Hom－Lie代数的结构

张永平，谭伟玲，魏 竹，刘 欣

（1.沈阳化工大学数理系，辽宁沈阳110142；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林长春130024）

Hom－Lie代数的结构

张永平1，谭伟玲2，魏 竹2，刘 欣1

（1.沈阳化工大学数理系，辽宁沈阳110142；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林长春130024）

定义了Hom－Lie代数的子代数、理想、核、商代数及同态，并用常规方法研究了它们在同态映射α影响下的一些性质，得到了较好的结论.

Hom－Lie代数；Hom－Jacobi等式；Hom－Lie代数同态

李代数是现代数学中的基本研究对象.Hom－代数是代数形变理论中的一类.Hom－代数有Hom－Lie代数、Hom－Lie超代数、Hom－Leibniz代数、Hom－Lie color代数等.Hom－Lie代数是由李代数形变而来的一类非交换、非结合的代数.在李代数的定义中增加一个双线性同态映射，再把李代数定义中的Jacobi等式加强为Hom－Jacobi等式，就得到了Hom－Lie代数.最早，Hom－Lie代数是19世纪在研究Witt代数和Virasoro代数的一种量子形变时引进的［1］.Hom－Lie代数在数学物理中有着很重要的作用，它与离散和形变的向量域、微分学、数论、Yang－Baxter方程、辫群的表示等都有紧密的联系.［2－3］Hom－Lie代数是否存在非平凡的Hom－Lie代数结构、Hom－Lie代数的表示等也已有研究.［4－8］本文将着重研究Hom－Lie代数的一些结构和性质.

1 预备知识

定义1.1［1］L是一个线性空间，［－，－］：L×L→L是一个双线性映射，α：L→L是一个同态，如果满足下列条件：

则称（L，［－，－］，α）为Hom－Lie代数.

这里条件（1）称为反对称性，条件（2）称为Hom－Jacobi等式.

定义1.1中条件（2）与下列条件等价：

定义1.2 若Hom－Lie代数L的子空间N对于括积运算封闭，也即［N，N］⊆N且α（N）⊆N，则称N为L的Hom－Lie子代数.

定义1.3 设L是一个Hom－Lie代数，N为L的子代数，如果有［N，L］⊆N，则称N为L的理想.

显然，任意一个Hom－Lie代数L都有两个理想：｛0｝和L本身，这两个理想叫做L的平凡理想，L的其余理想叫做L的非平凡理想.

定义1.4 设（L1，［－，－］L1，α1）和（L2，［－，－］L2，α2）是域F上的两个Hom－Lie代数，φ是L1到L2的一个线性映射，如果它们满足下列条件：

（1）φ（［x，y］L1）＝［φ（x），φ（y）］L2，∀x，y∈L，即φ保持乘法；

（2）φ勅α1＝α2勅φ.

则称φ是L1到L2的同态.

如果同态φ是一个一一映射，则称φ是L1到L2的同构.如果存在L1到L2的同构，则称L1与L2是同构的.

定义1.5 设φ是Hom－Lie代数L1到L2的同态映射，则

分别称为同态φ的核和像.

2 主要结果

命题2.1 若N1，N2都是L的子代数，则N1＋N2，N1∩N2也是L的子代数.

命题2.2 设M和N都是Hom－Lie代数L的理想，则M＋N，M∩N都是L的理想.

证明由于M是Hom－Lie代数L的理想，则［M，L］⊆M.同理有［N，L］⊆N.

也即M＋N是L的理想.

∀x，y∈M∩N，即x∈M且x∈N，y∈M且y∈N，因为M，N为理想，则［x，y］∈M，［x，y］∈N，所以［x，y］∈M∩N，即M∩N为L的不变子空间.

故

即M∩N是L的理想.

引理2.1 设（L，［－，－］，α）是一个Hom－Lie代数，N是任意一个非结合代数，φ：L→N是一个代数同态，则下列三个条件是等价的：

（1）存在N的线性子空间U，使得φ（L）⊆U；并且存在一个线性映射k：U→N，使得φ勅α＝k勅φ.

（2）Kerφ⊆Ker（φ勅α）.

（3）α（Kerφ）⊆Kerφ.

证明（1）⇒（2）设x∈Kerφ，那么φ（α（x））＝k（φ（x））＝k（0）＝0，即x∈Ker（φ勅α）.

（2）⇒（1）取U＝φ（L），定义k：φ（L）→N满足k（φ（x））＝φ（α（x））.如果φ（x）＝φ（y），那么我们就有

于是k是定义好的，且由k的定义知φ勅α＝k勅φ成立.

（3）⇒（2）α（Kerφ）⊆Kerφ⇒∀x∈Kerφ，有φ勅α（x）＝0⇒Kerφ⊆Ker（φ勅α）.

（2）⇒（3）Kerφ⊆Ker（φ勅α）⇒∀x∈Kerφ，有φ勅α（x）＝0，故α（x）∈Kerφ⇒α（Kerφ）⊆Kerφ.

