保序部分变换半群POn的平方幂等元

吴江燕，游泰杰

（贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州贵阳550001）

保序部分变换半群POn的平方幂等元

吴江燕，游泰杰

（贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州贵阳550001）

设POn是［n］上的保序部分变换半群.对n≥3，证明了半群POn的秩为n－1的平方幂等元的个数为4n－6，同时，还证明了半群POn是秩为n－1的平方幂等元生成的，且其秩为2n－1.

保序部分变换半群；幂等元；平方幂等元；平方幂等元秩

1 预备知识

通常，一个有限半群S的秩定义为：rankS＝min｛｜A｜：A⊆S，〈A〉＝S｝.如果S由它的幂等元集E生成，那么S的幂等元秩定义为：idrankS＝min｛｜A｜：A⊆E，〈A〉＝S｝，类似可以定义S的平方幂等元秩为：quaidrankS＝min｛｜A｜：A⊆E2，〈A〉＝S｝，其中E2为平方幂等元之集.显然有rankS≤idrankS，且rankS≤quaidrankS.

设［n］＝｛1，2，…，n｝并赋予自然序，Tn是［n］上的全变换半群.设α∈Tn，若对任意x，y∈［n］，x≤y⇒xα≤yα，则称α是保序的.设POn为Tn中的所有保序部分变换之集（不含［n］上的恒等变换），则POn是Tn的子半群，称POn为保序部分变换半群.文献［1］证明了POn的秩为2n－1，幂等元秩为3n－2.设α∈Tn，若α2＝α，则称α是一个幂等元；若α2≠α且α2是幂等元（α4＝α2），则称α是一个平方幂等元.平方幂等元的概念是在文献［2］中首次出现的.接着在1999年，文献［3］研究了有限变换半群的平方幂等元和平方幂零元.2001年，文献［4］研究了保序链的有限变换半群中的平方幂等元.而最近的一篇关于研究平方幂等元的文章则是在2013年发表的文献［5］，它研究了有限变换半群中由平方幂等元生成的子半群.由此可见，目前对平方幂等元进行研究的文章并不多.本文将考虑半群POn的顶端Jn－1中的平方幂等元，用集合

表示.对n≥3，先证明了平方幂等元的等价条件，并利用该等价条件证明了｜E2（Jn－1）｜＝4n－6，并且证明了POn＝〈E2（Jn－1）〉，且quaidrankPOn＝rankPOn＝2n－1.

本文未定义的术语及记法参见文献［6－8］.

2 主要结果及证明

据文献［1］的结果，POn中的Green关系有如下刻画：

且POn中仅有平凡H－类（每个H－类都只含有一个元素）.此外，保序变换半群POn有n个J－类J0，J1，…，Jn－1.其中J0＝∅，Jr＝｛α∈POn：｜im（α）｜＝r｝.对0≤r≤k≤n，记［k，r］＝｛α∈POn：｜dom（α）｜＝k，｜im（α）｜＝r｝.那么，J－类

下面我们考虑POn的顶层J－类Jn－1：

（ⅰ）Jn－1＝［n，n－1］∪［n－1，n－1］.

（ⅱ）Jn－1中共有n个L－类，记为L1，L2，…，Ln.其中

（ⅲ）Jn－1中含有2n－1个R－类.其中［n，n－1］里含有n－1个，记为

R（k，k＋1）＝｛α∈［n，n－1］：α唯一的非单点核类为｛k，k＋1｝｝（1≤k≤n－1）；［n－1，n－1］里含有n个，记为

设P，Q是［n］的非空子集，若对任意a∈P，b∈Q，有a＜b，则称P小于Q，记为P＜Q.设α∈POn，如果x＜y（x，y∈［n］），显然有xα－1＜yα－1.因此，对任意α∈Jr（r≥2），由α的保序性容易验证α有如下表示法（称为α的标准表示）：

其中a1＜a2＜…＜ar，A1＜A2＜…＜Ar.

