹变换

类似于推导洛伦兹变换的方法，爱德瓦兹惯性系的坐标变换是[3,5,6]

注意：爱德瓦兹惯性系与爱因斯坦惯性系的差别只在于时间坐标，而空间坐标与同时性定义无关因而没有差别，所以我们使用了同样的空间坐标符号而只对爱因斯坦时间坐标加了下角标“0”以示区别.同样地，时空间隔的爱德瓦兹变换是

2.3 速度互易性与同时性定义相关

速度的互易性是指“你看我的速度是v0,我看你的速度是-v0”；速度是由时间坐标间隔定义的，因而与同时性定义有关，也就是说速度的互易性与同时性定义有关.

2.4 洛伦兹变换和爱德瓦兹变换在物理上等价[5,6]

洛伦兹变换(9)同爱德瓦兹变换(11)的差别只是来自同时性定义不同，因而将关系式(6)和式(8)(式中的u和u0分别换成v和v0)代入爱德瓦兹变换(11)也就是把爱德瓦兹时间坐标t换成爱因斯坦时间坐标t0，同时把爱德瓦兹速度v换成爱因斯坦速度v0，那么爱德瓦兹变换(11)就变成洛伦兹变换(9).这就是说，爱德瓦兹变换(11)在物理实验中等价于洛伦兹变换(9)(因为至今一切实验都是使用单向光速不变的假设来对钟的)，这就是说代表单向光速可变的方向性参数q不能被实验测到.为了具体地看到这一点，我们在下面举两个例子：时间膨胀和长度收缩效应.

1) 时间膨胀(运动的时钟变慢)[5,6]

类似地，由式(12)得到爱德瓦兹时间膨胀公式

把式(15)和式(16)以及Δτ′=1s代入爱德瓦兹时间膨胀公式(14)后等号两边相同而与方向性参数无关，这就是说这个实验并不能确定q的数值；也就是说，q从-1到+1的取值虽然有无穷多种(代表无穷多种同时性)但是在物理上都是等价的，而q=0(即单向光速各向同性-爱因斯坦同时性定义)是其中最简单的一种.

2) 长度收缩(运动尺子缩短)[6]

假设在x′系沿x′轴放置的静止杆子的长度是L≡Δx′；在x系的爱因斯坦观测者看到这个杆子以速度v0运动，而爱德瓦兹观测者看到杆子则以速度v运动.在x系测量运动杆子的长度必须同时测量杆子的前后两端，否则测得的长度就是杆子的长度加上它运动的路程.所以，爱因斯坦观测者和爱德瓦兹观测者以各自的同时即Δt0=0和Δt=0分别代入各自的坐标变换(10)和(12)，得到爱因斯坦长度收缩和爱德瓦兹长度收缩分别是

和

下面证明[6]如果把爱德瓦兹物理量换成爱因斯坦物理量后，式(18)就变成了式(17).

由于同时性定义不同，所以Δt=0不等同于Δt0=0，实际上将Δt=0代入二者的关系式(7)给出

这就是说对于爱德瓦兹同时测量杆子的两端在爱因斯坦观测者看来没有同时测量杆子两端，这样如同前面已经说过的不同时测量就意味着测得的距离包含了杆子在Δt0的时间内走过的距离δ

所以爱因斯坦长度收缩与爱德瓦兹长度收缩的关系是(也就是说要从爱德瓦兹测得的长度中减去δ才是爱因斯坦测得的长度)

即

3 结论

从上面的分析知道：(1)爱因斯坦利用单向光速不变的假设定义同时性即定义了惯性系的时间坐标,并推导出洛伦兹坐标变换近而发现了狭义相对论；彭加勒虽然早已认识到假设单向光速不变性的必要性并用光信号讨论过对钟方法，而且还预见到新力学*1904年彭加勒在圣路易斯会议的报告中写道：“也许我们将要建造一种全新的力学，我们已经成功地瞥见到它了.在这个全新的力学内，惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限.原来的比较简单的力学依然保持为一级近似，因为它对不太大的速度还是正确的，以致在新力学中还能够发现旧力学”，但是他没有用同步时钟的方法定义惯性系的时间坐标进而获得洛伦兹变换，因而错过了发现狭义相对论的机会.(2)双程光速可以直接测量并已经被实验证明是个常数；单程光速只能假设而不能直接测量，这是因为迄今为止没有发现其他的对钟方法而实验室都是使用爱因斯坦同时性定义.所以，双程光速不变而单向光速可变的爱德瓦兹狭义相对论在物理上等价于爱因斯坦狭义相对论.也就是说在物理上互相等价的同时性定义有无穷多种而单向光速不变的爱因斯坦同时性定义只是其中最简单的一种.

[1] Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper[J]. Annalen Der Physik, 1905, 322(10):891-921. (参见上海人民出版社1973年出版的中译本《爱因斯坦论著选编》)

[2] Einstein A. Die Grundlagen der allgemeinen Relativitäts-theorie[J], Annalen der Physik, 1916,49:769-822. (参见上海人民出版社1973年出版的中译本《爱因斯坦论著选编》)

[3] Edwards W F. Special relativity in anisotropic space. American Journal of Physics[J]. Am. J. Phys.,1963, 31(7), 482-489.