定理2.1 若引理2.1中的三个条件成立，则下列4个结论成立：

（1）k在φ（L）上由φ和α唯一确定；

（3）（φ（L），k｜φ（L））是一个Hom－Lie代数；

（4）φ是一个Hom－Lie代数同态.

证明（1）设引理2.1中的（1）和（2）成立.如果有两个线性映射k1：U1→N，k2：U2→N，这里Ui是N的子空间，满足φ（L）⊆Ui，因为它们都满足φ勅α＝ki勅φ，故

这说明k1和k2在φ（L）上相同.

（2）用－，

｛｝－表示N上的括积，来说明它的非结合性.由φ勅α＝k勅φ，即φ是同态，我们得到

这表明k｜φ（L）是一个代数同态.

（3）由φ勅α＝k勅φ及（L，α）是Hom－Lie代数，我们得到

即（φ（L），k｜φ（L））是一个Hom－Lie代数.

注Ο′x，y，z［x，［y，z］］＝［x，［y，z］］＋［y，［z，x］］＋［z，［x，y］］.

（4）由φ是一个代数同态及条件（3）可知φ是一个Hom－Lie代数同态.

命题2.3 设φ是Hom－Lie代数（L1，［－，－］L1，α1）和（L2，［－，－］L2，α2）的同态映射，则Kerφ是Hom－Lie代数L1的理想.

证明∀x1，x2，x∈Kerφ，y∈L1，则φ［x1，x2］＝［φ（x1），φ（x2）］＝0，即［x1，x2］∈Kerφ.

即［x，y］∈Kerφ，故［Kerφ，L1］⊆Kerφ.得证.

命题2.4 设φ是Hom－Lie代数（L1，［－，－］L1，α1）和（L2，［－，－］L2，α2）的同态映射，则（Imφ，［－，－］，α2｜φ（L1））是一个Hom－Lie代数.

证明［－，－］Li表示Li中的括积.

即（Imφ，［－，－］L2，α2｜φ（L1））是一个Hom－Lie代数.

命题2.5 设（L，［－，－］，α）是一个Hom－Lie代数，N是L的理想

证明易证定义的合理性.下证¯L满足定义1.1.

命题2.6 设L是Hom－Lie代数，则L′＝［L，L］是L的理想.

证明

命题2.7 设N是L的理想，则

是一个满同态，且称π为自然同态.

证明显然，π是L到的满线性映射.由于N为理想，故

定理2.2 （Hom－Lie代数的同态基本定理）

（1）设φ：L1→L2是Hom－Lie代数的一个同态映射，则

（2）如果I，J是Hom－Lie代数L的理想，且有I⊆J，则理想，并且自然同构于

（3）如果I，J是Hom－Lie代数L的理想，则

证明（1）φ：L1→Imφ是一个满同态，Kerφ是L1的理想，则有到Imφ的映射¯φ满足¯φ勅π＝ φ，这里π是L1到的自然同态，有同态图表可交换，见图1.由线性代数理论知到Imφ的映射¯φ：

（2）设π1，π2分别是L到的自然同态.于是有的满线性映射f，使得f勅π1＝π2，如图2.而且有

（3）若I，J都是L的理想，由命题2.1知I∩J为L的理想.

［1］ HARTWIG J T，LARSSON D，SLIVERSTROV S D.Deformation of Lie Algebras usingα－derivations［J］.J Algebra，2005，295（2）：314－361.

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［5］ YAU D.Enveloping algebras of Hom－Lie algebras［J］.J Gen Lie Theory Appl，2008，2（2）：95－108.

［6］ SHENG YUNHE.Representations of Hom－Lie Algebras［J］.Algebr Represent Theor，2012（15）：1081－1098.

［7］ 潘玉霞，张庆成，冯闪，等.二次李超三系的分解及唯一性［J］.东北师大学报：自然科学版，2012，44（2）：9－13.

［8］ 宋华，王晨迪.李Color代数极大子代数的基本性质［J］.东北师大学报：自然科学版，2012，44（4）：26－30.

Structures of Hom－Lie Algebra

ZHANG Yong－ping1，TAN Wei－ling2，WEI Zhu2，LIU Xin1

（1.Department of Mathematics and Physics，Shenyang University of Chemical Technology，Shenyang 110142，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

Hom－Lie algebra has a homomorphismα，the authors define subalgebra，ideal，kernel，quotient algebra and homomorphism of Hom－Lie algebra，and get good results by the conventional method to study these propositions under the influence of the homomorphismα.

Hom－Lie algebra；Hom－Jacobi identity；Hom－Lie algebra homomorphism

O 152.5 ［学科代码］ 110·2130 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0001－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.001

2013－06－18

国家自然科学基金资助项目（10871057）；黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12521157）.

张永平（1978－），女，讲师，硕士，主要从事李代数研究；通讯作者：魏竹（1979－），女，讲师，博士，主要从事李代数研究.