引理1 设n≥3，令

其中a1＜a2＜…＜an－1，A1＜A2＜…＜An－1，则α是平方幂等元的充要条件是存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak∉Ak.

证明参见文献［9］的定理3.

定理1 设n≥3，令

其中a1＜a2＜…＜an－1，A1＜A2＜…＜An－1，则α是平方幂等元的充要条件是存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak∉Ak.

证明由于Jn－1＝［n，n－1］∪［n－1，n－1］，所以下面分两部分证明：

（ⅰ）当α∈［n，n－1］时，由引理1得证.

（ⅱ）当α∈［n－1，n－1］时，｜Ai｜＝1，i＝1，2，…，n－1.此时，定理可简单叙述为：α是平方幂等元的充要条件是存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak≠Ak.

若存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak≠Ak，则由α的保序性可得，ai＝Ai，i≠k且ak＝Ak－1或ak＝Ak＋1.于是

α2≠α且α4＝α2，即α是平方幂等元.

反之，假设α是平方幂等元.我们将用反证法证明.

情形1 若a1≠A1，注意到A1＜A2＜…＜An－1且｜Ai｜＝1，i＝1，2，…，n－1.此时A1＝｛1｝或A1＝｛2｝.由α∈［n－1，n－1］及α的保序性可知，存在2≤s≤n－1，使得

或

我们断言s＝2.若s≠2，则

或

显然α4≠α2，这与α是平方幂等元矛盾.由s＝2可得

从而ak＝Ak，k＝2，…，n－1.

情形2 若an－1≠An－1，注意到A1＜A2＜…＜An－1且｜Ai｜＝1，i＝1，2，…，n－1.此时An－1＝｛n｝或An－1＝｛n－1｝.由α∈［n－1，n－1］及α的保序性可知，存在1≤s≤n－2，使得

或

我们断言s＝2.若s≠2，则

或

显然α4≠α2，这与α是平方幂等元矛盾.由s＝n－2可得

从而ak＝Ak，k＝1，2，…，n－2.

情形3 a1＝A1且an－1＝An－1.若不存在k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak，则ai＝Ai，1≤i≤n－1，从而α2＝α，即α∈E（Jn－1），这与α∈Jn－1＼E（Jn－1）矛盾.

不妨设存在k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak且ai＝Ai，i＜k.则由α的保序性可得，ak＝Ak－1或ak＝Ak＋1.以下分两种情形讨论：

情形3.1 若ak＝Ak－1，则由α∈［n，n－1］且ai＝Ai（i＜k）可得，

于是由A1＜A2＜…＜An－1且ai＝Ai（i＜k）可推出，

从而

我们断言ak＋1≠k＋1.若ak＋1＝k＋1，则

于是由α是平方幂等元可得

这与（2）式矛盾.因此ak＋1≠k＋1.再由k＝ak＜ak＋1＜…＜an－1易得

从而由（1）式可得ai＝Ai，k＜i≤n－1.因此存在唯一的k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak.

情形3.2 若ak＝Ak＋1，则由A1＜A2＜…＜An－1可得ak＞k，从而由ak＜ak＋1＜…＜an－1可得

由A1＜A2＜…＜Ak＜Ak＋1且k＋1＝ak＝Ak＋1可得

再由ai＝Ai（i＜k）可得

由A1＜A2＜…＜Ak＜Ak＋1且α∈［n－1，n－1］及（4）式可知，存在k＋1≤s≤n－1，使得

从而由（3）—（5）式可得

我们断言s＝k＋1.若s≠k＋1，则s≥k＋2，即s－2≥k，从而

于是由α是平方幂等元可得

这与（7）式矛盾.因此s＝k＋1.进而由（4），（7）式可得ai＝Ai，k＜i≤n－1.因此存在唯一的k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak.证毕.

设

则由文献［1］可知

定理2 设n≥3，E2（Jn－1）为Jn－1中的所有平方幂等元之集，则

证明由定理1易知：

从而

定理3 设n≥3，则｜E2（Jn－1）｜＝4n－6.