[4] Winnie J A. Special relativity without one-way velocity assumptions [J] Phil. Sci., 1970(37)81;223

[5] 张元仲，狭义相对论实验基础[M].北京：科学出版社，1979，1983，1994.

[6] Zhang Y Z., Special Relativity and Its Experimental Foundations[M], Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1997.

编后语

张元仲先生是我们国家在狭义和广义相对论领域从事研究工作多年的资深专家；在引力理论方面研究过超越相对论的理论(例如具有挠场的引力规范理论)；与实验物理学家合作开展过等效原理的理论与实验研究；近年来在空间基础物理领域进行过项目论证和地面预研工作.1979年著有《狭义相对论实验基础》(科学出版社，北京)，1997年著有 《Special Relativity and Its Experimental Foundations》 (World Scientific Publishing Co Pte Ltd, Singapore) .今年正值爱因斯坦广义相对论发表百年，《物理与工程》主编王青教授约请张先生为本刊撰写系列文章，以期把相对论中的一些重要思想传递给广大读者.下面摘录王青和张元仲的部分邮件，说明本文的来由和修改过程.

(王青2015-06-24邮件)张老师，今天听您关于同时性报告很有感触，我在清华教电动力学20多年，确实感到教狭义相对论时关于光速不变总是讲得不够清楚和深入.您的报告正好弥补了这方面的不足.我觉得这不只是我的问题，也是很多教和学狭义相对论的师生同样面对的问题，因此很有必要宣传一下.正好《物理与工程》期刊的主要对象就是针对教和学大学物理和基础物理的教师和学生.希望您就此写一篇文章，时间不限，篇幅不限，目的就是希望把您的看法和观点传播出去.特此跟您约稿.

(王青2015-08-13邮件)张老师，拜读了你的大作，写得很清楚很好，我很喜欢.不过我现在以一个在大学多年讲授电动力学的普通老师的身份希望您能再增加一点点内容，使得我们能够更快和容易地把您的论述和思想直接转化到我们的教学当中去.……我们通常教狭义相对论时是从您在第一节最后提到的使用光信号单向速度不变的方程式来推导洛伦兹变换的.一旦推出洛伦兹变换往后就什么都有了.其中要紧的就是您文中所提的x系和x′系的c是一样的，通常把它就解释为实验上所看到的光速不变.现在您强调这是单向光速不变，这不难理解；但难于理解的是您在2.1节一开始所说的“至今所完成的真空光速的测量全都是对双程(闭合回路)光速的测量，这些实验结果表明真空中双程(或说回路)光速是个不变的常数.”这好像不能一下清楚地看出来.我们课上通常用迈克耳孙干涉实验说明光速不变，您能否增加一些内容具体说明至少迈克耳孙干涉实验测的不是单程光速，当然能再多说一些其他常用的光速不变测量具体怎么测的就更好.只有这样老师和学生才能意识到这个通常在狭义相对论教学中被忽视的单程光速和回路光速的差别在理论基础中的重要作用，由此引发您所强调的同时性的讨论.否则，如我们及大多数狭义相对论教学所做的直接把实验看到的光速不变外推为单程光速不变，您所讨论的那些细节就可能被忽略和抹杀啦.

(张元仲)王教授，文章补充了迈克耳孙-莫雷实验，希望能说清楚您的问题.或许其他教大学物理的读者阅读了我写的东西不一定一下子清楚，但是希望会给他们一点启发.

(编辑)除了王青和张元仲之间的邮件，《物理与工程》编辑也沟通于其中，并为此前后两次拜访了张先生.能面对面聆听大师深入浅出的比喻和讲解，真是做《物理与工程》期刊的福气.经过讨论，张先生将在接下来的几期继续撰写狭义相对论相关话题文章，让我们一起等待吧.

1. 迈克耳孙-莫雷实验

2. 无穷小坐标变换

3. 洛伦兹变换的推导

A KEY STEP IN THE DEVELOPMENT OF THE SPECIAL RELATIVITY BY EINSTEIN —DEFINITION OF SIMULTANEITY

Zhang Yuanzhong

(Institute of Theoretical physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100084)

The paper expounds the value of the two-way (loop) speed of light can be given directly by experiment, however value of the one-way speed of light cannot be obtained by experiment but only through assuming isotropy of one-way speed of light to make it equal to the value of the two-way speed, and the (assumed) value was used to synchronize all clocks and hence the coordinate time is defined in the inertial system, it was because the definition of simultaneity Einstein then developed the special theory of relativity. So far the value of the light speed given by all the experiments is that of the two-way rather than the one-way speed. In order to theoretically explain the one-way speed of light cannot be measured, we introduce Edwards' simultaneity defined by the assumption of the invariance of the tow-way light speed regardless of any assumptions concerning the one-way speed, at the same times give the corresponding Edwards transformation, and then discuss relationship between this simultaneity and Einstein simultaneity. The effects of time dilation and length contraction show that the two types of the definitions for simultaneity are physically equivalent, in other wards any effect of the one-way speed of light would not appear in experiments.

Special Relativity； Lorenz transformation； one-way speed of light； two-way speed of light； time dilation; length contraction

2015-08-18

张元仲，男，教授，主要从事狭义和广义相对论领域理论与实验研究，研究方向是相对论、引力理论和宇宙学.zyz@itp,ac,cn