工程图学斜轴测投影矩阵变换算法

闫 冠，王瑜蕾，侯 磊，杨文挺，邹飞舟

（1.吉林大学机械科学与工程学院，吉林长春130022；2.吉林省农业机械研究院，吉林长春130022；3.长春奥普光电技术股份有限公司，吉林长春130033）

工程图学斜轴测投影矩阵变换算法

闫 冠1，王瑜蕾1，侯 磊1，杨文挺2，邹飞舟3

（1.吉林大学机械科学与工程学院，吉林长春130022；2.吉林省农业机械研究院，吉林长春130022；3.长春奥普光电技术股份有限公司，吉林长春130033）

用矩阵变换算法研究了轴测投影的图形问题学，探讨了错切变换的有效性和多样性，通过改变变换矩阵中的参数值和错切变换的矩阵变换组合方式，生成不同轴间角和轴向伸缩系数的斜轴测投影图.发现错切变换结果是多种多样的，可以生成满足不同工程需要的斜轴测投影图，为教学和编程提供了一种有效的制图方法.

斜轴测投影；矩阵变换；错切；算法

常用的工程图样有正投影图、轴测投影图2种.正投影图是把物体置于三维投影体系中，用正投影方法向投影面投射得到多个二维平面图形，用来表达空间形体的三维特征.优点是能准确、完整地反应物体的形状、大小和相对位置关系，但是二维平面图形的立体感不强，不具备读图基础的人难以看懂.而轴测投影图表达同一形体时则能弥补这一不足［1］.轴测投影图与艺术图画有类似效果，如立体感强、比较直观、容易看懂.但轴测投影图又不是艺术图画，它是按照一定的投影规律得到的投影图.轴测投影图可作为辅助图样，用来帮助人们读懂空间形体的结构，多用于结构设计、构思建模、产品说明书及广告等.立体结构不同，可以选择适合的轴测投影图来表达，以满足不同的工程需要.本文着重探讨工程图学斜轴测投影矩阵变换算法以及相关的问题.

1 轴测投影的基本概念

将空间形体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上，得到的图形就是轴测投影图［2］.在三视图中，空间形体在投影体系中相对于投影面放正，使形体上尽量多的线、面相对于投影面处于特殊位置.因此，每一个视图都反映形体的二维特征，体现形体上2个方向的坐标尺寸，但缺乏立体感.而在轴测投影图中改变形体相对轴测投影面的方位，使X，Y和Z 3个坐标轴方向相对投影面都不积聚，做正投影（如图1（a）所示）；或某一坐标面与轴测投影面平行，但改变投射方向，做斜投影（如图1（b）所示）.此时空间形体的参考直角坐标轴与投射方向不再平行，形体上3个沿坐标轴方向结构都不积聚，所以投射在轴测投影面的投影图具有很强的立体感.

2 图形矩阵变换规则

无论三视图还是轴测投影图都是二维平面图形，图形主要是由线框构成，线由若干点组成，所以图形是不同坐标值的点的集合.研究图形变换就归结为研究点的变换问题，在诸多变换方法中选择矩阵变换法.

2.1齐次坐标

为了能用矩阵的形式统一地描述图形变换，采用齐次坐标的形式来描述空间的点［3－4］.点、线、面的齐次坐标表示对于描述和操作图示物体是相当有用的.在n维空间中存在一个问题，在n＋1维空间中同样存在，而在n＋1维空间中却常常比n维空间中较易获得结果.在n＋1维空间中证明通过n＋1维空间向n维空间的投影就是关于n维空间的问题.

一般情况，把（x＊，y＊，H）称作点（x，y）的齐次坐标.其中H为任意实数，且x＊＝xH，y＊＝yH.当H＝1时x＊＝x，y＊＝y，此时（x，y，1）为（x，y）的正常化的齐次坐标.这种用三维空间点来研究二维空间点的方法可以推广为用n＋1维的点来研究n维点，统称为齐次坐标法.

2.2三维图形变换

应用齐次坐标法，对于三维空间几何体中各点的位置坐标用4个分量来表示，且变换矩阵为4×4方阵［3－4］.则有

设变换前点的坐标为（x，y，z，1），变换后点的坐标为（x＊，y＊，z＊，H）.正常化处理后点的坐标为（x′，y′，z′，1），则空间点的三维变换为

变换矩阵T可以分为4个子矩阵，即

4个子矩阵的作用如表1所示.

由表1可以看出，利用4个子矩阵可实现比例、反射、旋转，还可实现平移和透视变换，这里仅讨论错切变换.