证明由定理2易知｜E2（Jn－1）｜＝（n－2）＋（n－2）＋（n－1）＋（n－1）＝4n－6.

在文献［1］中，用［i→i－1］和［i→i＋1］分别表示［n，n－1］中的降幂等元e和升幂等元f，这里ie＝i－1，xe＝x（x≠i），if＝i＋1，xf＝x（x≠i）；用［n］＼｛i｝的恒等变换δi表示［n－1，n－1］中的幂等元.显然E（Jn－1）是由［n，n－1］中的n－1个降幂等元［i→i－1］和n－1个升幂等元［i→i＋1］，以及［n－1，n－1］中的n个恒等幂等元构成.设［n，n－1］中的降幂等元集合和升幂等元集合分别为2，…，n｝和中的恒等幂等元集合为＝［n］＼｛i｝，i＝1，…，n｝，则

注意到

引理2 设n≥3，则POn＝〈E（Jn－1）〉.

证明参见文献［1］的引理3.14.

定理4 设n≥3，E2（Jn－1）为Jn－1中的所有平方幂等元之集，则

证明由定理2可得

因此，E（Jn－1）⊆〈E2（Jn－1）〉.再由引理2可得POn＝〈E2（Jn－1）〉.

引理3 设n≥2，则rankPOn＝2n－1.

证明参见文献［1］的定理3.2，引理3.9，3.11，3.12.

定理5 设n≥3，则quaidrankPOn＝rankPOn＝2n－1.

证明显然，quaidrankPOn≥rankPOn.于是由引理3可知，quaidrankPOn≥2n－1.

因此E（Jn－1）⊆〈A〉.由引理2可得POn＝〈A〉，故quaidrankPOn＝2n－1.

［1］ GOMES G M S，HOWIE J M.On the ranks of certain semigroups of order－preserving transformations［J］.Semigroup Forum，1992，45：272－282.

［2］ UMAR A.On the semigroup of partial one－one order－decreasing finite transformation［J］.Proc Roy Soc Edinburgh，1993，123A：355－363.

［3］ MADU B A.Quasi－idempotents and quasi－nilpotents in finite transformations semigroups［M］.PhD thesis：Ahmadu Bello University Zaria，1999：20－90.

［4］ MADU B A，GARBA G U.Guasi－idempotents in finite semigroups of order－preserving chains［J］.Research Journal of Science，2001，7：61－64.

［5］ IMAM A T.Subsemigroups generated by quasi－idempotents in certain finite semigroups of mappings［M］.PhD thesis：Ahmadu Bello University Zaria，2013：24－42.

［6］ HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：Oxford University Press，1995：341－343.

［7］ CLIFFORD H，PRESTON G B.The algebraic theory of semigroups.vol1［M］.Providence：Am Math Soc，1961

［8］ 罗永贵，瞿云云.半群POn中理想的非群元秩和相关秩［J］.东北师大学报：自然科学版，2014，46（3）：20－27.

［9］ 李红香，游泰杰，赵平.保序变换半群On的平方幂等元［J］.贵州师范大学学报：自然科学版，2014（1）：48－50.

The quasi－idempotent of partial order－preserving transformation

WU Jiang－yan，YOU Tai－jie

（School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China）

Let POnbe the partial order－preserving semigroup on［n］.It is shown that for n≥3，the number of quasi－idempotent of rank n－1of POnis 4n－6，at the same time，we also prove that the semigroup POnis quasi－idempotent generated，with the rank is 2n－1.

partial order－preserving transformation semigroup；idempotent；quasi－idempotent；quasiidempotent rank

O 152.7 ［学科代码］ 110·21 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0006－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.002

2014－05－26

国家自然科学基金资助项目（11461014）；贵州省自然科学技术基金资助项目（黔科合J字［2007］2008号）.

吴江燕（1989—），女，硕士研究生，主要从事半群理论与编码理论研究；游泰杰（1959—），男，硕士，教授，主要从事半群理论与编码理论研究.