3 图形矩阵变换结果

在表1中显示4×4矩阵中的左上角3×3子矩阵可以实现错切变换.其中4×4矩阵中主对角线上4个参数是影响比例变换的因子，不需要缩放时，主对角线各参数均赋值为1.不平移也不透视变换时1×3和3×1子矩阵赋值为0［3－4］.那么矩阵中剩余6个参数B，C，D，F，H和I中至少要有一个不为0.在表2中列出只有一个参数不为零时的变换结果.

由表2可见，D≠0时变换矩阵形式，则新坐标和原始坐标的关系为（4）式，变换后新坐标值为（5）式.由（5）式可知，y′＝y和z′＝z变换前后一致，而x′＝x＋Dy说明x方向新旧坐标发生了变化，而且是和y坐标相关.当y＝0时，x方向坐标变换前后一致，即落在xoz面上的点不动；当y≠0时，随着y坐标值越大x′偏离x距离越远，呈线性关系.

同理，当F≠0，变换矩阵为（6）式，变换后新坐标值为（7）式，只有z方向坐标变化并与y坐标相关.当y＝0时，z方向坐标不变，即落在xoz面上的点不动；当y≠0时，随着y坐标值越大z′偏离z距离越远，呈线性关系.

表2显示当D≠0和F≠0时空间形体上与xoz重合或平行的面向xoz面投射时反映实际形状.这个结论符合斜二等测轴测图的投射结果.

4 斜轴测投影图的投影变换

斜轴测投影图就是物体经过2次错切变换，再做正投影变换而完成的［5－9］.2次错切变换分别是当D≠0时进行一次错切变换；当F≠0时再做一次错切变换.轴测投影图是空间形体向单一投影面投影，所以经过2次错切变换后再向xoz面投射.此时所需的变换矩阵为（8）式.经过3次变换得到了斜轴测投影变换矩阵的一般形式（见（9）式）.

空间形体置于坐标系中如图2（a）所示；取D＜0，沿x轴负向错切，结果如图2（b）所示；在此基础上再进行第二次错切变换，取F＜0，沿z轴负向错切，结果如图2（c）所示.变换结果是空间形体上平行于xoz坐标面的平面依然平行于xoz坐标面，空间形体向xoz坐标面投射会反映实形.当D＝F时，错切量相同，投影后轴间角∠xoz＝90°，∠xoy＝∠yoz＝135°，通过计算，当D＝F＝－0.353 5时就是最常见的斜二等测轴测图的参数值，变换矩阵为

5 结束语

轴测投影图有正轴测投影图和斜轴测投影图，斜轴测投影图又有多种形式.通过矩阵变换算法中的错切变换和正投影变换，可以将组成立体的空间点坐标变换成轴测投影坐标.矩阵中的对应参数值不同，可以实现多种斜轴测投影的结果，即错切变换可以是沿原坐标系3个轴向6个方位的变换.6个参数B，C，D，F，H和I值的不同决定方向及错切量，即参数值的正负决定错切的方向，参数值的大小决定错切量的大小.因此经过2次错切变换后，再进行正投影变换可以生成不同的斜轴测投影图，以满足多种多样的工程图样的需要.其中B＝0，C＝0，D＝－0.353 5，F＝－0.353 5，H＝0和I＝0时，变换后就得到斜二等测轴测投影图.

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Matrix transformation algorithm on cavalier projection in engineering graphics

YAN Guan1，WANG Yu－lei1，HOU Lei1，YANG Wen－ting2，ZOU Fei－zhou3
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China；2.Jilin Provincial Academy of Agricultural Machinery，Changchun 130022，China；3.Changchun UP Optotech Co.Ltd.，Changchun 130033，China）

It makes use of the matrix transformation algorithm to research the graphics question on axonometric projection，and the service quality and validity of shear transformation is discussed in this paper.The result shows that：by means of changing the parameter value in transformation matrix and matrix transformation combination style of shear transformation，the different cavalier projection drawing which of different inter axial angle and different coefficient of axial deformation could be calculated.The different results of shear transformation could generate different axonometric projection for any engineering drawing need.It provides an effective method for the teaching and programming.

cavalier projection；matrix transformation；shear；algorithm

TG 801 ［学科代码］ 460·2030 ［

］ A

（责任编辑：石绍庆）

1000－1832（2015）01－0059－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.012

2014－02－25

吉林省科技发展计划项目（20090202）.

闫冠（1965—），女，副教授，主要从事画法几何、工程图学、计算机图形学及测量研究；通讯作者：侯磊（1965—），男，副教授，主要从事材料表面精加工及精密测量研究.